modulo 6 matematica financiera, Apuntes de Matemática Financiera

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MÓDULO 6.

Activos Financieros de Renta

Fija. Estructura Temporal de Tipos de

Interés

1. RENTA FIJA

Los activos financieros de renta fija son títulos emitidos por determinadas institucionespúblicas o privadas con el objetivo de obtener fondos para financiar sus actividades.Todos los inversores que adquieren los títulos, prestan dinero a la institución o empresaemisora que es la que establece y determina los términos de la emisión. Los inversoresque adquieren estos títulos ceden al emisor

una determinada cantidad de dinero, a

cambio se les promete la recepción futura de unos flujos de caja hasta el momento de laamortización o vencimiento.Elementos más importantes de los activos de renta fija: Nominal

: Es el principal de cada uno de esos préstamos y sobre el que se calculan los

intereses periódicos. Cupón

: es el importe de los pagos periódicos de intereses determinados en la emisión.

Fecha de amortización

: es la fecha futura donde finaliza la vida del título y se produce

su amortización o devolución del capital prestado. Amortización

: Es la devolución del capital principal en la fecha de vencimiento. Puede

ser a la par, bajo par o sobre par.

2º) Bonos cupón cero

• Son activos financieros que no pagan cupones periódicos a sus propietarios– Los intereses generados se pagan en la fecha de amortización del título. En estecaso los flujos generados por estos títulos quedan perfectamente determinados por sunominal, su precio de amortización y su fecha de amortización. Ejemplo: Un bono cupón cero de nominal 1.000 € que se amortiza al cabo de un año al 130%

P

5

Cuando este tipo de títulos se amortiza al 100% de su valor nominal, reciben elnombre de

activos emitidos al descuento

, ya que su precio de emisión P ha de ser

inferior al nominal, es decir, han de emitirse con descuento. En este caso larentabilidad del inversor esta implícita en el precio que paga por ellos. Ejemplo: Un título de nominal 1.000 € que se amortiza el 31 de mayo de 2012 al 100% y seadquiere el 31 de mayo de 2011 por un precio de 970€, generará al inversor elsiguiente flujo de caja:

970 < 1.

Una vez finalizada la emisión de los títulos de renta fija en el

Mercado Primario

los suscriptores o compradores de los bonos tienen dos alternativas: mantener encartera el título hasta su vencimiento/amortización o vender el título antes de suvencimiento en el

Mercado Secundario.

(

)

%

(^092) , 3

(^000). 1

1

970

=



=

⋅^

i

i

Ejemplo: Suponga un bono con cupón del 5% anual y 1.000 € de nominal al que le quedan porcobrar 3 cupones y se amortiza a la par. El primer cupón se pagará dentro de un año. Siel tipo a un año es del 4%, el tipo a dos años del 4,25% y a 3 años del 6%. Determinesu precio.

Hoy

1

2

3

50

50

50 + 1.

4%

4,25%

6%

(

)

(

)

(

)

3

2

1

= + + + + + = P

Ejemplo: Un bono cupón cero de nominal 1.000 € que se amortiza el 31 de mayo de 2012 al100% y se adquiere el 31 de mayo de 2011. Si el tipo de interés a un año es del 4%determine su precio.

P

P

P

Ejemplo

: Suponga un bono de nominal 1.000 € amortizable exactamente dentro de tres años

al 100% que paga un cupón anual del 6% del nominal. Obtenga el precio o valor del título si:

–El tipo de interés anual de valoración es constante para cualquier plazo e igual al 7%–El tipo de interés anual de valoración es constante para cualquier plazo e igual al 6%.–El tipo de interés anual de valoración es constante para cualquier plazo e igual al 3%.

3

(^07) , 0

3

3

2

1

−

−

−

−^

a

P

(^000). 1

(^06) , 1

(^000). 1

60

3

(^06) , 0

3

= ⋅ + ¬ ⋅ =

−

a

P

(^86) ,

(^084). 1

(^03) , 1

(^000). 1

60

3

(^03) , 0

3

= ⋅ + ¬ ⋅ =

−

a

P

2.1. Precio excupón y cupón corrido

•^

El precio al que cotizan los bonos en el mercado es el precio del bono sin incluir laparte del cupón del próximo vencimiento que ya se ha devengado, lo que sedenomina cupón corrido

•^

El cupón corrido es el incremento en el precio de un título que tiene lugar día a díacomo consecuencia del acercamiento a la fecha del pago del cupón. El mercadoutiliza para su cálculo la siguiente expresión:

•^

El mercado da la información a los inversores mediante el precio ex-cupón o decotización, es decir, sin la influencia en el precio del cupón corrido. Estos preciosexcupón contienen un mayor nivel de capacidad informativa que los precios decompra, ya que los movimientos en los precios no se deben al pago de cupones.

