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modulo 5 matematica financiera
Tipo: Apuntes
1 / 26
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Estudis : Grau en administració d’empreses
Assignatura : 20602 - Introducció als Mercats i Operacions Financeres
Bloc temàtic número 5 : Rentas Financieras
Professor : Margarita Aguiló Femenias
Edició :
Edita : Campus Extens Unitat de Suport Tecnicopedagògic Universitat de les
Illes Balears
MÓDULO 5. Las Rentas Financieras
Índice de contenidos:
3.1 Aplicación rentas constantes: préstamos
Glosario
1. Concepto y clasificación
Podemos definir renta financiera como un conjunto de capitales financieros con vencimientos
equidistantes en el tiempo, es decir, con vencimientos periódicos. Siguiendo esta definición,
una renta financiera se puede representar de la siguiente forma:
Dónde ( 1
, 2
, 3
, ..., n
) son las cantidades de dinero de cada uno de los capitales financieros
que constituyen la renta y que denominamos términos de la renta, y (0, 1, 2, 3, ..., n) son los
vencimientos (meses, semestres, años, etc...) en que vencen dichos capitales..
Si llevamos a cabo un rápido repaso de nuestra realidad más habitual podemos encontrar
numerosos ejemplos de rentas financieras:
El alquiler de una casa: pagamos al principio o al final de cada mes el importe del alquiler.
Los términos amortizativos de un préstamo: pagamos al inicio o al final de cada mes una
cantidad de dinero para devolver el préstamo.
Los dividendos de una acción: anualmente recibimos el importe de los dividendos de las
acciones.
Podemos clasificar las rentas financieras en función de diferentes criterios complementarios
entre si:
A. En función de la cuantía de los términos:
Es el criterio más importante, y en base al cuál esta basada la estructura de este tema. En
función de este criterio podemos distinguir entre:
Rentas constantes : son rentas caracterizadas porque todos los capitales financieros que
las componen tienen el mismo importe. Es decir: ( 1 = 2 = 3 = ... = n = ).
Gráficamente:
Rentas variables : son rentas caracterizadas porque los capitales financieros que las
componen no tienen el mismo importe sino que van variando de una determinada manera.
Dentro del amplío abanico de rentas variables, en este módulo analizaremos solamente las
rentas variables en progresión geométrica:
1 2 3 4 ... n
0 1 2 3 4 ... n
0 1 2 3 4 ... n
Rentas variables en progresión geométrica : los términos de la renta varían en
progresión geométrica, es decir, los términos van aumentando (o disminuyendo) en
un porcentaje fijo acumulativo. Así, si definimos ( 1
) como el primer termino de la
renta, y q la razón de crecimiento/decrecimiento (q = 1 + tasa de crecimiento de la
renta), se cumple que:
1
1 1
3
4 3 1
2
3 2 1
2 1
1
n
n n
q q
q q
q q
q
Gráficamente:
B. En función de su duración:
En función de este criterio podemos distinguir entre:
Rentas temporales : son rentas cuya duración es finita, es decir, tienen un número finito de
términos. Gráficamente:
Rentas perpetuas : son rentas de duración infinita, es decir, tienen un número infinito de
términos. Gráficamente:
C.- En función de del momento en que vencen sus términos:
Rentas pospagables : son rentas cuyos términos vencen al final de cada período.
Gráficamente:
1 1 .q
1
1 .q
2
... 1 .q
(n-1)
0 1 2 3 4 ... n
1 2 3 4 ... n
0 1 2 3 4 ... n
1 2 3 4 ...
0 1 2 3 4 ...
1
2
3
4
... n
0 1 2 3 4 ... n
2. Cálculo general del valor actual de una renta
Nuestro principal objetivo en este módulo es obtener el valor de una renta en un determinado
momento del tiempo, es decir, el valor de todos los términos de la renta en un determinado
momento del tiempo. Si tenemos en cuenta que una renta financiera no es más que un
conjunto de capitales financieros con vencimiento periódico, entonces el valor de una renta
financiera en un determinado momento del tiempo, no es más que la suma del valor, en ese
momento, de cada uno de los capitales financieros que la forman. Para la valoración de rentas
utilizaremos siempre las leyes compuestas a interés vencido analizadas en el módulo 3
Para simplificar el análisis, vamos a suponer una renta de n términos anuales cuyo primer
término vence al final del primer año y calcularemos su valor en el momento 0, es decir, su
valor actual.
