modelos PL N, Apuntes de Química Industrial

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Programación Lineal (PL).

Construcción de Modelos.

Investigación de Operaciones I

( SIS-209; IND-225)

Ing. Viktoria Belianskaya

Programación Lineal (PL). Construcción de Modelos. Contenido:  (^) El impacto de PL en la actualidad.  (^) Elementos de los modelos de PL.  (^) Proceso de construcción de los modelos de PL.  (^) Ejemplo prototipo.  (^) Suposiciones y limitaciones de los modelos de PL.  (^) Ejemplos de construcción de los modelos de PL para diferentes áreas de aplicación.

Programación Lineal (PL)



Nace oficialmente el 1947. Modelo General de

PL y su solución. Proyecto SCOOP (Scientific

Computation of Optimum Program). George

Dantzig.



Primeras aplicaciones: militares, económicas y

teoría de juegos. Actualmente: transporte, medio

ambiente, sociología, hospitales, industria en

general.

Método de solución de PL.

Método SIMPLEX de la solución del

modelo general de PL (1947).

Primera computadora (1946).

Primer problema de PL resuelto con éxito:

problema de la dieta (1948), manualmente

tomó 120 días-hombre, hoy con el uso de

computadora es fracción de segundo.

Modelo Ejemplo 1

 Xe – cantidad de los teléfonos estándar para la producción

diaria (en unidades);

Xl – cantidad de los teléfonos deluxe para la producción

diaria (en unidades).

Xe≥0, Xl ≥

 30Xe+30Xl ≤ 450 límite del tiempo de ensamblaje

10Xe+15Xl ≤ 180 límite de tiempo de inspección

Xl ≥ 6 se debe cumplir la orden de los tel. de luxe

Z= 40Xe + 60Xl → max ganancia total debe ser la

máxima posible

Ejemplo Prototipo 2 (problema de la dieta)

 Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar las

cantidades de los distintos tipos de alimentos disponibles (maíz,

grasas y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como los cerdos se

comerán cualquier mezcla de estos tipos de alimentos, el objetivo

es determinar que mezcla cumple ciertos requerimientos

nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las

unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en

un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos

nutricionales diarios y los costos de los alimentos.

Ingrediente

nutricional

Kilogramo de

maíz

Kilogramo

de grasas

Kilogramo

de alfalfa

Requerimiento

mínimo diario

Carbohidratos 90 20 40

Proteínas 30 80 60

Vitaminas 10 20 60

Costo(u.m.) 84 72

Ejemplo Prototipo 3(requerimiento de personal)

 El famoso restaurante E.S. Mann está abierto las 24 horas del día. Los

meseros y ayudantes se reportan para trabajar al inicio de los seis

periodos indicados en la tabla, cada uno trabaja un turno de 8 horas. La

siguiente tabla muestra el mínimo número de trabajadores necesarios

durante los seis períodos en que está dividido el día. El problema de

programación de Mann es la determinación de cuántos meseros y

ayudantes deben reportarse al trabajo al principio de cada período de

tiempo, con el fin de minimizar el total de empleados requeridos para un

día de operación: (pista: Xi es igual al número de meseros y ayudantes

que inician su trabajo en el período i, donde i=1,2,3,4,5,6).

Perío

do Hora

Número requerido de meseros y

ayudantes

1 3 am - 7am 3

2 7 am - 11am 12

3 11am - 3pm 16

4 3 pm - 7 pm 9

5 7 pm - 11pm 11

6 11pm - 3 am 4

Modelo Ejemplo 3

Variables Xi - el número de meseros y ayudantes que inician su trabajo en el período i, donde i=1,2,3,4,5,6) Xi≥

Restricciones La cantidad de los trabajadores debe alcanzar para el periodo determinado Período1: X6+X1 ≥ 3 Período4: X3+X4 ≥ 9 Período2: X1+X2 ≥ 12 Período5: X4+X5 ≥ 11 Período 3:X2+X3 ≥ 16 Período6: X5+X6 ≥ 4

Función Objetivo Z= X1+X2+X3+X4+X5+X6 → min minimizar el total de los meseros y ayudantes contratados

Entender el problema Objetivo es determinar las horas que debe ejecutarse cada proceso de manera que se maximice la utilidad total cumpliendo con las condiciones. <=30 kg 20$/kg Dipirona 3 kg/h 1 kg/h 1 kg/h Proceso 2 <=9 horas <=9 horas Proceso 1 Aspirina

=7 kg 60$/kg 2 kg/h

En la misma hora !!! En la misma hora !!!

