métodos numericos no equidistantes, Diapositivas de Matemáticas

¡Descarga métodos numericos no equidistantes y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

diferenciales

ordinarias de

primer orden

• Integrantes:
• Curso:
• Métodos Numéricos
• Profesor:
• Msc. Ing. Lic. Marlene Ruiz Diaz

INTRODUCCIÓN

Problemas De Valor Inicial:

Supongamos que una función que es derivable en el un

intervalo , tal que

La gráfica de la solución debe de pasar por el punto

dado como valor incial ()

Generalización:

Sea un problema de con valores iniciales para una ecuación diferencial

de orden

En donde se debe de hallar la solución considerando que en un

intervalo se satisfaga en las condiciones inciales

En donde y , son constantes

Observe que el conjunto de puntos en el plano que satisfacen

y forman un rectángulo. La siguiente figura muestre este "rectángulo de

continuidad" con el punto inicial () en su interior y un bosquejo de la

parte de la curva solución contenida en él.

Teorema De Existencia y Unicidad De La Solución:

Dado del problema con valor inicial

Suponiendo que y son funciones continuas en el rectangulo

que contiene al punto. Entonces el problema con valor inicial tiene una

única solución en algún intervalo.

Método de Heun

Método de Euler mejorado

¿Problemas con el método de Euler? Una fuente fundamental de error con el método de Euler se debe a que la derivada al principio del intervalo se aplica a través del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples que ayudan a evitar este inconveniente; a continuación, se expondrá el método de Heun.

Combinando las dos pendientes, tenemos el promedio del intervalo:

• (^) Esta pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente el valor de la función en el siguiente punto usando el método de Euler: Método de Heun

• (^) Predictor:
• Corrector: Método de Heun

Ejemplo: Dado el PVI. Resolver y dibujar la solución para 2 ≤ x ≤ 3 con el Método de Euler mejorado. Método de Heun

Solución.- Tomamos h=0,2 y se genera la tabla de datos en Excel, tabla 3, para ello una vez introducidos los distintos valores de x n , seguidamente se calcula el valor de y 1

• a partir de la fórmula (α), introduciendo en la hoja de cálculo la fórmula “ =C3+h(0,1raíz(C3)+0,4A3^2” de forma que se pueda corregir este valor mediante la fórmula ( 𝛽) obteniendo el valor y 1 al introducir en la columna la fórmula “=C3+h/2((0,1raíz(C3)+0,4A3^2)+(0,1raíz(B4)+0,4A4^2))”. Luego se dibuja la gráfica con el valor de predicción y el corregido. Repitiendo el proceso para h=0,1 y h=0,05 se obtiene: Método de Heun

h = 𝑥 (^) 𝑓 − 𝑥 0 𝑛

Método de Euler

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑙𝑎𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝐷𝑂 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑚 é 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (^ 𝑥 )^ − ln ( 𝑦 ) 𝑦 ( 0.13 )=0.32 (^) 𝑛 = 4 𝑦 ( 0.14 )=¿