Modulo de Estudio Algebra, Diapositivas de Matemáticas

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UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” E CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA AN JT eliges tu camera antoersitania, nosotros Le preparamos, .. Y. ue pS UNIDAD N*01 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TEORÍA DE EXPONENTES Objetivos: + Reconocer expresiones algebraicas y distinguir sus términos. + Reconocer un polinomio por su número de términos. e Distinguir términos semejantes y reducir. Hallar el valor numérico de un polinomio. e Determinar el grado absoluto y relativo de un polinomio. e Distinguir los polinomios especiales, completos, ordenados, homogéneos, idénticos y nulos. e Definir la potenciación, la radicación y establecer las principales leyes. 1.22. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Por su naturaleza se clasifican en: Y Expresiones Algebraicas Racionales (E. A. R.). Se caracterizan porque los exponentes de sus variables son números enteros positivos (Racionales Enteras) o negativos (Racionales Fraccionarias). Ejemplo: 3 a) PC) =4x* +7 -8x+1 b) Qe y)=6x —2x2y? + 43175 0) R(xy;z)=2x? +6x?2y"* —9xy?z? y Expresiones Algebraicas Irracionales (E. A. l.). Se caracterizan porque los exponentes de alguna(as) variable(s) son fracciones o las variables están afectadas " i de ri Ejemplo: 1 (PCs = = 3y2x — her to el estudio de los e existen y las le se dan entre a. CEMPROMETIDOS CONSTUTNGRESO Observación 1.1. a. En una expresión algebraica la variable no se encuentra,cÓ nente. b. Una expre términos c. Alas exp trascendente 1.2. TÉRMINO ALGEBRAICO Es la mínima expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones algebraicas a excepción de la adición y sustracción. Ejemplo: 2 (1) PGo) =-12V2x? (2) RG) = 5q2xm-2n+1 (8) SGx) = 18 1.21. PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO. Todo término algebraico presenta tres partes, las cuales son: Coeficiente, variables y exponentes: 77 E Coeficiente Variables Exponentes ue así: Exponente entero negativo pb" = E Vb ER-(0) An EN Teoremas de la Potenciación en R. Sean n, m ER, 1. Multiplicación de Potencias de igual base. pa, pm yrem 2. División de Potencias de igual base. 5 = prom = vb ER—(0) 3. Distributiva respecto a la multiplicación (a.b)”? = a”. p” 4. Distributiva respecto a la división ay _an (5 =2 , vb eR-(0) 5. Potencia de una Potencia (prym = rm RADICACIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” E CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA CA JT eliges tu camera antoersitania, nosotros Le preparamos, .. Y. ue pS (1) 2x3y22;V3x3y?z;-3x3y?z, son términos Con a, +0; a, coeficiente principal, ay término semejantes. independiente, se tiene: 2) 2 a2b30%;V5a?b3c*;ma2b3c*; son términos a. La suma de los coeficientes de P(x) se obtiene ad haciendo x =1 es decir: semejantes. y coef.P(x) = P() 1.3.3, GRADO DE UN POLINOMIO b. El término independiente de P(x) se obtiene haciendo Es la principal característica de un polinomio, el cual está x=0es decir: T.I.P(x) = P(0) dado por los exponentes que presentan sus variables. c. Si an =1, el polinomio se denomina “Polinomio Se consideran dos clases de Grado: Mónico”. Grado Relativo (G.R) Cuando se considera a una sola variable de la expresión. a. Enun MONOMIO. - Es el exponente que tiene la variable en mención. b. En un POLINOMIO. - Es el mayor exponente que tiene la variable en mención entre todos sus *""Q AC Grado Absoluto + POLINOMIOS ESPECIALES > Polinomio Homogéneo. Es aquel polinomio de dos o más términos y más de una variable donde dichos términos tienen igual grado absoluto. MULA pe” Es la suma presenta el b. Enun Es el mayor grado absoluto d Epi término según que la ordenación sea CRE JENTE O Ejemplo: 1. P(x sob sol 0METIDOS Cod HINA SD el de a rdenado en )=2x forma decreciente respecto a “x”. . 