¡Descarga Calculo de raices de polinomios: método Regula-Falsi y orden de convergencia y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matem`atiques 3
Curs 2011-2012/
Grup M1 – Professor: Francesc Pozo
Primer Parcial. 26/10/2011. Versi´o 1.
- [10+5+5 punts] Considerem el problema de determinar les solucions de l’equaci´o f (x) = 0. Denotem per α aquesta arrel. Per aproximar la soluci´o α utilitzarem m
etodes iteratius. Un metode iteratiu ´es d’ordre p si |xk+1^ − α| ≤ λ|xk^ − α|p, 0 < λ < 1. Volem determinar la soluci´o de l’equaci´o x^3 − 3 = 0. Amb aquest objectiu, considereu l’algoritme iteratiu seg¨uent:
xk+1^ = xk^ −
xk^ + (xk)−^2
(a) Considerant com a aproximaci´o inicial x^0 = 1.6422, calculeu x^1 i x^2. Feu els c`alculs amb el major nombre de decimals possible.
(b) Quin ´es l’ordre de convergencia d’aquest metode? Indicaci´o (que no heu de seguir obli- gat`oriament): apliqueu logaritmes a l’expressi´o |xk+1^ − α| ≤ λ|xk^ − α|p, a¨ılleu la p i negligiu el valor de (^) log(log(|xkλ (^) −)α|). Justifiqueu la resposta.
(c) Coneixeu algun metode numeric amb el mateix ordre de converg`encia? Justifiqueu la resposta.
- [30 punts] Considereu la funci´o f (x) tal que: f (0) = 0, f (2) = 2 i f (3) = 1. Calculeu l’spline C^0 lineal que interpola f (x). Expresseu-lo de la seg¨uent manera,
p(x) = a 0 Φ 0 (x) + a 1 Φ 1 (x) + a 2 Φ 2 (x),
detallant clarament qui ´es Φ 0 (x), Φ 1 (x) i Φ 2 (x).
- [10+20 punts] Calculeu l’`area de la regi´o limitada per l’eix d’abscisses, la funci´o f (x) = x^2 ex^ i les rectes x = 0 i x = 1.
(a) Exactament, sabent que
0 xe
xdx = 1.
(b) Numericament, fent servir el metode compost de Simpson, amb un error ET inferior a 0.05. Recordeu que la f´ormula de l’error quan es fa servir el m`etode compost de Simpson ´es
ES (h) =
(b − a)h^4 f (4)(μ), μ ∈ [a, b]
- [20 punts] Quina d’aquestes tres integrals es pot resoldre exactament fent servir nom´es el m
etode simple del trapezi i/o el metode simple de Simpson? Calculeu-la.
0
0
x^4 ydxdy
0
0
x^2 y^2 dxdy
0
0
(x^2 + y^2 )dxdy
Competencia Generica.
- [50 punts] Mitjan¸cant un experiment obtenim les dades (xi, f (xi)), i = 0,... , n. Consi- dereu una aproximaci´o trigonom`etrica per m´ınims quadrats amb interpolant
p(x) = α sin(2x) + β cos(2x).
Dedu¨ıu el sistema d’equacions que permet calcular els coeficients α i β.
- [50 punts] Considerant com a aproximacions inicials x^0 = 0 i x^1 = 3, calculeu les ite- racions x^2 i x^3 que aproximen el zero del polinomi p(x) = x^3 − 3 fent servir el m`etode de Regula-Falsi. Quantes xifres significatives t´e x^3 respecte de l’arrel exacta?
Matem`atiques 3
Curs 2011-2012/
Grup M1 – Professor: Francesc Pozo
Primer Parcial. 26/10/2011. Versi´o 2.
