¡Descarga Comparación entre el método de la secante y Regula Falsi, acotación y separación de raíces y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity!
(a) Identificación del método y comparación con Regula Falsi
El método expuesto es el de la secante, método derivado del de Newton y por tanto basado en
los algoritmos de iteración funcional. Sus características son:
- Sólo requiere continuidad de la función.
- Se puede emplear independientemente del orden de multiplicidad de la raíz.
- No es posible acotar el error cometido.
- La convergencia es superlineal, sin embargo, es difícil verificar las condiciones
de convergencia. Suele presentar problemas con los extremos y comportamientos
asintóticos.
Por el contrario, Regula Falsi en que este es un método de intervalo, siendo sus
características:
- Requiere que se cumpla el Teorema de Bolzano (la función cambia de signo en
los extremos del intervalo).
- No se puede usar con raíces múltiples de orden par (no hay cambio de signo).
- El error viene acotado por la amplitud del intervalo.
- La convergencia es superlineal.
Veamos esto con algunos ejemplos.
- Estudiamos la función ( x − 1 )
e
− x
en el intervalo [0,3].
El método de Régula Falsi converge hacia la raíz, disminuyendo siempre el valor del
extremo derecho. Sin embargo, independientemente del orden en que se tomen ambos
puntos, el método de la secante diverge.
a f(a) b f(b) xn xn-2 f(xn-2) xn-1 f(xn-1) xn
Sin embargo, se comprueba que la elección de los puntos de partida es fundamental en
el método de la secante. Así, tomando dos puntos de partida diferentes, por ejemplo,
x0=0, x1=0.2, el método de la secante converge.
xn-2 f(xn-2) xn-1 f(xn-1) xn
-0.5 -1 -0.5 Todos los coeficientes s-2 on no positivos, y por tanto la cota es –(1/2) Los
intervalos de las raíces son por tanto [-2,-1/2] y [1/2,1].
Debemos aplicar ahora Boudan-Fourier para determinar las raíces en cada intervalo. Para ello
es necesario determinar el valor del polinomio y de sus derivadas.
P
x )
= x
P
x )
= 3 x
P ′′
x )
= 6 x + 3 -9 0 6 9
P
x )
Variaciones de Signo 3 1 0 0
Raíces en [-2,-½] =|3- 1 |=2 ó 0
Raíces en [½,1].=|0- 0 |=0, pero se observa que ½ es raíz exacta
El polinomio tiene una raíz real en ½. Las otras dos o están en [-2,-½] o son complejas
conjugadas.
Otra forma de estudiarlas hubiera sido mediante el análisis de la función.
P
x )
= 3 x
- 3 x = 0 → x = 0 ∨ x = − 1.
P
= − 3 y P
= 3. Por tanto –1 es un máximo relativo y 0 es el mínimo relativo.
La función es creciente en (-∞,-1], decreciente en [-1,0] y de nuevo creciente en [0, ∞).
Evaluamos los valores en los extremales:
P
= 0 y
P (
Por tanto, existe una raíz doble en –1 y una simple en el intervalo [0, ∞), o más concretamente
en [½,1]. Todo esto se ve fácilmente en la representación del polinomio.
Apartado (c) Realizar 3 iteraciones del algoritmo partiendo de –2 y 1.
xn-2 f(xn-2) xn-1 f(xn-1) xn
4 8
- Cambio de variable
x = y −
A
obteniendo
y
x = y − 0.5 → y
− 0.75 y − 0' 25 = 0
- Cálculo de
D = p
D =
- Se pueden distinguir tres casos:
D > 0 : una raíz real y
1
y dos complejas conjugadas y
2 ,
D = 0 : se tiene una raíz real simple y
1
y otra raíz real doble y
2 ,
D < 0 : se tienen tres raíces reales y 1
, y 2 , 3
- D ≥ 0 , u , v =
− q
D ; y 1
=u+v, y
u + v
( u − v ) i
u , v =
y
y
i =
D < 0
, ϕ = ar cos
− q
− p
y
− p cos
ϕ
y
− p cos
ϕ ± π
- Se deshace el cambio de variable, x
k
= y
k
A
x
= y
x
= y
Si la ecuación fuera un polinomio de grado superior a 4, sus raíces no pueden ser obtenidas de
forma analítica. El método numérico más adecuado para obtener todas las raíces sería el QD.
Si lo que se desea es obtener la raíz negativa, no se puede acudir a métodos de intervalo al no
haber cambio de signo de la función por ser de multiplicidad par. A la hora de elegir un
método de iteración funcional, seleccionamos el de Newton modificado, ya que mantiene la
convergencia cuadrática. No es posible verificar las condiciones de convergencia global, pero
a la vista de la gráfica de la función, esta se verifica para cualquier valor de partida negativo.