8 > Polinomio Completo. ntes de una el mayor hasta Gr[PGo) + Gr[PGo) — /987 SEZO3: Ñ P() =3-— 4x? — x* — 3x + 2x*, Completo Gr[P(9).Q60] =m+n P(x; y) = 2xy — 6 + 5x3 — 4x2 y?, Completo en x Gr[P(x) + 0601 Observaciones Gr[(P0) ] =m.r 1. Si el polinomio es completo en una variable y su grado Gr [yPG0] _n relativo es “n” entonces el número de términos del polinomio es n + 1 N.? de términos de P(x)=Grado de P(x)+1 1.4. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 2. En todo polinomio completo y ordenado de una Es el valor que se obtiene al reemplazar la variable o variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de variables de la misma, por sus valores numéricos definidos. dos términos consecutivos es igual a la unidad. Ejemplo: |Grado(t;) — Grado(tx+1)] =1 Si P(x;y)=2x2y3 -— 3xy? hallar el valor de P(2;-2). > Polinomios Idénticos. En efecto: Reemplazamos x =2, y = - 2 en el polinomio, se obtiene PQ;-2) = 2027 ca AE 2y Observación. Sea P(x) un polinomio de grado “n” de la forma: P(x) = ap? + Ap 0 A 377 + ax? + ax +0 Son aquellos polinomios del mismo grado y en las mismas variables, donde sus respectivos términos semejantes tienen igual coeficiente. Ejemplo: Dados: P(x) = ax? + bx+cAQ(6) =mx3 +nx+ Pp Si P(x) = Q(x), se cumple: a=m;b=n;c=p Observación: UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” UNICA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA 1 Tú eliges ta camera umiocrditanía, nosotros te Preparamos. ../ Don a EMI ps Dre MOT polinomio cociente y R(x) resto: polinomio residuo o resto. Además: — Grad[R(x)] < Grad|d(x)] 1.11. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS Y” Método de Guillermo Horner (m+1) coeficientes del cociente D(x) = (ax + d)a(o) +RG0 = (1+2) (gto) + R(x) el cociente queda multiplicado por “a”. Su esquema es: (n21) conformes Y Teorema del resto Acc Rcis aros divisor es la for nos As el 3d or d | dividendo y lo a se obtiene es el resto. Didi división PáHéttas byx” + 14 byx7 24 baxo 8) () Donde: m => n, con Ei tesis principales e 0yby+0 Esquema: Donde: cy e (D e 2. Gr(Residuo) 3. Gr (Residuo)máxmo = Gr CEDE Ejemplo: Aplicando el método de Horner divida 20x! + 47%? + 58x + 55x2 + 13 por 3x +6 +5x? RESOLUCIÓN Ordenando y completando los polinomios: D(x) = 20x* + 47x3 + 55x2 + 58x + 13 d(x) = 5x2 + 3x + 6 Por tanto: Q(x) = 4x2 + 7x + 2 y R(x) =10x + 1 2025 38:25 10-58, 5120 47 55 58 13 -3 -12 -24 5 -6 -21 1-42 $—42 4 7 2.10 1 Regla de Paolo Ruffini Se utiliza cuando el divisor es de primer grado o transformable a él. Por el algoritmo de la división: el 2 1.2. COCIENTES NOTABLES Son casos especiales de división exacta, entre divisores binómicos de la forma: Exponente APT principal n n W tz be le Bases En los cuales es posible deducir el cociente sin efectuar operaciones; n eN, n >2 Observación: mM, siZ WPizA ” es un cociente notable entonces se cumple: 5 = A = N? de términos de su desarrollo= exponente Principal Para la obtención del desarrollo de un cociente notable se usa el método del HORNER y se presentan 3 casos: UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” od CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA 1 Tú eliges ta camera umiocrditanía, nosotros te Preparamos. ../ fp Dune da UNICA: > E) 2 b_, 10. En el siguiente cociente notable OS , se sabe que el término de lugar 12 tiene por grado absoluto 74, el término de lugar 15 tiene por grado absoluto 68 y su grado relativo respecto a “y” es 28. El valor de “a” es: A) 12 B) 4 C) 8 5 D) E) 10 11. Sien el cociente notable Za grado absoluto del término de lugar (a + 2) contado a partir del primer término, excede nidades al grado absolut término de lugar *; do a partir del extremo el valor de “a” a ES DIOS El re: EE 12. 