Enginyeria Tècnica d’Informàtica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mòdul 3. Potencial elèctric
Física
Joaquim Pla Brunet
P-F-AN-M3-CA
28-setembre-2006 (ver 1.0)
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Física, Profesor: Joaquim Pla, Carrera: Infotecnologies: Enginyer tecn. en informàtica de gestió + sistemes, Universidad: UVic
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
1 / 52
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Vista previa parcial del texto
¡Descarga mòdul 3 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Enginyeria Tècnica d’Informàtica
.........
Mòdul 3. Potencial elèctric
Física
Joaquim Pla Brunet
[email protected]
P-F-AN-M3-CA
28-setembre-2006 (ver 1.0)
2 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
No és permesa la reproducció total o parcial d’aquests apunts, ni el tractament informàtic, ni la
transmissió per cap forma o per qualsevol mitjà, sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o
altres mètodes, sense el permís previ i per escrit dels titulars del Copyright.
DRETS RESERVATS 2003
UNIVERSITAT DE VIC
Sagrada Família, 7
08500 Vic (Barcelona)
Autor mòdul: Joaquim Pla Brunet
Universitat de Vic
4 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
Introducció
Una de les magnituds més fonamentals de la física és l’energia. En l’estudi de
la mecànica s’estableixen relacions entre les forces, el treball i l’energia, i es
posa de manifest la utilitat dels mètodes basats en l’energia per analitzar
processos físics i per resoldre problemes.
El principal avantatge d’estudiar els sistemes físics des del punt de vista de
l’energia radica en el fet que l’energia és una magnitud escalar, i sempre és
més còmode de treballar amb magnituds escalars que no pas amb magnituds
vectorials. A més, en el cas de forces conservatives, sempre es pot establir una
relació directa entre la força i l’energia potencial.
En un sistema de partícules carregades, les partícules estan sotmeses a forces
d’interacció elèctrica, i si el sistema no està en equilibri electrostàtic, aquestes
forces originen desplaçaments de les partícules, fan treball i, consegüentment,
comporten variacions d’energia. De manera semblant, si es vol modificar la
configuració d’un sistema de partícules carregades en equilibri electrostàtic, cal
que algun agent extern al sistema exerceixi força per desplaçar les partícules,
de manera que l’agent fa treball sobre el sistema. En cadascun d’aquests casos
es poden establir relacions entre forces i variacions d’energia del sistema.
L’energia d’un sistema de partícules sempre es pot reduir a energia cinètica i
energia potencial. En electrostàtica, però, l’energia d’un sistema de partícules
carregades correspon únicament a l’energia potencial associada a la força
d’interacció elèctrica.
Amb el concepte de potencial elèctric, el camp vectorial E ( r )
r (^) r
, associat al
concepte de força per unitat de càrrega, es complementarà amb el camp
escalar V ( r )
r
, associat al concepte d’energia potencial per unitat de càrrega.
Així, doncs, en aquest tema, sota el nom de potencial elèctric, s’estudiaran els
conceptes i les relacions formals que relacionen les forces d’interacció
electrostàtica amb l’energia potencial. Relacions que permeten un enfocament
alternatiu i complementari al tractament propiciat pel camp elèctric en el
plantejament i la resolució de problemes.
Universitat de Vic 5
Objectius
1. Conèixer la diferència entre força conservativa i força no conservativa.
2. Comprendre el concepte d’energia potencial electrostàtica i la seva relació
amb la força d’interacció elèctrica.
3. Saber operar amb les relacions que permeten determinar el camp elèctric a
partir del potencial elèctric, i viceversa.
4. Reconèixer el procediment inicial més adequat, el del camp o bé el del
potencial, per determinar el camp E ( r )
r (^) r
i el potencial V ( r )
r
associats a una
distribució de càrrega.
5. Conèixer el concepte de superfície equipotencial i la seva relació amb el
camp elèctric.
6. Entendre la relació entre superfície equipotencial i conductor en equilibri
electrostàtic.
