Mòdul i vector unitari , Apuntes de Química

¡Descarga Mòdul i vector unitari y más Apuntes en PDF de Química solo en Docsity!

TEMA 1: Repàs de vectors i funcions

 Vectors en el pla

 Vectors en l’espai

 Productes escalar i vectorial

 Funcions: derivació, integració

Origen de

coordenades

v

u

w

r

Vectors en el pla

 Vector en el pla:

segment orientat

 Components d’un vector:

v

Origen

Extrem

A (a x

, a y

)

B (b x

, b y

)

Com es calculen les components

a partir de les coordenades de

l’origen i l’extrem?

Què tenen en comú u, r i w?

Què tenen en comú u i v?

 ( , )( 2 , 3 ) x y

v v v



, v

Notació

Vectors lliures i fixes

 Vector fix: té un origen i un extrem

 Vector lliure: conjunt de tots els vectors

fixes amb mateix mòdul, direcció i sentit

v

u

w

r

Mateix

vector lliure

Vectors en física ( i química!)

 Les magnituds poden ser:

◦ Escalars: definides per un valor i unes unitats

◦ Vectorials: necessiten a més una direcció i un sentit

 Les magnituds vectorials en física son vectors

lliures

 Poseu exemples dels dos tipus

• Els vectors representats no tenen

un origen i un extrem

• Si que poden tenir un punt

d’aplicació

60 Km/h

10 Km/h

Exemple: velocitat del vent en dues ciutats

Base canònica

 R

2 : conjunt dels vectors lliures en el pla

 La base canònica de R

2 es el conjunt format per

( 0 , 1 )

ˆ

( 1 , 0 )

ˆ





j

i

u

w

r

i

ˆ

j

ˆ

• Tots els vectors d’R

2 es poden expressar com a combinació lineal

dels vectors de la base canònica:

r i j

w i j

u i j

Notació

Vectors en l’espai

 Vectors en l’espai: segments orientats en l’espai

 En física farem servir vectors lliures, que formen R

3

 Base canònica:

◦ Sempre podem escriure:

 Mòdul d’un vector:

 Les operacions són les mateixes

que per a vectors al pla

( 0 , 0 , 1 )

ˆ ( 0 , 1 , 0 )

ˆ ( 1 , 0 , 0 )

ˆ i  j  k 

u u u u u i u j u k

x y z x y z

2 2 2

x y z

v  v  v  v  v

Notació:

i

j



k



x

y

z

Producte escalar

 Definició:

◦ El producte escalar de dos vectors és un

número!!

 Interpretació gràfica:

◦ r 1

cos a es la projecció de r 1

en la

direcció de r 2

(i viceversa)

◦ En concret, si r 2

és unitari, el

producte escalar es la projecció de

r 1

en la direcció donada per r 2

a

1

r



2

r



a

1

r



2

r



 Per quins valors d’a el producte és màxim? I mínim?

cosa

1 2 1 2

r  r  rr

Propietats del producte escalar

 Es pot calcular d’una manera alternativa:

 Commutativa i distributiva

 El producte escalar de dos vectors ortogonals és 0

 En concret,

 Producte escalar d’un vector per si mateix:

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

r  r  ( x i  y j  z k ) ( x i  y j  z k ) x x  y y  z z

  (^)    (^)   

1 2 2 1

r  r  r  r

   

r  ( a  b ) r a   r b 

      

i i   j  j  k k   1, i  j  i k   j k   0

2 2 2 2 2 2

r r   rr cos0  r 1  r  xx  yy  zz  x  y  z  r

 

Notació: mòdul

quadrat

 Deduïu-ne una manera de trobar l’angle entre dos vectors

Propietats del producte vectorial

 Càlcul directe de les components del producte vectorial:

 El producte vectorial es anti-commutatiu:

 Productes entre els vectors de la base canònica:

◦ Si els eixos x i y estiguessin intercanviats, les

relacions no serien certes!

◦ Per convenció, els eixos es trien d’aquesta

manera ( eixos dextrogirs ).

1 2 2 1

r  r   r  r

i   i j  j  k  k  0, i  j  k , j  k  i , k   i j

 Demostreu-ho a partir de la definició que n’hem donat

i

j



k



x

y

z

Funcions escalars i vectorials

 Funció escalar de variable real: y = f(x)

◦ Ex: temperatura en funció del temps

 Funció vectorial de variable real: u = u(x)

◦ Ex: posició d’una partícula en funció del temps

 Funció real de variable vectorial: y = y(v)

 Funció vectorial de variable vectorial: u = u(v)

En aquest curs només tractarem amb variables reals

 Proposeu un exemple físic

 Proposeu un exemple físic

Continuïtat de funcions

 Funció contínua en un punt x 0

: si compleix

 Discontinuïtats:

 Funció contínua: si ho és en tot els reals

De les següents magnituds físiques, quines

han de ser funcions contínues del temps?

• Posició
• Velocitat

de salt

evitable

asimptòtica

Derivades de funcions vectorials

 Compleix les mateixes propietats que la derivada d’una

funció escalar, i altres:

◦ 1. d/dt( v (t) + w (t)) = d/dt( v (t)) + d/dt( w (t))

◦ 2. d/dt(c v (t)) = c  d/dt( v (t))

◦ 3. d/dt(f(t) v (t)) = f '(t) v (t) + f(t) v '(t)

◦ 4. ( v (t). w (t))' = v' (t) w (t)+ v (t). w' (t)

◦ 5. ( v (t) x w (t))' = v' (t) x w (t)+ v (t) x w' (t)

◦ 6. d/dt( v (f(t))) = v '(f(t))  f '(t)

t

r t t r t

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

dr

r r t

t 

 

 











  

 

( ) ( )

( ) , , lim

0

  

 