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Sistemas de ecuaciones lineales

Ing. César Gutiérrez Cuba

Sistema de ecuaciones Lineales

• Los sistemas de ecuaciones lineales surgen en el modelado de muchos problemas físicos y de ingeniería.
• El sistema lineal de ecuaciones con m ecuaciones en n variables x 1 , x 2

…….,x n tiene la siguiente forma:

• El sistema de ecuaciones lineales, en forma matricial puede expresarse de la forma: - La matriz A es una matriz de coeficientes, y el vector X es un vector solución. - Si cada elemento del vector B es cero, entonces el sistema se llama sistema homogéneo. De lo contrario, es un sistema no homogéneo. Para cualquier sistema homogéneo, la solución cero siempre es una solución, y también se conoce como solución trivial.

Métodos Directos:

1. Método de eliminación de Gauss
2. Métodos de descomposición LU
3. Método de Thomas para sistemas tridiagonales.

Métodos Indirectos:

1. Método de Jacobi
2. Método de Gauss-Seidel

• E 1 E 2 E 3 E

2. Las ecuaciones E i y E j pueden intercambiarse de orden. Se denota esta operación por:

𝑖

𝑗

1

2 E 1 E 2

3. Se puede multiplicar la ecuación E j por cualquier constante k y sumar a la ecuación E i , y utilizar el resultado en vez de E i

. Esta operación se denota por: 𝐸 𝑖

• 𝑘𝐸 𝑗 → 𝐸 𝑖

2

1

2

1 − 1 3 ∗ 3 = 1 − 1 3 ∗2= 1 3 0 − 1 3 ∗ 1 =- 1 3 0 − 1 3 ∗ 0 = 0

Reescribamos el sistema: en la forma de matriz aumentada [A: B] de la siguiente manera:

En el método de eliminación de Gauss, la solución del sistema de ecuaciones, se obtiene en dos fases:

1. Primera fase, el sistema de ecuaciones lineales se convierte en un sistema triangular superior equivalente con la ayuda de operaciones de fila elementales.

En forma algebraica, la última matriz se puede escribir de la siguiente manera:

2. Segunda fase: La solución se obtiene mediante sustituciones hacia atrás. Calculamos la solución del sistema triangular superior (1) de la siguiente manera: a partir de la última ecuación del sistema (1), se puede calcular la variable x n de la siguiente manera: Al usar el valor de x n en la segunda última ecuación, tenemos: De la última ecuación De la penúltima ecuación