14. Al dividir F(x) entre (4x? — 9)(x + 3) se obtuvo como residuo 2(x — 3)?, entonces el residuo de dividir F(x) entre 2x? + 9x + 9,68: A) -21x+9 B) 12x+3 C) -20x +11 D) 2x+1 E) -3x+10 15. El valor numérico del polinomio PG) =x* +3V5.V3x2 — (5 + V5 — 2V/3)x + V25+4 cuando “x” toma el valor de V5 — 4/3, es: A) -1-V5 B) 2V25 C) 0 D) 7 E) 2V27+7 16. 17. ACADEM GRUPO es338: 20. Si un polinomio cuadrático es divisible por (2x — 3); su término independiente es - 3 y su resto al dividirlo por (+ 1) es 20, el coeficiente del término lineal de dicho polinomio es: A) - B B) - ) ) ) - Qo.w Les mm 4m_z1b En el desarrollo del cociente notable É 0 el décimo término contado a partir da final es independiente de “x”. la cantidad de términos racionales enteros que contiene dicho desarrollo es: EA PREUNIVERSITARIA ces el valor de me€Z+, es: "COMPROMETIDOS CORTU INGRESO x+1 2x+1 q enecen a un else los lugares del a ciente notable QOo” B) ) ) ) m Si el octavo término del cociente notable 5 es el monomio x*=%6y14 | la suma de los ponerlas de los términos centrales, es: A) 114 B) 124 C) 134 D) 144 ) 154 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” od CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA 1 Tú eliges ta camera umiocrditanía, nosotros te Preparamos. ../ fp Dune da UNICA: > La fracción algebraica debe presentar en el denominador un de cada uno de sus factores primos, es: polinomio factorizable, lo cual hace que se puedan A 4 presentar los siguientes casos: B) 6 Caso 1. C) 9 Cuando en el denominador se presentan factores de primer D) 8 grado de la forma (x + a). E) 12 En este caso deberá de asumirse tantas fracciones parciales de la forma como factores de primer grado 4. Al factorizar en IR; x* +1, el número de factores . (rta) algebraico que posee, es: existan. A) 5 Caso 2. Ñ , A . B) 3 Si el denominador contiene factores de primer grado 0) 7 repetidos de la forma (x + a)” D) 1 Para este caso deberá de asumirse n fracciones parciales E) 9 de la forma Az A, Gio eto? o ACADEMIA CONVERSAR = y? E A E 2_ . Pr. o cuadráticos no 509 00 0D) 6É- 3L:+ 30) es: GRUPO. El PRE + bx + Cc)”. . La suma de los coeficientes del factor con de B forma 3)-4, a DOS CU INGRESO ANA HR Bn EN Hor AAN Observación Los valores y : expresiones éri ña 5 utilizando una delo O inos de los é Y a. polinomi Dando valoré Ulares (adecuados) a la variable x. A ap palo +2) — (y + w)(Z+w), es: Preguntas propuestas N*03 1. Al factorizar F(x) =x? + x% + x3 + 1, el número total de factores resultante, es: DUDAS Y=O2=00 A) : B) 6 8. Al factorizar: PG) =(2x%+D3+ (+ Dx O 8 DIE 424 DS D) 12 El número total de sus factores, es E) 16 A) 24 B) 25 2. Al factorizar R(x) =x*+x? +1, la suma de los C) 28 coeficientes de uno de sus factores primos es: D) 32 A) -4 E) 26 B) -2 0) 1 9. Un factor primo del polinomio D) 2 T(a; b; c) = 2(a?b + b?c + c%a) + 4(a?c+ E) 4 c?b + b?a) + 9abc, es: A) a+b 3. Al factorizar: (a —b)?(c— d)? + 2ab(c— d)? + B) a+c 2cd(a? + b?) el producto de la suma de los términos C) b+e 13 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” E CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA Té cliges ta camera untoctsitania, nosotros te fasparamos.../ mu a UNICA UNIDAD N*04 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE. INECUACIONES Objetivos: + Reconocer ecuaciones lineales de la forma ax + b=0, e - Aplicar las propiedades para resolverlas. e Reconocer inecuaciones lineales de la forma:ax+ b < c, ax+tb>c,ax+bs0.(m=-/nvm=yn) y” Fórmula general: Una ecuación cuadrática:px? + qx +r=0 puede resolverse aplicando la siguiente fórmula: y = ala apr 2p nombre de discriminante. Discusión de las raíces: ,donde 4 = q? — Apr, recibe el GRUPO: SAO NM HBOS CONUSNOR Edo] eSi:.4 > 0, las dos raíces son reales y diferentes 4 = 0, las dos raíces son reales e iguales eSi.A < 0, las dos raices son complejas (no existen raíces reales) y se cumple: px? + qx +7 > 0, Vx ER 1.2.1. Formación de una ecuación cuadrática Conociendo sus raíces x,yxz se puede construir la ecuación cuadrática aplicando: (ex (x—x2) =0 x?