- [10+5+5 punts] Considerem el problema de determinar les solucions de l’equaci´o f (x) = 0. Denotem per α aquesta arrel. Per aproximar la soluci´o α utilitzarem m
etodes iteratius. Un metode iteratiu ´es d’ordre p si |xk+1^ − α| ≤ λ|xk^ − α|p, 0 < λ < 1. Volem determinar la soluci´o de l’equaci´o x^3 − 3 = 0. Amb aquest objectiu, considereu l’algoritme iteratiu seg¨uent:
xk+1^ =
xk−^1 (xk)^2 + (xk−^1 )^2 xk^ + 3 (xk)^2 + xk−^1 xk^ + (xk−^1 )^2 (a) Considerant com a aproximacions inicials x^0 = 1.2422 i x^1 = 1.6422, calculeu x^2 i x^3. Feu els calculs amb el major nombre de decimals possible. (b) Quin ´es l’ordre de convergencia d’aquest metode? Indicaci´o (que no heu de seguir obli- gatoriament): apliqueu logaritmes a l’expressi´o |xk+1^ − α| ≤ λ|xk^ − α|p, a¨ılleu la p i negligiu el valor de (^) log(log(|xkλ (^) −)α|). Justifiqueu la resposta.
(c) Coneixeu algun metode numeric amb el mateix ordre de converg`encia? Justifiqueu la resposta.
- [30 punts] Considereu la funci´o f (x) tal que: f (0) = 0, f (1) = 2 i f (3) = 1. Calculeu l’spline C^0 lineal que interpola f (x). Expresseu-lo de la seg¨uent manera,
p(x) = a 0 Φ 0 (x) + a 1 Φ 1 (x) + a 2 Φ 2 (x),
detallant clarament qui ´es Φ 0 (x), Φ 1 (x) i Φ 2 (x).
- [10+20 punts] Calculeu l’`area de la regi´o limitada per l’eix d’abscisses, la funci´o f (x) = x^2 ex^ i les rectes x = 0 i x = 1.
(a) Exactament, sabent que
0 xe
xdx = 1.
(b) Numericament, fent servir el metode compost del trapezi, amb un error ET inferior a 0.05. Recordeu que la f´ormula de l’error quan es fa servir el m`etode compost del trapezi ´es
ET (h) =
(b − a)h^2 f ′′(μ), μ ∈ [a, b]
- [20 punts] Quina d’aquestes tres integrals es pot resoldre exactament fent servir nom´es el m
etode simple del trapezi i/o el metode simple de Simpson? Calculeu-la.
(1)
0
0
x^4 ydxdy
0
0
x^2 y^2 dxdy
0
0
(x^2 + y^2 )dxdy
Competencia Generica.
- [50 punts] Mitjan¸cant un experiment obtenim les dades (xi, f (xi)), i = 0,... , n. Consi- dereu una aproximaci´o trigonom`etrica per m´ınims quadrats amb interpolant
p(x) = α sin(2x) + β cos(2x).
Dedu¨ıu el sistema d’equacions que permet calcular els coeficients α i β.
- [50 punts] Considerant com a aproximacions inicials x^0 = 0 i x^1 = 3, calculeu les ite- racions x^2 i x^3 que aproximen el zero del polinomi p(x) = x^3 − 3 fent servir el m`etode de Regula-Falsi. Quantes xifres significatives t´e x^3 respecte de l’arrel exacta?
L’spline C^0 lineal que interpola aquests punts ´es
p(x) = 0 · Φ 0 (x) + 2 · Φ 1 (x) + 1 · Φ 2 (x),
on
Φ 0 (x) =
{ (^) x− 2 0 − 2 =^
2 −x 2 ,^ x^ ∈^ [0,^ 2] 0 , altrament
Φ 1 (x) =
x− 0 2 − 0 =^
x 2 ,^ x^ ∈^ [0,^ 2] x− 3 2 − 3 = 3^ −^ x,^ x^ ∈^ [2,^ 3] 0 , altrament
Φ 2 (x) =
{ (^) x− 2 3 − 2 =^ x^ −^2 ,^ x^ ∈^ [2,^ 3] 0 , altrament
- [10+20 punts] Calculeu l’`area de la regi´o limitada per l’eix d’abscisses, la funci´o f (x) = x^2 ex^ i les rectes x = 0 i x = 1.
(a) Exactament, sabent que
0 xe
xdx = 1.