•^

El precio de compra (o de venta) que realmente se paga en cualquier operación en elmercado, vendrá determinado por la suma de su precio ex-cupón y de su cupóncorrido.

cupones

de

pago

entre

días

de

n

cupón

último

del

pago

el

desde

dos

transcurri

días

de

n

cupón

del

importe

CC

•^

Ejemplo: Suponga que hoy día 1 de Enero de 2012 (cuando han transcurrido 185 días desde el pagodel último cupón) queremos comprar un bono de nominal 1.000 € con vencimiento el30/06/14, que paga un cupón anual

del 5%, pagadero cada 30 de Junio. Leemos que el

bono cotiza a un precio excupón de 108,5%. Calcule el precio que pagaremos por el bono alvendedor.

30/06/

01/01/

30/06/

30/06/

30/06/

P

(^3) ,

25

185365

50

=

=

x

cc

%

(^03) ,

111

(^3) ,

110 . 1

3 ,

25

085 . 1



=

=

ad P

2.2. Rentabilidad a vencimiento o T.I.R de los títulos de renta fija

La TIR mide la rentabilidad que se obtendrá sobre un bono si se compra y se mantienehasta su vencimiento. Es el tipo de interés constante que iguala el valor actual de losflujos de caja que generará el título con su precio.La TIR se puede interpretar como: el tipo de rendimiento compuesto que se obtendría alo largo de la vida del bono bajo el supuesto de que los cupones se reinvierten a esamisma TIR y que el título se mantiene hasta su vencimiento.

P

C

C

C

C

C + N

n

(

)

TIR

i i N a C P

n

i

n

3. Bonos gubernamentales y bonos corporativos

Los prestatarios mayores en el mundo son los gobiernos de los diferentes estadosque emiten bonos para financiarse. Los gobiernos emiten títulos de DeudaPública: los Bonos y las Letras del Tesoro (títulos cupón cero emitidos aldescuento)Teóricamente las emisiones del Tesoro de los diferentes estados, a diferencia delas demás emisiones realizadas por las corporaciones o empresas, no tienen riesgode crédito o insolvencia ya que todos esperamos que el Tesoro siempre cuente conel dinero necesario para devolver sus préstamos.El riesgo de crédito, también llamado de insolvencia, es el riesgo de una pérdidaeconómica como consecuencia de que el emisor no pueda pagar los flujos de cajafuturos prometidos.En el actual escenario de crisis económica, la premisa de que el Tesoro siemprecontará con el dinero necesario para devolver sus préstamos no está tan clara paratodos los países europeos, de ahí los diferentes tipos de interés que pagan lostítulos emitidos por los distintos estados.

3.1. Renta Fija emitida por el Estado Español

Dentro del Sistema Financiero Español podemos encontrar diversos tipos deactivos financieros de renta fija (Pagarés de Empresa, Cédulas Hipotecarias, etc.).No obstante, tanto en volumen, como en número de operaciones, los activosfinancieros de renta fija emitidos por el Estado son los más importantes.Tipos de títulos de renta fija emitidos por el Estado Español:1.- Letras del Tesoro: son bonos cupón cero emitidos al descuento2.- Bonos y Obligaciones del Estado: son bonos con pago periódico de cupones

Si deseamos conocer el tipo de interés asociado a la inversión en una Letra, deberemosplantear la equivalencia financiera entre la prestación y la contraprestación siguiendo lanormativa del Ministerio de Economía que establece: 

Si el vencimiento de la Letra es inferior o igual a 365 días, se aplicar la ley financiera simple y el año comercial. 

Si el vencimiento de la Letra es superior a 365 días, se aplica la ley financiera compuesta y el año comercial.

i t i P t i P



=  

 

⋅

⋅

⇔

 

 

⋅

⋅

=

−

(^000). 1

360

1

360

1

(^000). 1

1

(

)

(

)

i

i

P

i

P

t

t

−

360

360

20

Ejemplo: Calcular

el

tipo

de

interés

asociado

a

una

Letra

del

Tesoro

de

nominal

vencimiento a 355 días si el precio de la letra ha sido de 971,27 €. Ejemplo: Determinar el tipo de interés asociado a una Letra del Tesoro con vencimiento a 546 días,si su precio es de 968,87 Euros?

% 3

(^000). 1

355360

1

(^27) ,

971

=



=   

  

⋅

⋅^

i

i

(

)

000 . 1

1

(^87) ,

968

360

546

=

⋅

i

i^