Universitat de Vic 7
Forces conservatives i energia potencial
Com ja ha estat dit, en general, el treball fet per una força en un desplaçament
depèn del camí recorregut per la partícula sobre la qual actua la força.
Tanmateix, en la naturalesa existeixen determinades forces per a les quals el
treball és independent del camí recorregut i només depèn de les posicions
inicial i final de la partícula. Aquestes forces singulars s’anomenen forces
conservatives. La força de la gravetat és un exemple típic de força
conservativa. Veurem que la força d’interacció electrostàtica també és
conservativa. En canvi, les forces de fricció mai no són conservatives.
Definició: una força és conservativa si el treball fet sobre una partícula en un
desplaçament des d’un punt inicial A a un punt final B és independent del
camí recorregut. Per a una força conservativa, el treball només depèn de les
posicions inicial i final de la partícula.
Propietat de les forces conservatives: el treball fet per una força conservativa
en desplaçar una partícula des d’una posició inicial A a una posició final B , es
pot expressar com la diferència de valors que pren una funció escalar U ( r )
r
avaluada en el punt A i en el punt B , d’acord amb la següent relació formal:
W F dr U ( A ) U ( B ) U.
B
A
AB =^ ∫ ⋅ = − =−∆
r (^) r
Energia potencial: La funció escalar U ( r )
r
associada a una força
conservativa F
r
s’anomena energia potencial.
En el cas particular d’una trajectòria tancada, la posició inicial A coincideix amb
la posició final B , i el treball al llarg d’un camí tancat s’indica per mitjà d’un
cercle en el símbol integral, és a dir: W A → A ≡∫ F ⋅ dr.
r (^) r
És immediat d’observar
que el treball fet per una força conservativa en una trajectòria tancada és zero.
Per tant, si una força F
r
conservativa, aleshores es compleix que:
F ⋅ dr = 0.
r r
Aquesta propietat sovint es fa servir com a definició matemàtica equivalent de
força conservativa:
Una força F ésconservativa ⇔ F ⋅ dr = 0.
r r r
Conclusió: a tota força conservativa se li pot associar una funció escalar
anomenada energia potencial.
8 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
Òbviament, l’energia potencial associada a la força de la gravetat s’anomena
energia potencial gravitatòria. De manera semblant, l’energia potencial
electrostàtica és l’energia potencial associada a la força conservativa
d’interacció electrostàtica.
En càlcul matemàtic es demostra que la condició necessària i suficient perquè
una força F = Fx i ˆ^ + Fyj ˆ+ Fzk ˆ
r
sigui conservativa és que es compleixin les
relacions:
z
F
x
F
y
F
z
F
x
F
y
F (^) x y y z z x
∂
O, de forma equivalent, que el rotacional del vector F
r
sigui zero, és a dir que:
r r r ∇ × F =
Exemple 3.1.
Donada una força que s’expressa com F ( x , y , z ) ( x y ) i ˆ ( y x ) j ˆ
2 2 = − + +
r , demostrarem
que no és conservativa, per mitjà de dos mètodes:
( a ) Amb la relació entre derivades parcials dels
components de la força.
( b ) Calculant el treball fet per la força quan es desplaça
des del punt (0, 1, 0) al punt (1, 2, 0) per dos camins
diferents: primer, al llarg de la recta que uneix els dos
punts; i després, seguint les rectes que van del punt
inicial (0, 1, 0) al punt (1, 1, 0), i d’aquest al punt final
(1, 2, 0), com es pot veure en el dibuix.
Resolució:
( a )
que noésconservati va.
