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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
CURSO DE NIVELACION
Periodo 2020-
ASIGNATURA : Matemática DOCENTE : Eco. Alberto López B. © PhD
UNIDAD 3: Relaciones y Funciones SEMANA 7 : 3.5.Cuadratica
3.5 FUNCIÓN CUADRÁTICA :
Definición: f(x) = ax
2
+ bx + c
La función cuadrática es una función que aparece en muchas partes de la matemática y tiene numerosas aplicaciones.
Una función cuadrática es de la forma f ( x )= ax
2
, donde a, b y c son constantes, pertenecen al conjunto de los
números reales y a
es diferente de 0, ( a ≠ 0 ¿
.
Son ejemplos de funciones cuadráticas las siguientes:
f
x
= 2 x
2
f
x
= x
2
f
x
=− 4 x
2
− 6 x + 8
f
x
=− 3 x
2
f
x
= 16 x
2
Sin embargo
f ( x )=
x
2
, no es cuadrática ya que no puede escribirse en la forma f ( x )= ax
2
Gráfica: a < 0, a > 0
La gráfica de la función cuadrática es una parábola
Si a > 0 , se abre hacia arriba
Si a < 0 , se abre hacia abajo
La intersección con el eje y es el valor de c.
Hallar extensión, raíces, monotonía, puntos máximos y mínimos, vértices, eje de simetría.
Extensión
El dominio de f es todo R. Esto es, Dom (f) = R. (El conjunto de todos los números Reales)
El rango o recorrido de la función cuadrática se obtiene aplicando la fórmula matemática:
4 ac − b
2
4 a
Si a > 0 , entonces y ≥
4 ac − b
2
4 a
, con lo cual el rango o recorrido es el conjunto Rec(f) = ¿
intervalo cerrado a la
izquierda
Si a < 0 , entonces y ≤
4 ac − b
2
4 a
, con lo cual el rango o recorrido es el conjunto Rec(f)= ¿− ∞ ,
4 ac − b
2
4 a
intervalo cerrado a la derecha
Ejemplo:
Hallar el dominio y el rango de la siguiente función cuadrática: f ( x )= x
2
− 6 x + 7
Dom(f) = R (Conjunto de números Reales)
Rec(f) =
4 ac − b
2
4 a
, esto es Rec(f) =
2
; Rec(f) =
; Rec(f) = -
Como a > 0 , entonces es un intervalo cerrado a la izquierda así: Rec(f) = ¿
Raíces
Toda función cuadrática es de la forma f
x
= ax
2
, por lo tanto tiene dos raíces x 1
y x 2
, para hallar las raíces de
una función cuadrática igualamos a cero y luego aplicamos la fórmula general x =
− b ±
b
2
− 4 ac
2 a
Ejemplo:
Hallar las raíces de la función cuadrática f
x
= x
2
− 6 x + 7
Igualamos a cero
x
2
− 6 x + 7 = 0
Aplicamos la fórmula x =
− b ±
b
2
− 4 ac
2 a
, en este caso a = 1 , b = - 6 , c = -
x =+ 6 ± √¿ ¿ ¿ , x =+ 6 ± √¿ ¿ ¿ , x =+ 6 ± √ ¿ ¿ ¿ , x =
, x =
x
1
x
2
x
1
x
2
Raíces de la ecuación cuadrática
Monotonía
Si a > 0 , la función cuadrática es estrictamente decreciente en el intervalo ¿− ∞ , −
b
2 a
¿ ¿, y creciente en el
intervalo ¿
Este resultado lo interpretamos en el diagrama siguiente:
Decrece Crece
x
0 - b/2a
Si a < 0 , la función cuadrática es estrictamente creciente en el intervalo ¿− ∞ , −
b
2 a
¿ ¿, y decreciente en el
intervalo ¿
Este resultado lo interpretamos en el diagrama siguiente:
Crece Decrece
El punto mínimo de la función es: m =
4 ac − b
2
4 a
, m = 4 ( 1 )( 7 )−¿ ¿
= - 2
x ∈ R
Vértice
El vértice de la gráfica de una función cuadrática (parábola) está dado por el par ordenado
V (Vx , Vy) = V
(
− b
2 a
; f
(
− b
2 a
) )
Siendo
Vx =
− b
2 a
y = f ( Vx ) = f
(
− b
2 a
)
Si a > 0, el vértice es el punto más bajo de la parábola, tiene un punto mínimo
Si a < 0, el vértice es el punto más alto de la parábola, tiene un punto máximo
Ejemplo:
Hallar el vértice de la parábola de la función cuadrática f ( x )= x
2
− 6 x + 7
f
x
= x
2
− 6 x + 7
a = 1, b = - 6, c = 7
Determinamos
− b
2 a
=
Determinamos
f
(
− b
2 a
)
= f ( 3 ) =( 3 )
2
V
(
− b
2 a
; f
(
− b
2 a
) )
= (3 , - 2)
Eje de simetría
Cada parábola es simétrica con respecto a una recta vertical llamada eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide la parábola en dos mitades
congruentes.