(b) Numericament, fent servir el metode compost de Simpson, amb un error ET inferior a 0.05. Recordeu que la f´ormula de l’error quan es fa servir el m`etode compost de Simpson ´es
ES (h) =
(b − a)h^4 f (4)(μ), μ ∈ [a, b]
(a) Ens demanen el c`alcul de la integral ∫ (^1)
0
x^2 exdx
que es resol aplicant el m`etode d’integraci´o per parts amb les parts
u = x^2 , du = 2xdx dv = exdx, v = ex
En efecte, i sabent que
0 xe
xdx = 1,
∫ (^1)
0
x^2 exdx =
[
x^2 ex
] 1
0
2 xexdx
= e − 2
0
xexdx ︸ ︷︷ ︸ 1 = e − 2
(b) Hem de trobar el valor de n que fa que la f´ormula de l’error sigui inferior a 0.05. En primer lloc, anem a expressar la f´ormula de l’error com a funci´o de n, tenim en compte que
h = b − a n Per tant,
ES (n) =
(b − a)
(b − a)^4 n^4 f (4)(μ)
(b − a)^5 n^4
f (4)(μ)
Tamb´e hem de poder fitar el terme f (4)(μ), per la qual cosa cal con`eixer la derivada quarta de la funci´o x^2 ex. Les quatre primeres derivades s´on:
f ′(x) = (2x + x^2 )ex f ′′(x) = (2 + 4x + x^2 )ex f ′′′(x) = (6 + 6x + x^2 )ex f (4)(x) = (12 + 8x + x^2 )ex
Donat que tots el termes de la quarta derivada s´on funcions creixents, el valor m`axim s’assoleix en x = 1. Per tant,
|f (4)(μ)| ≤ 21 e
Aleshores,
|ES (n)| =
n^4
f (4)(μ)
n^4
21 e
∣ ≤^0.^05 ⇔^
21 e ≤ n^4
21 e ≤ n
⇔ 0. 7934833555 ≤ n
Per tant, amb n = 1 n’hi ha prou, ´es a dir, apliquem el m`etode simple de Simpson. En efecte,
IS =
(f (0) + 4f (0.5) + f (1))
= 0. 7278338499
Si comparem amb el valor exacte,
| 0. 7278338499 − (e − 2)| = 0. 009552022 < 0. 05
podem veure que l’error que hem com`es ´es inferior a 0.05, com ens havien demanat.
- [20 punts] Quina d’aquestes tres integrals es pot resoldre exactament fent servir nom´es el m
etode simple del trapezi i/o el metode simple de Simpson? Calculeu-la.
0
0
x^4 ydxdy
0
0
x^2 y^2 dxdy
0
0
(x^2 + y^2 )dxdy
Amb els m`etodes del trapezi i Simpson podem integrar exactament funcions que tinguin segona i quarta derivades nul.les, respectivament. Aleshores, si observem la segona integral, que es pot escriure ∫ (^2)
0
0
x^2 y^2 dxdy =
0
y^2
0
x^2 dx
dy
0
x^2 dx
0
y^2 dy
0
x^2 dx
observen que es podra resoldre exactamente fent servir el metode simple de Simpson. En efecte, ∫ (^2)
0 ︸︷︷︸^ x^2 f (x)
dx =
(f (0) + 4f (1) + f (2))
El sistema resultant ´es, doncs
∂E
∂α
∑^ n
i=
2[f (xi) − α sin(2xi) − β cos(2xi)](− sin(2xi)) = 0
∂E
∂β
∑^ n
i=
2[f (xi) − α sin(2xi) − β cos(2xi)](− cos(2xi)) = 0
Que en forma matricial s’escriu
[ ∑n i=0 sin
(^2) (2x i)^
∑n ∑n i=0^ sin(2xi) cos(2xi) i=0 sin(2xi) cos(2xi)^
∑n i=0 sin
(^2) (2xi)
] [
α β
]
[ ∑n ∑in=0^ f^ (xi) sin(2xi) i=0 f^ (xi) cos(2xi)
]
- [50 punts] Considerant com a aproximacions inicials x^0 = 0 i x^1 = 3, calculeu les ite- racions x^2 i x^3 que aproximen el zero del polinomi p(x) = x^3 − 3 fent servir el m`etode de Regula-Falsi. Quantes xifres significatives t´e x^3 respecte de l’arrel exacta?