. Gráficamente:
Aplicando la ley de descuento compuesto (analizada en el Módulo 3 ), el valor actual (valor en
VA = 1
. (1 + i) - 1
. (1 + i) - 2
. (1 + i) - 3
. (1 + i) - n
El problema de esta fórmula aparece cuando nos encontramos ante rentas formadas por un
elevado número de términos. En estos casos resulta costoso y complicado calcular el valor
actual de cada uno de los términos que forman la renta.
Por esta razón, son necesarias fórmulas que nos permitan calcular el valor actual de una renta
de una forma rápida y sencilla, a través de una sola operación, sin necesidad de tener que
descontar cada uno de los términos de la renta. A continuación vamos a exponer las fórmulas
que nos permitirán valorar de una forma rápida y cómoda las rentas financieras constantes, y
variables en progresión geométrica.
1 2 3 4 ... n
0 1 2 3 4 ... n
3. Rentas financieras constantes
Las rentas financieras constantes son rentas caracterizadas porque todos los capitales
financieros que las componen tienen el mismo importe: n
1 2 3
Supongamos una renta constante, pospabable y temporal formada por “n” términos anuales:
La fórmula que nos proporciona el valor actual en 0 (= VA) de esta renta constante de cuantía
“” y formada por “n” términos” anuales la conseguiremos aplicando el siguiente razonamiento:
Supongamos que tenemos una renta pospagable de n términos anuales unitarios (es decir, la
cuantía de sus términos es de 1 €.):
0 1 2 3 4 … n
I F
La fórmula que nos permite calcular el Valor de la Renta Unitaria Constante y Pospagable de n
términos y valorada al tanto de interés compuesto anual vencido i en t=0, la representaremos
por el símbolo n i
a
1 2 3 n
n i
a 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i
1
V 1 i
2 3 n 2 n 1
n i
a V V V V V 1 V V V
Lo que hay dentro de los corchetes no es más que una suma de los términos de una
progresión geométrica creciente de primer término a 1 1
, de último término
n 1
n
a V
y
razón V.
La fórmula de la suma de los términos de una progresión geométricas es:
1 r
a a r
1 n
Por lo tanto:
...
0 1 2 3 4 ... n
Ejemplos
en el momento 1. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor actual (= valor
en el momento 0).
Solución
Representamos gráficamente la renta:
Aplicamos la fórmula:
61445
01
1 1 01
100
1 1
10
,
,
( , )
( ).
i
( i )
VA ( ).
n
(^)
(^)
€
Como el primer término de la renta vence al final del año 1, al aplicar la fórmula, la renta queda
valorada en el año 0 (un período antes de donde se encuentre el primer término).
al final del año 5. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor actual (= valor
en el momento 0).
Solución
Representamos gráficamente la renta:
4
VA
0
VA
Aplicamos la fórmula:
5
4
i
i
n
Como el primer término de la renta vence al final del año 5, al aplicar la fórmula, la renta queda
valorada al final del año 4 (un período antes de donde se encuentra el primer término). Así
100 100 100 100 ... 100
0 1 2 3 4 ... 10
100 100 ... 100
0 … 4 5 6 ... 9
pues si queremos el valor de la renta en el momento 0 tenemos que descontar (aplicando leyes
financieras compuestas) dicho valor 4 años hacia atrás:
379 078 1 01 258915
4
0
VA ( , ).( ,) ,
€
se paga al final del primer mes. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor
actual (= valor en el momento 0).
Solución
Representamos gráficamente la renta:
La renta está compuesta por 10 términos mensuales.
Al tratarse de una renta mensual, tenemos que utilizar un tipo de interés mensual, por lo que
tendremos que buscar (aplicando leyes financieras compuestas) el tipo de interés mensual
equivalente al 10% anual:
1 1 1 01 1 000797
1 112
i ( i) ( ,) ,
/k /
k
Ahora ya podemos aplicar la fórmula:
191501
000797
1 1 000797
200
1 1
10
12
12
. ,
,
( , )
( ).
i
( i )
VA ( ).
n
(^)
(^)
€
Como el primer término de la renta está al final del mes 1, al aplicar la fórmula, la renta queda
valorada directamente en el momento 0 (un período antes de donde se encuentre el primer
término).
paga al final del tercer semestre. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su
valor actual (= valor en el momento 0).
