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Métodos numéricos para resolver ecuaciones: Secante, Regula Falsi, Newton y Series Taylor, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

Universitat d'Alacant (UA) Matemáticas

Documento que presenta la resolución de ecuaciones mediante métodos numéricos: secante, regula falsi, newton y series de taylor. El documento incluye ejercicios para prácticas con estos métodos y gráficas de las secantes. Se abordan problemas de optimización, factorización de integrales y determinación de valores propios de matrices.

Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones

2017/2018

Subido el 04/05/2018

jesus-antolin-1
jesus-antolin-1 🇪🇸

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Indice Introducci´on Bisecci´on Secante Regula Falsi Series de Taylor M´etodo de Newton Ejercicios
Ingenier´ıa Inform´atica.
Matem´aticas 2. Practica 5.
Resoluci´on de ecuaciones con m´etodos iterativos.
26 de abril de 2018
Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. Resoluci´on de ecuaciones con m´etodos iterativos.26 de abril de 2018 1 / 38
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Vista previa parcial del texto

¡Descarga Métodos numéricos para resolver ecuaciones: Secante, Regula Falsi, Newton y Series Taylor y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Ingenier´ıa Inform´atica.

Matem´aticas 2. Practica 5.

Resoluci´on de ecuaciones con m´etodos iterativos.

26 de abril de 2018

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. Resoluci´26 de abril de 2018on de ecuaciones con m´ 1 / 38et

Introducci´on

Bisecci´on

Secante

Regula Falsi

Series de Taylor

M´etodo de Newton

Ejercicios

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. Resoluci´26 de abril de 2018on de ecuaciones con m´ 2 / 38et

Introducci´on

Ejemplo

Encontrar un x 0 tal que f (x 0 ) = 0 para f (x) = x^2 − sin(x) − 0.

syms x; f (x) = x∧ 2 − sin(x) − 0. ezplot(f ) hold on line([−10 10], [0 0],’color ’,’r ’) La recta da el intervalo [a, b] donde f (a)f (b) < 0 de acuerdo con el Teorema de Bolzano Si f (x) es continua en [a, b] y f (a)f (b) < 0 , entonces existe al menos un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. Resoluci´26 de abril de 2018on de ecuaciones con m´ 4 / 38et

Introducci´on

Ejemplo

Encontrar un x 0 tal que f (x 0 ) = 0 para f (x) = x^2 − sin(x) − 0.

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. Resoluci´26 de abril de 2018on de ecuaciones con m´ 5 / 38et

Introducci´on

Ejemplo

Encontrar un x 0 tal que f (x 0 ) = 0 para f (x) = x^2 − sin(x) − 0.

  • ¿Qu´e vale f (c)?

    double(subs(f , c)) ans = −0.

  • (^) Entonces: f (a) = −0.5, f (c) = −0.3415 y f (b) = 2.
  • Luego la ra´ız est´a entre a y c puesto que f (a)f (c) < 0
  • (^) Por lo tanto el nuevo valor de b debe ser c y el nuevo intervalo [a, b = c]
  • (^) Este razonamiento conduce al M´etodo de la Bisecci´on

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. Resoluci´26 de abril de 2018on de ecuaciones con m´ 7 / 38et

Bisecci´on

Definici´on

  • (^) Entrada: f (x) y [a, b]
  • Encontrar [ai , bi ] ⊂ [ai+1, bi+1], con f (ai )f (bi ) < 0 , ∀i
  • Algoritmo
    1. Sea ci = (ai + bi )/ 2
    2. Si f (ai )f (ci ) < 0, entonces bi+1 = ci , ai+1 = ai en caso contrario ai+1 = ci , bi+1 = bi
    3. Paramos si
      • (^) hi = |bi − ai |/ 2 < ∆
      • (^) |f (ci )| < 
      • (^) i = ciento valor dado
    4. En caso de que no se cumpla ninguna de las condiciones de parada i = i + 1 y volver al punto 1

Es un m´etodo cerrado, lo que significa que la ra´ız est´a en [ai , bi ]

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. Resoluci´26 de abril de 2018on de ecuaciones con m´ 8 / 38et

  • Para [a, b] = [0, 2] se tiene f (1.1963) = −0. - i a c b (b − a)/ - 2 1 1.5 2 0. - 3 1 1.25 1.5 0. - 4 1 1.125 1.25 0. - 5 1.125 1.1875 1.25 0. - 6 1.1875 1.2188 1.25 0. - 7 1.1875 1.2031 1.2188 0. - 8 1.1875 1.1953 1.2031 0. - 9 1.1953 1.1992 1.2031 0.
    • 10 1.1953 1.1973 1.1992 0.
    • 11 1.1953 1.1963 1.1973 0.
  • Para [a, b] = [− 1 , 0] se tiene f (−0.37012) = −0. Bisecci´on - i a c b (b − a)/ - 1 -1 -0.5 0 0. - 2 -0.5 -0.25 0 0. - 3 -0.5 -0.375 -0.25 0. - 4 -0.375 -0.3125 -0.25 0. - 5 -0.375 -0.34375 -0.3125 0. - 6 -0.375 -0.35938 -0.34375 0. - 7 -0.375 -0.36719 -0.35938 0. - 8 -0.375 -0.37109 -0.36719 0. - 9 -0.37109 -0.36914 -0.36719 0.
    • 10 -0.37109 -0.37012 -0.36914 0.