Una de les possibles f´ormules del m`etode de Regula-Falsi ´es
xk+1^ = xk^ − f (xk)(xk^ − xk−^1 ) f (xk) − f (xk−^1 )
Aleshores, tenir en compte que x^0 = 0 i x^1 = 3, calculem x^2 com
x^2 = x^1 −
f (x^1 )(x^1 − x^0 ) f (x^1 ) − f (x^0 )
Observem que ara, el canvi de signe el tenim a l’interval [x^2 , x^1 ], ja que
f (x^2 ) · f (x^1 ) < 0
Per tant,
x^3 = x^2 −
f (x^2 )(x^2 − x^1 ) f (x^2 ) − f (x^1 )
Sabent que l’arrel real ´es α = 3
3, l’error relatiu de l’aproximaci´o x^3 ´es ∣ ∣ ∣ ∣
α − x^3 α
∣ = 0.^5656967839 ,
el que implica que no t´e cap xifra significativa correcta.
Matem`atiques 3
Curs 2011-2012/
Grup M1 – Professor: Francesc Pozo
Primer Parcial. 26/10/2011. Versi´o 2.
- [10+5+5 punts] Considerem el problema de determinar les solucions de l’equaci´o f (x) = 0. Denotem per α aquesta arrel. Per aproximar la soluci´o α utilitzarem m
etodes iteratius. Un metode iteratiu ´es d’ordre p si |xk+1^ − α| ≤ λ|xk^ − α|p, 0 < λ < 1. Volem determinar la soluci´o de l’equaci´o x^3 − 3 = 0. Amb aquest objectiu, considereu l’algoritme iteratiu seg¨uent:
xk+1^ = xk−^1 (xk)^2 + (xk−^1 )^2 xk^ + 3 (xk)^2 + xk−^1 xk^ + (xk−^1 )^2
(a) Considerant com a aproximacions inicials x^0 = 1.2422 i x^1 = 1.6422, calculeu x^2 i x^3. Feu els c`alculs amb el major nombre de decimals possible.
(b) Quin ´es l’ordre de convergencia d’aquest metode? Indicaci´o (que no heu de seguir obli- gat`oriament): apliqueu logaritmes a l’expressi´o |xk+1^ − α| ≤ λ|xk^ − α|p, a¨ılleu la p i negligiu el valor de (^) log(log(|xkλ (^) −)α|). Justifiqueu la resposta.
(c) Coneixeu algun metode numeric amb el mateix ordre de converg`encia? Justifiqueu la resposta.
(a) Els valors de x^2 i x^3 s´on:
x^2 = 1. 414690515 x^3 = 1. 438718601
(b) Seguint la indicaci´o, aplicarem logaritmes, a¨ıllarem la p i negligirem el valor de (^) log(log(|xkλ (^) −)α|). En efecte,
|xk+1^ − α| ≤ λ|xk^ − α|p^ ⇔ log(|xk+1^ − α|) ≤ log(λ) + p log(|xk^ − α|)
⇔ log(|xk+1^ − α|) log(|xk^ − α|)
log(λ) log(|xk^ − α|) ︸ ︷︷ ︸ ' 0
≤ p
log(|xk+1^ − α|) log(|xk^ − α|)
' p
Es a dir, podem dir que l’ordre de converg`^ ´ encia ´es, aproximadament el valor que s’obt´e en calcular log(|x
k+1−α|) log(|xk^ −α|) donades dues aproximacions consecutives^ x
k (^) i xk+1. En el nostre
cas, tenim que l’arrel exacta ´es 3
- Aleshores,
log(|x^3 − α|) log(|x^2 − α|)
Per tant, podem inferir que l’ordre de converg`encia del ´es un valor entre 1 i 2.
(c) El metode de la secant ´es un metode per a calcular zeros de funcions amb converg`encia superlineal, ´es a dir, la p ´es un valor entre 1 i 2, com el que acabem de trobar.
