Representación de Redes: Concepto, Importancia y Solución de Problemas, Ejercicios de Matemáticas

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Acatlán

Martínez Bautista Eliseo Matemáticas Aplicadas y Computación

Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. Una representación de redes proporciona un panorama general y ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes del sistema, que se usa en casi todas las áreas científicas, sociales y económicas.

En las páginas de este material se hará el planteamiento, el modelado, la solución y la interpretación de problemas de redes de optimización.

Conoceremos 4 aplicaciones de las redes de optimización:  Ruta más corta  Flujo Máximo  Flujo a costo Mínimo  Redes de Actividad tales que describiremos con detalle en cada uno de los capítulos.

• 1. Presentación ……………………………………………………………….……………………..
• 2. Editorial ………………………………………………………………………….…………….…..
• 3. Contenido ………………………………………………………………………..………………..
• 4. Clasifica los problemas …………………………………………………………………….…..
• 5. Si de métodos hablamos …………………………………………………………………………
• 6. Ruta más corta ……………………………………………..….…………………………………..
• 7. Flujo máximo …………………………………………….…….…………………………………..
• 8. Flujo a costo mínimo ……………………………………………………………………………..
• 9. Redes de actividad ………………………………………………………………………………..
• 10. Sabías que… ………………………………………….…………………………………………..
• 11. Conoce más a los creadores ……………………………………………………………………
• 12. Referencias ………………………………………………………………………………………..

Tipo de problema

Características Planteamiento Métodos

Ruta más corta

R ^ x A , , 0, , c ij  Redes dirigidas y no dirigidas con uno o varios nodos iniciales y/o terminales con flujo v=

Árbol de peso mínimo, ruta más corta entre nodos específicos, arborescencia de ruta más corta, ruta más corta entre todo par de nodos.

MPL, PRIM, Kruskal, Dijkstra, Dijkstra generalizado, Floyd.

Flujo máximo

R  x A , , 0, lij , uij 

Un sólo nodo inicial y terminal. El flujo v es la incógnita.

Modelos clásicos, casamentero

Ford-Fulkerson, flujo mínimo, cortes, MPL.

Flujo a costo mínimo

R ^ x A l , , (^) ij , uij , cij  Varios nodos iniciales y terminales. El flujo v está dado por las ofertas y demandas.

Flujo máximo, ruta más corta, p. de transbordo, p. de transporte, p. de asignación, planeación de producción, contratación de personal, red marginal.

Eliminación de circuitos negativos, método basado en rutas más cortas, simplex, MPL.

Redes de actividad

Realización de un proyecto que consta de ciertas actividades.

Cualquier tipo de proyecto. PERT, CPM, análisis de costos, MPL, probabilidades, revisión hacia adelante y hacia atrás.

Eliminación de circuitos negativos

 Se aplica a una red marginal.

 Solo se aplica a redes marginales.

Ruta más corta

 Se aplica a una red marginal.

 Solo se aplica a redes marginales. CMP Redes de actividad

 Solo para redes de actividad.  Sirve para la planeación de proyectos.  Revisa hacia adelante y hacia atrás.

 Muestra inicio y fin de las actividades.  Fácil de implementar.  Muestra tiempos de holgura.  Indica tiempo más próximo y lejano de inicio y fin de actividades.

Este problema determina la ruta más corta entre un origen y un destino en una red de transporte.

Ejemplo: Para la red de la figura siguiente, halle las rutas más cortas entre cada dos nodos. Las distancias (en millas) se dan en los arcos. El arco (3,5) es direccional, es decir, no se permite el tráfico del nodo 5 al nodo 3. Todos los demás arcos permiten el tráfico en dos direcciones.

Solución: Iteración 0: Las matrices D 0 y S 0 dan la representación inicial de la red. D 0 es simétrica, excepto que d (^) 53  porque no se permite tráfico del nodo 5 al nodo 3.

Iteración 1: Establezca k = 1. La fila y columna pivotes se muestran por la primera fila y la primera columna ligeramente sombreadas en la matriz D 0. Las celdas más oscuras, d 23 y d 32 ,

son las únicas que la operación múltiple puede mejorar. Por lo tanto, D 1 y S 1 se obtienen

desde D 0 y S 0 como sigue:

1. Reemplace d 23 con d^ 21 ^ d 13 ^3 ^10 ^13 y establezca S 23^ ^1. 2. Reemplace d 32 con d 31 (^)  d 12  10  3  13 y establezca S 32 (^)  1.

Estos cambios se muestran en negritas en las matrices D 1 y S 1.

Iteración 2: Establezca k = 2, como se muestra mediante la fila y columna ligeramente sombreada en D 1. La operación triple se aplica a las celdas más oscuras en D 1 y S 1. Los

cambios resultantes se muestran en negritas en D 2 y S 2.