Solución
Representamos gráficamente la renta:
200 200 200 200 ... 200
0 1 2 3 4 ... 10
Todos los razonamientos expuestos para la fórmula del valor actual de una renta constante
temporal son también aplicables a esta fórmula. Es decir:
El tipo de interés a utilizar dependerá de la periodicidad de la renta: si la renta es anual
deberemos utilizar (i); si la renta es mensual deberemos utilizar (i 12
); si la renta es
semestral deberemos utilizar (i 2 ); etc.
Esta fórmula nos proporciona el valor de la renta un período antes de donde se encuentra
situado el primer término de la renta.
3.1 Aplicación rentas constantes: préstamos
Los préstamos son operaciones financieras en las que una persona - prestamista- entrega
a otra - prestatario- una determinada cantidad de dinero que éste se compromete a
devolver junto con sus intereses correspondientes, según las condiciones convenidas.
Como en cualquier operación financiera debe cumplirse la equivalencia financiera entre
prestación y contraprestación, es decir, lo que entrega el prestamista debe ser igual a lo
que recibe del prestatario, todo ello valorado en un mismo momento del tiempo y al tipo
de interés fijado para la operación de préstamo.
Existen muchos métodos de amortización de préstamos, los más habituales son el
Sistema Francés y el Sistema Americano.
Sistema Francés
El Sistema Francés es un método de amortización o devolución del préstamo en el que
el prestatario se compromete a devolver el capital prestado mediante varios pagos
escalonados en el tiempo todos de la misma cuantía, es decir, la devolución del
préstamo se lleva a cabo mediante el pago de una renta constante. Estos pagos reciben el
nombre de términos amortizativos.
Este sistema implica:
durante el periodo transcurrido entre cada pago.
amortiza una parte del capital pendiente
Supongamos un préstamo de 10.000 € que debe amortizarse en 5 años mediante el pago
de términos amortizativos anuales constantes y que se ha firmado a un tipo de interés
del 5% anual vencido
Para calcular la cantidad que deberá pagar el prestatario anualmente planteamos la
equivalencia financiera entre prestación y contraprestación que siempre debe cumplirse
en cualquier operación financiera:
Prestación valorada en t = 0: Capital prestado
Contraprestación valorada en t = 0: Suma del valor de todos los pagos que realizará el
prestatario para devolver el préstamo valorados en t = 0
n
C i i i i
1 2 3
n i
5 0 , 05
a a
n i
Con cada uno de estos términos amortizativos el prestatario paga los intereses generados
durante el año anterior sobre el capital pendiente (la cuota de intereses I ) y devuelve
una parte del capital (la cuota de amortización A ):
El capital que debe el prestatario al inicio de la operación es de 10.
1 1
1 1
1 1
El capital que debe el prestatario después de pagar el primer término
amortizativo es:
1
Capitalpendiente C A
2 2
2 2
2 2
El capital que debe el prestatario después de pagar el segundo término
amortizativo es:
1 2
Capital pendiente C A A
3 3
3 3
3 3
El capital que debe el prestatario después de pagar el tercer término amortizativo
es:
1 2 3
Capitalpendiente C A A A
4 4
4 4
4 4
10.000 C i C i C i C i C i C
En este caso no es necesario plantear la equivalencia financiera para saber las cantidades que
debe pagar el prestatario:
Durante los cuatro primeros años pagará solamente intereses I C i 10. 000 0 , 05 500
Al final del último año pagará los intereses y devolverá todo el capital: 10.
Año Pago anual^ Cuota de Intereses^ Cuota de
amortización
Capital pendiente de
devolución
Ejemplos :
que se ha acordado que durante los dos primeros años solamente se pagarán los intereses y
en los tres restantes se pagará una cantidad constante cada año. Elaborar el cuadro de
amortización
Durante los dos primeros años se pagarán solamente intereses por lo que no se devuelve nada
del capital prestado, por lo tanto los dos primeros años son de carencia parcial. Al final de estos
dos primeros años el prestatario sigue debiendo 10.000 €
2
1
El esquema de la operación es el siguiente.