Secante

Definici´on

  • Entrada: f (x) y [a, b]
  • (^) Encontrar [ai , bi ] ⊂ [a, b]
  • (^) Algoritmo
    1. Si |f (ai )| > |f (bi )| entonces intercambiar ai y bi
    2. Sea ci = ai − hi donde hi = f f^ ( (abi^ i)( )−bif^ − (aaii ))
    3. Sea bi = ci
    4. Paramos si
      • hi < ∆
      • |f (ci )| < 
      • i = ciento valor dado
    5. En caso de que no se cumpla ninguna de las condiciones de parada i = i + 1 y volver al punto 1

Es un m´etodo abierto, lo que significa que no se tiene seguridad de que la ra´ız est´a en [ai , bi ] Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. 26 de abril de 2018Resoluci´on de ecuaciones con m´ 11 / 38et

Secante

Para [a, b] = [− 1 , 0] se tiene f (−0.3709) = 2.1190 ∗ 10 −^5

i a b h c f (c) 1 0 -1 0.2715 -0.2715 - 2 -0.2715 0 0.1255 -0.3971 0. 3 -0.3971 -0.2715 -0.0275 -0.3695 -0. 4 -0.3695 -0.3971 0.0013 -0.3709 2.1190e-

En ambos casos el M´etodo Secante converge a la misma ra´ız, pero en menos iteraciones que en el M´etodo de la Bisecci´on

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. 26 de abril de 2018Resoluci´on de ecuaciones con m´ 13 / 38et

Secante

Gr´afica

Resoluci´on f (x) − x^2 − sin(x) − 0.5 = 0 en [a, b] = [0, 2]

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. 26 de abril de 2018Resoluci´on de ecuaciones con m´ 14 / 38et

Regula Falsi

Definici´on

  • Entrada: f (x) y [a, b].
  • (^) Encontrar [ai , bi ] ⊂ [ai+1, bi+1], con f (ai )f (bi ) < 0 ∀i
  • (^) Algoritmo:
    1. Si |f (ai )| > |f (bi )| entonces intercambiar ai y bi.
    2. Sea ci = ai − hi donde hi = f f^ ( (abi^ i)( )−bif^ − (aaii ))
    3. Si f (ai )f (ci ) < 0 entonces bi+1 = ci , ai+1 = ai ; en caso contrario ai+1 = ci , bi+1 = bi ;
    4. Paramos si
      • (^) hi < ∆
      • (^) |f (ci )| < 
      • (^) i = ciento valor dado.
    5. En caso de que no se cumpla ninguna de las condiciones de parada i = i + 1 y volver al punto 1

Es un m´etodo cerrado, lo que significa que la ra´ız est´a en [ai , bi ] Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. 26 de abril de 2018Resoluci´on de ecuaciones con m´ 16 / 38et

Regula Falsi

Para [a, b] = [0, 2] tenemos f (1.1958) = −5.7133 ∗ 10 −^4

i a b h c f (c) 1 0 2 -0.3236 0.3236 -0. 2 0.3236 2 -0.3619 0.6855 -0. 3 0.6855 2 -0.2679 0.9534 -0. 4 0.9534 2 -0.1419 1.0953 -0. 5 1.0953 2 -0.0616 1.1569 -0. 6 1.1569 2 -0.0244 1.1813 -0. 7 1.1813 2 -0.0093 1.1906 -0. 8 1.1906 2 -0.0035 1.1940 -0. .. .. .. .. .. .. 10 1.1953 2 -4.8592e-04 1.1958 -5.7133e-

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. 26 de abril de 2018Resoluci´on de ecuaciones con m´ 17 / 38et

Regula Falsi

Para [a, b] = [− 1 , 0] se tiene f (−0.3707) = −3.1354 ∗ 10 −^4

i a b h c f (c) 1 0 -1 0.2715 -0.2715 - 2 -0.2715 -1 0.0768 -0.3483 -0. 3 -0.3483 -1 0.0177 -0.3660 -0. 4 -0.3660 -1 0.0039 -0.3698 -0. 5 -0.3698 -1 8.3164e-04 -0.3707 -3.1354e-

El M´etodo converge a la misma ra´ız, pero en m´as iteraciones que las obtenidas en el M´etodo de la Secante

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. 26 de abril de 2018Resoluci´on de ecuaciones con m´ 19 / 38et

Regula Falsi

Gr´afica

Resoluci´on f (x) − x^2 − sin(x) − 0.5 = 0 en [a, b] = [− 1 , 0]

Ingenier´ıa Inform´atica. Matem´aticas 2. Practica 5. 26 de abril de 2018Resoluci´on de ecuaciones con m´ 20 / 38et