( ) 1
2
2
F
x
F
y
F
y x x x
F
x y y y
F
x^ y
y
x r ⇒ ∂
( b ) En general, tenint en compte que dr = dxi ˆ^ + dy ˆ j + dzk ˆ=( dx , dy , dz ),
r l’expressió del
treball esdevé:
B
A
B
A
B
A
z
z
z
y
y
y
x
x
x
B
A
F dr Fdx Fdy F dz
r r
Pel primer camí, l’equació de la recta que passa pel punt (0, 1, 0) = A i per (1, 2, 0) = B
és y = x + 1, per tant, el treball al llarg d’aquest camí és:
(1,2,0)
(1,1,0)
2
1
1
Y
X
10 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
Principi de conservació de l’energia i forces conservatives
D’acord amb el teorema del treball i l’energia:
la variació de l’energia cinètica total d’un sistema de partícules és igual al
treball fet sobre el sistema per les forces externes i internes que actuen
sobre el sistema.
Formalment:
∆ EC = W ext + W int.
Si les forces internes són conservatives, al treball d’aquestes forces se li pot
associar una energia potencial U , de manera que W int = −∆ U , i de l’expressió
del teorema del treball i l’energia s’obté:
∆ EC = W ext − ∆ U ,
o bé, equivalentment,
∆ EC + ∆ U = W ext. (3.3)
A la suma de l’energia cinètica i l’energia potencial totals d’un sistema de
partícules, EC + U , se l’anomena l’energia pròpia del sistema. Així, l’equació
(3.3) és una forma d’expressar el principi de conservació de l’energia, que es
pot enunciar com:
la variació de l’energia pròpia d’un sistema de partícules és igual al treball
fet sobre el sistema per les forces externes.
Si el sistema és aïllat, aleshores W ext = 0, i es compleix que ∆ EC + ∆ U = 0. O
bé, de forma equivalent, EC + U = constant. És a dir:
en un sistema aïllat en què les forces internes són conservatives, la suma
de l’energia cinètica i l’energia potencial totals del sistema és una quantitat
constant.
Per tant, en aquesta situació, un augment de l’energia cinètica implica una
disminució de l’energia potencial, i viceversa.
En el cas d’un sistema aïllat de partícules carregades en què les úniques forces
internes siguin les d’interacció electrostàtica, sempre es complirà la relació
EC + U = constant,
ja que, com justificarem, les forces electrostàtiques són conservatives.
Universitat de Vic 11
3.2. Energia potencial electrostàtica
Caràcter conservatiu de la força electrostàtica
Per justificar que les forces electrostàtiques són conservatives, considerarem
un cas particular, el del treball fet per la força d’interacció electrostàtica en un
sistema format per dues càrregues puntuals q 1 i q 2 quan les càrregues es
desplacen des d’una situació inicial A en què estan separades una distància
que indicarem per rA a una situació final B en què la separació és rB.
En una situació intermèdia arbitrària entre la situació inicial A i la final B , el
diagrama de les forces d’interacció es pot representar com:
essent dr 1
r
i dr 2
r
desplaçaments elementals de les càrregues q 1 i q 2 ,
respectivament.
Per tant, el treball elemental dW fet per les forces d’interacció electrostàtiques
F 12
r
i F 21
r
en els desplaçaments elementals dr 1
r
i dr 2
r
és:
dW F 21 dr 1 F 12 dr 2 F 12 dr 1 F 12 dr 2 F 12 ( dr 2 dr 1 ) F 12 dr 12 ,
r (^) r r r r r r r r r r r r = ⋅ + ⋅ =− ⋅ + ⋅ = ⋅ − = ⋅
on s’han fet servir les relacions:
F 21 F 12 ;
r r = − r 12 (^) r 2 r 1 dr 12 dr 2 dr 1.
r r r r r r = − ⇒ = −
I d’acord amb la llei de Coulomb,
2 12 12 12
1 2
0
2 12 12
1 2
0
12 r dr r
qq r dW r
qq F
r (^) r ⋅ πε
πε
El producte escalar,
r ˆ 12^ ⋅ dr 12 = r ˆ 12 dr 12 cosϕ=( 1 ) dr 12 cosϕ≡ dr 12
r r r
essent ϕ l’angle que forma el vector unitari r ˆ 12 amb el vector dr 12
r
, requereix
una atenció especial, i per a la seva comprensió és convenient ajudar-se amb
un diagrama de vectors adequat, com el següent.