Planteamos la equivalencia financiera
2
2 0 , 05 3 0 , 05
a a
Año
Pago anual
Cuota de Intereses Cuota de
amortización
Capital pendiente de
devolución
que se ha acordado que durante los dos primeros no se pagará ninguna cantidad, por lo que
los intereses generados se añadirán al capital pendiente de devolución, y en los tres restantes
se pagará una cantidad constante cada año. Elaborar el cuadro de amortización
El esquema de la operación es el siguiente.
Como el prestatario no paga intereses durante los dos primeros años éstos se irán acumulando
al capital prestado, por lo tanto al cabo de dos años el prestatario deberá
2
Planteamos la equivalencia financiera en t = 0
2
3 0 , 05
a
Año
Pago anual
Cuota de Intereses Cuota de
amortización
Capital pendiente de
devolución
4. Rentas financieras variables en progresión geométrica
Las rentas financieras variables en progresión geométrica son aquellas en las que la cuantía de
sus términos varía en progresión geométrica, es decir, sus términos van creciendo (o
decreciendo) en un determinado porcentaje acumulativo. Definimos “q” como: q = 1 + tasa de
crecimiento de la renta. Si la renta crece (q) será mayor que 1 (q>1), mientras que si la renta
decrece, (q) será menor que 1 (q<1).
Supongamos una renta variable en progresión geométrica, pospagable y temporal formada por
“n” términos anuales. El esquema que presenta este tipo de rentas es el siguiente:
La fórmula que nos proporciona el valor actual de esta renta.
[ ni
VA A( ,q)
1
] =
i q
)
i
q
(
( ).
n
1
1
1
1
Dónde:
(n): número de términos de la renta.
(q): razón de crecimiento de los términos [q = (1 + Tasa de crecimiento de los términos)].
En el caso particular en que q = (1+i) la fórmula anterior no puede aplicarse puesto que
genera una indeterminación. En consecuencia hay que aplicar la siguiente fórmula:
Si q = (1+i) [ ni
VA A( ,q)
1
] =
i
n
1
Como ya se ha señalado previamente todos los razonamientos expuestos para la fórmula del
valor actual de una renta constante son también aplicables a la fórmula que nos proporciona el
valor actual de una renta geométrica. Es decir:
El tipo de interés a utilizar dependerá de la periodicidad de la renta: si la renta es anual
deberemos utilizar (i), si la renta es mensual deberemos utilizar (i 12
), si la renta es
semestral deberemos utilizar (i 2 ), etc.
Esta fórmula nos proporciona el valor de la renta, un período antes de donde se encuentra
situado el primer término de la renta.
Ejemplos
paga al final del año 1) es de 100 €. Esta renta crece anualmente en un 10% acumulativo
anual. Si el tipo de interés es del 5% anual, se pide calcular su valor actual, es decir, su valor
en el momento 0.
1 1 .q
1
1 .q
2
... 1 .q
(n-1)
0 1 2 3 4 ... n
Solución
Observar como en esta renta:
[ q = (1 + Tasa de crecimiento de los términos) = (1 + 0,1) = 1,1 ]
Representamos gráficamente la renta:
Aplicamos la fórmula:
43990372
1 005 11
1 005
11
1
100
1
1
1
25
1
. ,
, ,
)
,
,
(
( ).
i q
)
i
q
(
VA ( ).
n
€
Como el primer término de la renta se sitúa al final del año 1, el valor anterior se sitúa
directamente en el año 0 (un período antes de donde se encuentra el primer término).
primer término es de 200 €. Dicha renta crece anualmente en un 5%. El primer término se paga
al final del año 5. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor actual o valor
en el momento 0.
Solución
Observar como en esta renta:
[ q = (1 + Tasa de crecimiento de los términos) = (1 + 0,05) = 1,05 ]
Representamos gráficamente la renta:
Aplicamos la fórmula:
100 100.(1,1) 100 .(1,1)
2
... 100.(1,1)
24
0 1 2 3 ... 25
200 200.(1,05)….. 200.(1,05)
9
0 … 4 5 6 ... 14