Iteración 3: Establezca k = 3, como se muestra mediante la fila y columna ligeramente sombreada en D 2. Las nuevas matrices son D 3 y S 3.

La solución del problema propuesto requiere agregar una sola fuente y un solo sumidero o vertedero, utilizando arcos de capacidad infinita unidireccionales, como se muestra mediante los arcos de rayas en la figura que sigue.

Para el arco (i,j), la notación Cij , Cji proporciona las capacidades de flujo en las dos

direcciones i  j y j j  i. Para eliminar la ambigüedad, colocamos a Cij junto al nodo i y a

Cji junto al nodo C j, como se muestra a continuación.

Un corte define un conjunto de arcos cuya eliminación de la red interrumpe el flujo entre los nodos fuente y sumidero. La capacidad de corte es igual a la suma de las capacidades de su conjunto de arcos. Entre todos los cortes posibles en la red, el corte con la capacidad mínima es el cuello de botella que determina el flujo máximo en la red.

Ejemplo: Determine el flujo máximo en la red.

Iteración 1. Iguale los residuos iniciales (c ,c ) ij ji a las capacidades iniciales Cij , Cji.

Paso 1: Establezca a 1  y etiquete el nodo 1 con [  , ]. Establezca i = 1.

Paso 2: S 1^ ^  2, 3, 4   

Paso 3: k = 3 , porque c 13 (^)  máx { c 12 (^) , c 13 (^) , c 14 }  máx [20,30,10]. Establezca a 3 (^)  c 13  30 y etiquete

el nodo 3 con [30,1]. Establezca i = 3 y repita el paso 2.

Paso 2: S 3   4 , 5 

Paso 3: k = 5 y a 5 (^)  c 35 (^)  máx [10, 20]  20. Etiquete el nodo 5 con [20,3]. Se logra el avance.

Continúe con el paso 5. Paso 5: La ruta de avance se determina a partir de las etiquetas iniciando en el nodo 5 y regresando al nodo 1; es decir (5)  [20,3]  (3)  [30,1] (1). De este modo, N 1 (^) [1,3,5]y

f 1 (^)  mín { a 1 (^) , a 3 (^) , a 5 }  { ,30, 20}  20. Las capacidades residuales a lo largo de la ruta N 1 son 13 31 35 53

c c c c

Iteración 2. Paso 1: Establezca a 1  y etiquete el nodo 1 con [  , ]. Establezca i = 1.

Paso 2: S 1   2, 3, 4   

Paso 3: k = 2 y a 2 (^)  c 12 (^)  máx [20,10,10]. Establezca i = 2 y repita el paso 2.

Paso 2: S (^) 2 {3,5 }

Paso 3: k = 3 y a 3 (^)  c 23  40. Etiquete el nodo 3 con [40,2]. Designe i = 3 y repita el paso 2.

Paso 2: S 3^ {4}(observe que c 35^ ^0 , de ahí que el nodo 5 no pueda incluirse en S 3 ).

Paso 3: k = 4 y a 4 (^)  c 34  10. Etiquete el nodo 4 con [10,3]. Establezca i = 4 y repita el paso 2.

Paso 2: S 4 (^) {5}(observe que los nodos 1 y 3 ya están etiquetados, por lo tanto, no pueden

incluirse en S 4 ).

Paso 3: k = 5 y a 5 (^)  c 45  20. Etiquete el nodo 5 con [20,4]. Se logró una ruta de avance.

Vaya al paso 5. Paso 5: N 2 (^) [1, 2,3, 4,5]y f 2 (^)  mín { , 20, 40,10, 20}  10. Los residuos a lo largo de la ruta de

N 2 son 12 21 23 32 34 43 45 54

c c c c c c c c

Iteración 3. Paso 1: Establezca a 1^  y etiquete el nodo 1 con [  , ]. Establezca i = 1.

Paso 2: S 1   2, 3, 4   

Paso 3: k = 2 y a 2 (^)  c 12 (^)  máx [10,10,10]. Etiquete el nodo 2 con [10,1]. Haga i = 2 y repita el

paso 2. Paso 2: S (^) 2 {3,5 }

Paso 3: k = 3 y a 3 (^)  c 23  30. Etiquete el nodo 3 con [30,2]. Establezca i = 3 y repita el paso 2.