El eje de simetría siempre pasa a través del vértice de la parábola.
El eje de simetría es la recta que tiene por ecuación x = Vx , en otras palabras, es la recta perpendicular al
eje " x " que contiene al vértice de la función.
Ejemplo:
Hallar la ecuación del eje de simetría de la función f ( x )= x
2
− 6 x + 7
x = Vx; x = 3
GRAFICA
Para graficar la función cuadrática se procede así:
Se determinan las intersecciones con los ejes: para el eje x, y = 0 , para el eje y , x= 0
Se calcula el vértice aplicando la fórmula
Ejemplo :
Graficar la función cuadrática f
x
= x
2
− 6 x + 7
y = x
2
− 6 x + 7
Intersecciones
En el eje x , y = 0 0 = x
2
− 6 x + 7 x
2
− 6 x + 7 = 0
Aplicamos la fórmula x =
− b ± √ b
2
− 4 ac
2 a
, en este caso a = 1, b = - 6, c = -
x =+ 6 ± √¿ ¿ ¿ , x =+ 6 ± √¿ ¿ ¿ , x =+ 6 ± √ ¿ ¿ ¿ , x =
, x =
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
=4,41 x
2
Puntos de intersección (4,41; 0) (1,59; 0)
En el eje y ; el punto de intersección es el valor de c. En este caso c = 7 ; luego el punto de intersección es (0, 7)
El vértice es: V
− b
2 a
; f
− b
2 a
= (3 , - 2)
Con estos datos graficamos la función en el plano cartesiano
En este caso, como a > 0 , entonces, M = Máx. f(x) NO EXISTE
x ∈ R
El punto mínimo de la función es: m =
4 ac − b
2
4 a
, mín
fx
x ∈ R
Vértice
Determinamos
− b
2 a
=
Determinamos f
(
− b
2 a
)
= f
(
)
(
)
2
(
)
V
(
− b
2 a
; f
(
− b
2 a
) )
=
(
)
Eje de simetría
x = Vx; x =
Gráfica
Intersección con los ejes
Con el eje x ; y = 0 x
2
− 3 x + 2 = 0
; (x – 2) (x – 1) = 0 ; x – 2 = 0 y x – 1 = 0 ;
x
1
= 2 , x
2
Puntos de intersección (2, 0) (1, 0)
El punto de intersección con el eje y es el valor de c = 2 Punto de intersección: ( 0, 2)
2) f ( x )=− x
2
− 4 x + 12
y =− x
2
− 4 x + 12
Extensión
Dom f(x) = Todos los números Reales
Recf(x) =
4 ac − b
2
4 a
= 4 (− 1 )( 12 )−¿ ¿
=
a < 0 ; Rec(f) = Rec(f)= ¿− ∞ ,
4 ac − b
2
4 a
Raíces
− x
2
− 4 x + 12 = 0
; se multiplica por (-1) a la ecuación:
x
2
(x + 6) (x – 2) = 0 ; x + 6 = 0 y x – 2 = 0 ;
x
1
=− 6 , x
2
Monotonía
Primero determinamos el valor
− b
2 a
Como a < 0 ,
La función cuadrática es creciente en el intervalo ¿− ∞ , − 2 ¿ ¿,
Decreciente en el intervalo ¿
Puntos máximos y mínimos
Como a < 0 , la función cuadrática no tiene un mínimo, en este caso m = mín. f(x) NO EXISTE
x ∈ R
TALLER 15.
Ejercicios
Hallar extensión, raíces, monotonía, puntos máximos y mínimos, vértices, eje de simetría y graficar las siguientes funciones
cuadráticas.
x
2
− 6 x + 5
x
2
x
2
− 6 x + 5
− 2 x
2
x
2
− 8 x + 14