r 2
r
r 1
r
q 2
q 1
o
dr 2
r
dr 1
r
r ˆ 12
r 12
r
F 21
r
F 12
r
Universitat de Vic 13
Aquesta expressió, però, posa de manifest que la única quantitat que es pot
mesurar físicament és la variació d’energia potencial ∆ U , ja que hi ha infinits
valors distints de les energies potencials UA i UB que compleixen la relació UA −
UB = −∆ U. És a dir, la relació
0
1 2
0
U U U
r
r
q q A B A B
πε
πε
indica que l’energia potencial d’interacció electrostàtica entre dues càrregues q 1
i q 2 en una situació A es pot identificar com:
const. 4
0
πε
A
A r
qq U
Per tant, per assignar un valor únic a l’energia potencial en una situació A s’ha
d’escollir un valor de referència, arbitrari, per a la quantitat constant.
En electrostàtica, el fet que quan la distància r que separa les càrregues
tendeix a infinit la força d’interacció electrostàtica i, per tant, l’energia potencial
tendeixen a zero, és a dir, si quan r → ∞ ⇒ U → 0, suggereix d’escollir el valor
zero per a la constant arbitrària de l’energia potencial. Aquesta tria particular es
coneix amb el nom de condicions normals a l’infinit (c.n.∞). A vegades, però,
l’origen de referència zero per a l’energia potencial electrostàtica s’escull en
punts diferents de l’infinit, i quan és el cas, això s’indica explícitament.
Conclusió: l’expressió
r
qq U
1 2
(^40)
πε
representa l’energia potencial associada al parell de càrregues q 1 i q 2 quan
estan separades una distància r i s’han escollit condicions normals a l’infinit
(c.n.∞), és a dir quan U ( r → ∞) ≡ U (∞) = 0.
Notes:
- L’energia potencial sempre està associada a una interacció entre parelles
de partícules, interacció representada per una força conservativa.
- L’energia potencial és sempre una quantitat compartida entre parelles de
càrregues. Estrictament, no té sentit parlar de l’energia potencial d’una
partícula. La típica expressió: “l’energia potencial gravitatòria d’una partícula
de massa m a una altura h sobre la superfície de la Terra és mgh ”,
implícitament diu: “l’energia potencial gravitatòria d’una partícula de massa
m a causa de la seva interacció amb la massa M de la Terra, a una altura h
sobre la superfície de la Terra és mgh ”. De fet, la g és funció de la massa M
de la Terra.
14 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
Energia potencial electrostàtica d’un sistema discret de càrregues
Si en comptes de només dues càrregues el sistema és format per n càrregues
puntuals, q 1 , q 2 , …, qn , aleshores l’energia potencial electrostàtica total del
sistema, considerant (c.n.∞), s’expressa com:
<
πε
πε
i j ij
i j
ij
ij
i j
r
r
qq U 0 parelles
(^0) Totesles
essent rij la distància entre la càrrega qi i la qj.
Energia potencial i camp elèctric
El càlcul del treball fet per la força d’interacció en un sistema de dues càrregues
puntuals es pot expressar en funció del camp elèctric, de la manera següent:
ˆ , 4
ˆ 4
1 2 12 12 2 12 (^012)
1 2 12 12 2 12
1 2
0
1
r dr q E dr U r
q r dr q r
qq W
B
A
q
B
A
B
A
AB ⋅ = ⋅ =−∆ πε
⋅ = πε
=
r r r r
On 12
2 (^012)
(^1) ˆ
4
1 r r
q Eq πε
=
r
és el camp elèctric creat per la càrrega q 1 en la posició on
es troba la càrrega q 2.