- [30 punts] Considereu la funci´o f (x) tal que: f (0) = 0, f (1) = 2 i f (3) = 1. Calculeu l’spline C^0 lineal que interpola f (x). Expresseu-lo de la seg¨uent manera,
p(x) = a 0 Φ 0 (x) + a 1 Φ 1 (x) + a 2 Φ 2 (x),
detallant clarament qui ´es Φ 0 (x), Φ 1 (x) i Φ 2 (x).
Donat que tots el termes de la segona derivada s´on funcions creixents, el valor m`axim s’assoleix en x = 1. Per tant,
|f ′′(μ)| ≤ 7 e
Aleshores,
|ET (n)| =
n^2
f ′′(μ)
n^2
7 e
∣ ≤^0.^05 ⇔^
7 e ≤ n^2
7 e ≤ n
⇔ 5. 631455231 ≤ n
Per tant, amb n = 6 n’hi ha prou, ´es a dir, apliquem el m`etode compost del trapezi. En efecte, i tenint present que h = b−na = 16 ,
IT =
1 6 2
f (0) + 2f
Si comparem amb el valor exacte,
| 0. 7371273906 − (e − 2)| = 0. 018845563 < 0. 05
podem veure que l’error que hem com`es ´es inferior a 0.05, com ens havien demanat.
- [20 punts] Quina d’aquestes tres integrals es pot resoldre exactament fent servir nom´es el m
etode simple del trapezi i/o el metode simple de Simpson? Calculeu-la.
0
0
x^4 ydxdy
0
0
x^2 y^2 dxdy
0
0
(x^2 + y^2 )dxdy
Amb els m`etodes del trapezi i Simpson podem integrar exactament funcions que tinguin segona i quarta derivades nul.les, respectivament. Aleshores, si observem la segona integral, que es pot escriure
∫ (^2)
0
0
x^2 y^2 dxdy =
0
y^2
0
x^2 dx
dy
0
x^2 dx
0
y^2 dy
0
x^2 dx
observen que es podra resoldre exactamente fent servir el metode simple de Simpson. En efecte,
∫ (^2)
0 ︸︷︷︸^ x^2 f (x)
dx =
(f (0) + 4f (1) + f (2))
Per tant,
∫ (^2)
0
0
x^2 y^2 dxdy =
La primera integral es pot escriure
∫ (^2)
0
0
x^4 ydxdy =
0
ydy
0
x^4 dx
pero la integral del factor de la dreta no es pot calcular de forma exacta amb el metode simple de Simpson, ja que ´es un polinomi de grau 4. Finalment, la tercera integral tamb´e es pot resoldre fent servir el metode simple de Simpson i el metode simple del trapezi, procedint de la seg¨uent manera:
0
0
(x^2 + y^2 )dxdy =
0
0
x^2 dx ︸ ︷︷ ︸ Simpson
+y^2
0
dx ︸ ︷︷ ︸ Trapezi
dy
0
[
(0 + 4 + 4) + y^2
]
dy
0
[
]
dy
0
dy ︸ ︷︷ ︸ Trapezi
0
y^2 dy ︸ ︷︷ ︸ Simpson
=
Competencia Generica.
- [50 punts] Mitjan¸cant un experiment obtenim les dades (xi, f (xi)), i = 0,... , n. Consi- dereu una aproximaci´o trigonom`etrica per m´ınims quadrats amb interpolant
p(x) = α sin(2x) + β cos(2x).
Dedu¨ıu el sistema d’equacions que permet calcular els coeficients α i β.
Tenint en compte que en aquest cas
E(α, β) =
∑^ n
i=
[f (xi) − α sin(2xi) − β cos(2xi)]^2
els valors d’α i β que fan que p(x) sigui l’interpolant de f (x) segons el criteri de m´ınims quadrats es determinen mitjan¸cant la minimitzaci´o
min α,β
E(α, β)
Per tant, els par`ametres α i β els determinem imposant
∂E ∂α
∂E
∂β
El sistema resultant ´es, doncs
∂E
∂α
∑^ n
i=
2[f (xi) − α sin(2xi) − β cos(2xi)](− sin(2xi)) = 0
∂E
∂β
∑^ n
i=
2[f (xi) − α sin(2xi) − β cos(2xi)](− cos(2xi)) = 0