El problema es minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de algunos nodos, y de la conexión superior de flujo a través de cada arco. Ejemplo

MPL

12 13 23 24 25 34 35 45 53

12 13 12 24 25 23 13 23 53 34 35 24 34 45 35 25 45 53 12 13 35 24 34 25 53 25

4 4 2 2 6 3 2

.. 20 0 0 5 15 15, 8, 5, 4, 15, 10, 4, 10 ij^0

mínZ x x x x x x x x x s a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

        

                          

La solución óptima es: x 12 (^)  12, x 13 (^)  8, x 23 (^)  8, x 24 (^)  4, x 34 (^)  11, x 35 (^)  5, x 45  10 , todos los demás

xij  0.

El costo óptimo es: $

El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son determinísticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticos o estocásticos. El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas. Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas.

La siguiente tabla muestra algunos casos reales de organizaciones que han hecho uso de la Investigación Operativa y las ganancias y/o ahorros conseguidos a raíz de ello.

Organización Aplicación Año Ahorros anuales

The Netherlands Rijkswaterstaat

Desarrollo de la política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operaciones y costeo

1985 $15 millones

Monsanto Corp. Optimización de las operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo

1985 $2 millones

Weyerhauser Co. Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción

1986 $15 millones

Electrobas/CEPAL Brasil

Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía

1986 $43 millones

United Airlines Programación de turnos de trabajo en oficinas de reservaciones y aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo

1986 $6 millones

Citgo Petroleum Corp.

Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos

1987 $70 millones

SANTOS, Ltd., Australia

Optimización de inversiones de capital para producir gas natural durante 25 años 1987 $3 millones

Electric Power Research Institute

Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes

1989 $59 millones

San Francisco Police Department

Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema informatizado

1989 $11 millones

Texaco Inc. Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad

1989 $30 millones

IBM Integración de una red nacional de inventario de refacciones para mejorar el apoyo al servicio

$20 millones + $250 millones en menor inventario

U.S. Military Airlift Command

Rapidez en la coordinación de aviones, tripulación, carga y pasajeros para manejar la evacuación por aire en el proyecto "Tormenta del Desierto" en el Medio Oriente

1992 Victoria

American Airlines Diseño de un sistema de estructura de precios, sobreventas y coordinación de vuelos para mejorar las utilidades

$500 millones más de ingresos

Yellow Freight System, Inc.

Optimización del diseño de una red nacional de transporte y la programación de rutas de envío

1992 $17.3 millones

New Haven Health Dept.

Diseño de un programa efectivo de cambio de agujas para combatir el contagio del SIDA

33% menos contagios

AT&T Desarrollo de un sistema basado en PC para guiar a los clientes del negocio en el diseño del centro de llamadas

1993 $750 millones

Delta Airlines Maximización de ganancias a partir de la asignación de los tipos de aviones en 2. vuelos nacionales

1994 $100 millones

Digital Equipment Corp.

Reestructuración de toda la cadena de proveedores entre proveedores, plantas, centros de distribución, sitios potenciales y áreas de mercado

1995 $800 millones

China Selección y programación óptima de proyectos masivos para cumplir con las necesidades futuras de energía del país

1995 $425 millones

Cuerpo de defensa de Sudáfrica

Rediseño óptimo del tamaño y forma del cuerpo de defensa y su sistema de armas 1997 $1.100 millones

Procter and Gamble

Rediseño del sistema de producción y distribución norteamericano para reducir costos y mejorar la rapidez de llegada al mercado

1997 $200 millones

Taco Bell Programación óptima de empleados para proporcionar el servicio a clientes deseado con un costo mínimo

1998 $13 millones

Hewlett-Packard Rediseño de tamaño y localización de inventarios de seguridad en la línea de producción de impresoras para cumplir metas de producción

$280 millones de ingreso adicional

Burroughs. Finalmente, en 1984 aceptó la cátedra Schlumberger en la Univ. de Texas at Austin, hasta que jubiló en 1999.

Sus Contribuciones. Dijkstra escribió más de 1300 artículos, pero indudablemente hay tres contribuciones cuyo impacto está presente en numerosos ámbitos de la computación moderna:

• Algoritmo para encontrar el camino más corto en un grafo: este fue el primer problema de grafos que resolvió Dijkstra en 1956 y publicado en 1959 por que en esa época un algoritmo era difícilmente considerado un logro científico. Hoy en día, este algoritmo ha sido usado como la base para protocolos de enrutamiento en Internet, sistemas de posicionamiento global o simplemente para itinerarios de viaje.
• El concepto de abrazo mortal (deadlock) y su solución a través de semáforos y regiones de código con acceso exclusivo. Dijkstra describió el problema con la cena de los famosos cinco filósofos que sólo tenían cinco palillos para comer arroz (ver figura). Si ellos no se ponían de acuerdo y tomaban un palillo cada uno, creaban un deadlock y morían de hambre pues se necesitaban dos palillos para comer. Esta es la base de la programación concurrente y una parte fundamental de cualquier sistema operativo.
• Su aporte a la programación estructurada. Dijkstra participó en el comité que diseño Algol 60, el primer lenguaje de programación estructurado, y lo promovió intensamente fomentando la verificación formal de programas y la eliminación del goto. En este tema fue autor y coautor de varios libros, además de su artículo corto "Go To statement considered harmful" (La instrucción go to es considerada dañina) publicado en Communications of ACM en 1968, que es legendario. En 1972 recibió el premio Turing, y su discurso fue publicado en un artículo titulado "The Humble Programmer" (el programador humilde) ese mismo año en Communications of the ACM. Recientemente, en esta misma revista, publicaba un artículo corto titulado "The End of Computing Science?" (El Fin de la Computación), donde recalcaba que el objetivo principal de la computación, ¿Cómo no convertir un programa en un caos?, todavía no se había logrado. El trabajo de Dijkstra siempre se caracterizó por su elegancia y simplicidad, sin comprometer el rigor de su investigación con consideraciones económicas, políticas o administrativas. Contaba el mismo que al preguntarle a su madre cuán difícil eran las matemáticas, ella le contestó: "aprende todas las fórmulas y que si alguna vez necesitaba más de cinco líneas para demostrar algo, estaba en el camino equivocado".

Lester Randolph Ford

Nacido: 25 de de octubre de 1886 en Missouri, EE.UU.

Murió: 11 de noviembre de 1967 en Charlottesville, Virginia, EE.UU.

Lester R Ford fue educado en la escuela del estado de Missouri normal (de la que se graduó Pd.B., que es Licenciado en Pedagogía) y luego asistió a la Universidad Estatal de Missouri. Se graduó con una licenciatura en 1911, y luego continuó estudiando para su maestría.

Se le concedió una Maestría del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Missouri- Columbia en 1912 con una tesis sobre las funciones discontinuas Point-sabia. A continuación, realizó una investigación en Harvard con Maxime Bôcher como su asesor, donde se graduó MA en 1913. Desde 1914 fue profesor en la Universidad de Edimburgo en Escocia, donde fue nombrado como Profesor Ayudante en Matemáticas después de la muerte de John Urquhart.

Ford volvió a los Estados Unidos y terminó el trabajo de doctorado en la Universidad de Harvard. Se le concedió el doctorado en 1917 por su tesis en aproximaciones racionales a un número complejo irracional.

Dos libros importantes publicados por Ford son funciones automorfas (1929) y las ecuaciones diferenciales (1933, segunda edición 1955).

A finales de la década de 1930 Ford se trasladó desde el Instituto Rice al Instituto de Tecnología de armadura en Chicago, Illinois, donde fue nombrado Profesor y Presidente del Departamento de Matemáticas. En 1940, el Instituto de Tecnología de armadura se fusionó con el Instituto de Lewis (que había sido fundada en 1896) para formar el Instituto de Tecnología de Illinois. Se había ganado una reputación como un excelente expositor y escribió artículos pendientes, así como contribuyen a muchos problemas y soluciones matemáticas.

Tal era su contribución a las matemáticas que el Premio Lester R Ford se estableció en 1964 para reconocer a los autores de artículos de excelencia expositiva publicados en The American Mathematical Monthly o Matemáticas Revista.

Se casó con Marguerite Eleanor John (nacido el 26 de enero 1890 a Robert A John y Margaret Morrow Houston) el 15 de junio 1924. Sus hijos incluyen Lester Randolph Ford y Margaret Ford (nacido el 3 de septiembre de 1930).

Delbert Ray Fulkerson

(14 de agosto de 1924 – 10 de enero de 1976)

Fue un matemático estadounidense que desarrolló como co-autor, y junto con Lester Randolph Ford, Jr., el Algoritmo de Ford-Fulkerson, uno de los algoritmos más utilizados para computar el flujo máximo en una red de flujo.

Estudio en B.A. en Matemáticas, en el sur Illinois University, 1947; M.S. en Matemáticas,Universidad de Wisconsin, 1948; Ph.D. en Matemáticas de la Universidad de Wisconsin, 1951.

Sus principales puestos dentro del campo laboral fueron en elDepartamento de Matemáticas, 1951-1971; Maxwell M.Profesor de Ingeniería y el profesor de Investigación Operativa y Matemática Aplicada, Universidad de Cornell, 1971-1976.Trabajo seminal de Delbert Ray Fulkerson en los flujos de la red, a gran escala de programación lineal, y optimización combinatoria.

Su colaboración con Lester R. Ford, Jr. puso los cimientos de toda la materia. Todo comenzó con una específica aplicación a las operaciones militares trajeron a su atención durante el almuerzo en Rand por FS Ross.Ross y Harris TE estaban trabajando en un proyecto para evaluar la capacidad de