Modelo ejemplo 4

 Variables:

Xi – horas de ejecución del proceso i

Xi>=

 Restricciones:

1) Aspirina no más que 30 kg

2X1+3X2<=30 kg/hh+kg/hh= kg+kg= kg<=kg

análisis dimensional

2) Dipirona no menos que 7 kg

1X1+1X2>=

3) Cada proceso no más que 9 horas

X1<=9 X2<=

4) Horas Proceso1-Horas Proceso 2<=5 horas

X1-X2<=

 Función Objetivo:

Utilidad total máxima:

Z=20(2X1+3X2) + 60(X1+X2)=100X1+120X2max

Modelo ejemplo 5

 Variables:

Xi – peso de ingrediente i (en lb) en una libra de pólvora

Xi>=0, i=1..3 (1-azufre, 2- carbón, 3-salitre)

 Restricciones:

1) Todos los ingredientes forman 1 lb

X1+X2+X3=

2) Contenido de carbón (en una libra del producto final):

a) al menos 10%

X2>=0.

b) no más que 20%

X2<=0.

3) Cantidad de selitre no puede exceder 50% de carbón usado

X3<=0.5X

4) Para evitar una explosión:

0.5X1+0.6X2+0.3X3<=0.

 Función Objetivo:

Usar la cantidad mínima posible de azufre:

Z=X1min

Ejemplo 6. Entender proceso e identificar las relaciones

La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por día, y la ciudad 2 produce 400

toneladas de basura diarias. La basura debe ser incinerada en el incinerador 1 ó 2, y

cada incinerador puede procesar hasta 500 toneladas de basura diarias. El costo de

incinerar basura es de $40 por tonelada en el incinerador 1 y de $30 por tonelada en

el 2. La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 toneladas de escombros,

que debe depositarse en alguno de dos basurales que reciben relleno. Cada uno de

ellos puede recibir a lo sumo 200 toneladas de escombros por día. Cuesta $3 por

milla transportar una tonelada de material (basura o escombros). Las distancias (en

millas) entre los distintos lugares se muestra en la tabla. Formular un LP que minimice

el costo total de deshacerse de la basura en las dos ciudades.

Incinerador 1 Incinerador 2 Ciudad 1 30 5 Ciudad 2 36 42 Basural 1 Basural 2 Incinerador 1 5 8 Incinerador 2 9 6

Modelo ejemplo 6  (^) Variables: Xij – cantidad de toneladas de basura que se lleva de la ciudad i al incinerador j Yjl – cantidad de toneladas de escombros que se lleva del incinerador j al basural l Xij>=0,Yij>=0 i=1,2; j=1,2; l=1,  (^) Restricciones:

1. Cantidad de basura de cada ciudad X11+X12= X21+X22=
2. Capacidad de los incineradores X11+X21<= X12+X22<=
3. Relación de la cantidad de escombros que salen de los incineradores Y11+Y12=0.2(X11+X21) Y21+Y22=0.2(X12+X22)
4. Capacidad de los basurales Y11+Y21<= Y12+Y22<=  (^) Función Objetivo: Minimizar el costo del procedimiento de eliminación de la basura (transporte basura, incineración, transporte escombros): Z=330X11+35X12+336X21+342X22+ costo transp. basura + +40(X11+X21)+30(X12+X22)+ costo incineración + +35Y11+38Y12+39X12+36X22 min costo transp. escombros

Ejemplo 7. Programación en el tiempo

HealthNut Company tiene una máquina que muele semillas de Psyllium hasta

producir un polvo fino a una velocidad de 30 lb por hora. La compañía también usa la

máquina para hacer crema de cacahuate con cacahuates tostados a una velocidad

de 60 lb por hora. El tiempo de fijación para cambiar la máquina de un producto al

otro es despreciable. La demanda mensual y los costos de mantenimiento de

inventario de cada producto se muestran en la tabla.

El inventario inicial para cada producto a principios de mayo es 0 y también debe ser

0 a finales de julio. En ningún momento el inventario de Psyllium puede exceder las

1.000 libras, ni de la crema de cacahuate las 500 libras. Asimismo, cada mes hay

200 horas de tiempo de máquina disponible. Formule un programa lineal para

determinar un plan de producción para los meses de mayo, junio y julio que minimice

los costos totales de almacenamiento, suponiendo que satisface la demanda al final

de cada mes y que los costos de mantenimiento de existencia se basan en la

cantidad del inventario a principios del mes.

DEMANDA (lb) COSTOS DE ALMACENAMIENTO($/lb) Crema de cacahuate Psyllium Crema de cacahuate Psyllium Mayo 400 600 0.10 0. Junio 450 700 0.10 0. Julio 500 650 0.12 0.