La relació entre la variació d’energia potencial i la intensitat de camp elèctric es
pot generalitzar com:
B
A
U UB UA q E dr
r (^) r
i representa la variació de l’energia potencial electrostàtica associada a una
càrrega puntual q a causa de la interacció amb un camp elèctric E
r
, quan la
càrrega es desplaça de A a B. On, evidentment, el camp elèctric E
r
és degut a
altres càrregues. A més, si es consideren condicions normals a l’infinit (c.n.∞), i
es fa la identificació A = ∞ i B = P , de manera que U ( A ) = U (∞) = 0, i donant per
sobreentès que U ( C ) ≡ UC , l’expressió esdevé:
P U P U q E d r
r r
o bé,
rij
qj
qi
16 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
1 C
1 J
1 V
1 coulomb
1 joule 1 volt= ⇔ =
- Com que el camp electrostàtic és un camp conservatiu —parlar de camp
conservatiu és equivalent a parlar de força conservativa—, la diferència de
potencial ∆ V = VB − VA entre dos punts d’un camp electrostàtic és
independent del camí a través del qual s’avalua la integral
B
A
E d r
r (^) r
- Sovint, per simplificar, s’escriu: ∆ V = VB − VA ≡ VBA , i es llegeix com: “el
potencial del punt B respecte al punt A ”.
- Tenint present les darreres expressions, és fàcil d’escriure la relació:
W (^) A → B = q ( V (^) A − VB ),
la qual es pot llegir com el treball fet pel camp elèctric en desplaçar una
càrrega q des d’una posició inicial A a una de final B.
- Electronvolt (eV). És una unitat d’energia, definida com l’energia que
adquireix una càrrega elemental igual a la de l’electró en traslladar-se entre
dos punts d’un camp elèctric amb una diferència de potencial de 1 volt. La
relació entre electronvolt (eV) i joule (J) és:
1 eV = (1,602× 10
− 19
C)(1V) = 1,602× 10
− 19
J.
- En el cas particular d’un camp elèctric uniforme, l’expressió general (3.7)
esdevé:
( ) AB.
B
A
B A
B
A
V (^) A B VB VA E dr E dr E r r E r
r (^) r r r r r r r r ∆ = − =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ − =− ⋅
- Així, del cas particular de camp elèctric uniforme, es poden extreure
resultats d’interès, com observarem en l’exemple del camp uniforme del
dibuix:
(a) V A → B = VB − VA =− E ⋅ rAB =− E rAB cos ϕ=− Ed ,
r (^) r r r
essent d la distància
entre dos plans perpendiculars al camp elèctric que passen per A i
B. Aquests plans són superfícies equipotencials.
E = const.
r
ϕ
r AB
r
r B
r
O
r A
r
d
A
• B
Universitat de Vic 17
(b) Tenint present que E és positiu, per ser el mòdul del camp, i que d
també és positiva, per ser una distància, llavors VB − VA = − Ed
implica que VB − VA és negatiu i, per tant, implica que VB < VA.
Llavors, d’acord amb l’orientació del camp elèctric, es pot concloure
que: el camp elèctric s’orienta cap a potencials decreixents.
Propietat que es compleix per a qualsevol camp elèctric, encara que
s’hagi justificat en el cas particular d’un camp elèctric uniforme.
(c) En valors absoluts, i fent la identificació V ≡ VB − VA es pot escriure
una relació particular, només vàlida per a camps elèctrics uniformes:
d
V
E = .
(d) Aquesta relació particular justifica que, en el SI, la unitat d’intensitat
de camp elèctric tingui dues expressions equivalents:
metre(m)
volt(V)
coulomb(C)
newton (N)
Potencial elèctric
S’ha vist que si s’escull un origen de referència per a l’energia potencial, llavors
té sentit de parlar d’energia potencial en un punt d’un camp elèctric. Per
extensió natural, doncs, es pot definir el potencial elèctric V ( P ) en un punt P
d’un camp elèctric com:
l’energia potencial electrostàtica per unitat de càrrega elèctrica en el
punt considerat
Formalment, considerant (c.n.∞):
0
0
0
0
∞
∞ =− ⋅
P
P
q E dr q
q E dr
q
U P
V P
r r
r r
Per tant,
P V P E d r
r (^) r
és l’expressió general del potencial elèctric en un punt P d’un camp elèctric E
r
quan com a origen de potencial s’ha escollit V (∞) = 0, és a dir, condicions
normals a l’infinit (c.n.∞). Aquest expressió es pot interpretar com:
Universitat de Vic 19
Tenint present que 0
r ∞
, i identificant rP amb la distància r que separa la
càrrega q del punt P , és a dir, rP ≡ r , s’obté que el potencial elèctric en un punt
P degut a una càrrega puntual q situada a una distància r de P és:
0 r
q Vq P πε
Potencial elèctric degut a un sistema de càrregues puntuals
D’acord amb l’expressió (3.9) del potencial degut a una càrrega puntual i amb
el principi de superposició, el potencial elèctric originat en un punt P per un
sistema discret de n càrregues puntuals q 1 , q 2 , …, qn és la suma escalar dels
potencials elèctrics individuals creats per cadascuna de les n càrregues. És a
dir:
(^01)
=
πε
n
i i
i q q qn r
q
V P V P V P L V P (3.10)
essent ri la distància entre el punt P i la càrrega qi.
Observacions:
- Cal distingir V ( P ) de Vq ( P ). El primer és el potencial elèctric total originat en
el punt P per una certa distribució de càrrega elèctrica. Mentre que Vq ( P )
representa el potencial elèctric originat en P per una càrrega q situada a una
certa distància de P.
- De la definició de potencial elèctric expressada com energia potencial per
unitat de càrrega, es dedueix que una càrrega q situada en un punt P en
què el potencial elèctric és V ( P ) tindrà una energia potencial electrostàtica
de valor:
Uq ( P ) = qV ( P )
- Aquesta expressió representa l’energia potencial electrostàtica associada a
la càrrega q a causa de la seva interacció amb d’altres càrregues. I V ( P ) és
el potencial elèctric que les altres càrregues originen en el punt P.
- En un sistema de n càrregues puntuals q 1 , q 2 , …, qn , cal adonar-se que
l’energia potencial electrostàtica total U no és la suma de les energies
potencials individuals
qi
U. És a dir:
1 2
parelles
(^0) Totesles
q q qn
ij
ij
i j U U U r
qq U ≠ + + + πε
L
r q P
20 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
- És fàcil de comprovar que:
1 (^1 ) 2 ( 2 ) ( )^2.
1 2
U (^) q Uq Uq qVP qV P qnVnP U n
+ +L+ = + +L+ =
- Tenint present que qiV ( Pi ) és l’energia potencial electrostàtica associada a
la càrrega qi , situada en el punt Pi , a causa de la interacció amb d’altres
càrregues, i que V ( Pi ) ≡ Vi és el potencial elèctric en Pi originat per la resta
de càrregues (totes menys la qi ), llavors es compleix la relació:
1 parelles
(^0) Totesles
=
πε
n
i
i i
ij
ij
i j qV r
qq U
El següent exemple, d’una gran simplicitat, té per objectiu de clarificar els
conceptes i les expressions que s’han presentat fins ara.
Exemple 3.2.
Un sistema de tres càrregues elèctriques puntuals té la configuració següent:
q 1 = − 10 μC es troba en el punt P 1 (0, −2, 1) m;
q 2 = 4 μC es troba en el punt P 2 (4, 5, −3) m;
q 3 = 12 μC es troba en el punt P 3 (1, 2, 3) m,
( a ) Calcularem l’energia potencial electrostàtica total U.
23
2 3
13
1 3
12
1 2
0 0
πε
πε
<
r
r
r
r
qq U
i j ij
i j
i substituint valors numèrics,
0 , 2169 J.
3
12 12 12 9
=^ −
= × − − +
×
− ×
− ×
= ×
−
− − − U
Per tant, U = −0,2169 J.
( b ) Calcularem V ( P 1 ), V ( P 2 ), V ( P 3 ), és a dir, els potencials elèctrics en les posicions on
es troben les càrregues, creats per la resta de càrregues.
L’expressió general és:
(^01)
=
πε
n
i i
i q q qn r
q V P V P V P L V P
per tant,