— (2, +x2)x + x1.x7=0..(1) Suma de las raíces: S=x1+% Producto de las raíces: P = x,.x2 La ecuación (1) se puede escribir como: x?—-Sx+P=0 Propiedades de las raíces de px?+ qx +r= e inecuaciones con ACADC PRE OIEA Producto de raíces: P = x1.X2 = Difer expresiones que, con sus símbolos correspondientes se a es menor que b a. es menor o igual que b aes mayor que b abse estrictas. 3. abse denominan desigualdades no estrictas. 4. Lasrelaciones<, <,> y > , son relaciones de orden. denominan desigualdades Propiedades: P)a>boa-b>0 P,j)aboa+c>b+c 1 P)ab>0Ma bc P¿ja>brac>0o 25h cTc ac < bc pya>brc a+ b+d a+c> Ppa>bac>d> (GIA Pg) a y b tienen igual signo: a > b e a? > b? 1 1 Pg) a y b tienen igual signo: a>b> a < » UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” E CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA AN JT eliges tu camera antoersitania, nosotros Le preparamos, .. Y. ae DUO UNIDAD N'05 + Matriz Cuadrada: MATRICES Y SISTEMAS DE Cuando la matriz, tiene el mismo número de filas y ECUACIONES columnas. (m=n) A= [! 7 Objetivos: 5 2x2 e Definir una matriz, los tipos especiales de matrices y > ELEMENTOS DE UNA MATRIZ CUADRADA establecer las operaciones de adición, sustracción y 1... 5_.6]Diaaonal Secundaria multiplicación de matrices. > 7 . Y + Definir el determinante de una matriz de orden 2 y 3, hallar el valor numérico del determinante de una matriz cuadrada. + Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos y Diaaonal Primaria > TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA Es la suma de los elementos de la diagonal principal. tres variables por la regla de CRAMER, método de Sea A= P : ó reducción, igualación y sustitución. 34 9 e Discutir la resolución de un sistema de ecuación con 2 Traza (A)=1+8+9=18 y 3 incógnitas. ACADEM dde al R 1,1. MATRIZ Se llama matriz u ordenamiento de elementos . ” A E cualesquiera, di < (verticales). ión: u A M 2 Do son De les si los q : : L A ales, es pl mann ” Nos A SiA = la;; entonces: =).COMPROMETIDOS CON AT jes AE loss =fN1Si 0, tal que se Se tiene que x = so y= 2 z= Z cumple 4? + E dl = A 3] entonces 14], es: Discusión de la solución de un n sistema de ecuaciones con A) 1 3 incógnitas: B) -2 1. SiAs 0, el sistema es compatible determinado. 0) 3 21 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” E CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA AN JT eliges tu camera antoersitania, nosotros Le preparamos, .. Y. ue pS Ri = ((3; 2), (4; 2), (5; 23) Veamos = (GB; D, (5; DJ En R, vemos que (1,2) e R, >(21) eR; Ra = ([(5y) ER?:x + y = 6) = ((4;2), (5; 1)) (23) e R, >(32) e R, entonces; es simétrica en A Ra = (Gay) € Rx = y = ((4,2)) En R) vemos que (31) e R, pero (1,3) « R, entonces R, Todas éstas son relaciones entre A y B, por ser subconjuntos de AxB, y se pueden escribir por extensión y no es simétrica en A Res transitiva en A Mostrando sus gráficas: 9 VA Vy,WZ EA (1;y)ERAM(Y;¡Z)ER> Diagrama sagital Tabla de doble entrada Ce z)ER Ejemplo: 5 Sean el conjunto A = (1,2,3,4) y las relaciones en A: 1 2 Ri =4(12),2,2),2,0,(60) Ra =40,2),(23),013,, 80,011) + Veamos: En R, observamos que: | ACADEMIA PREUNIMERSITARIA Sin(AxB) = p el Í Í b entonces; es transitiva en A NE e BOMBROMETIDOS po TU'INORESO- FE Ejemplo: 2 se. bi conjunto A = (1,2,3,4) y la relación El dominio y Rango de la relación R de A en B, si A =(2,3,7) =(14:0,Q;0,0:3,Q;2,G;3), (4; 0) y B= (56,4) xo 9 6 divisor de liene que la relación,g es iva, simétrica y Como: h Ax B=(0,5), 6 a enA. >R=((24 . , EALES Luego: Do) 2) y Ran(R)=14,6) Y Relación Binaria en e Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto. Diremos que R es una relación binaria en RR y escribiremos; SIRCAXA, entonces: R: R>R O RCRXR, si R es un subconjunto de IR? Res Reflexiva en Ao Vx E A > (xx) ER Simbólicamente:R = ([(x; y) ER; RCR2= RxIR . Y Grafica de relaciones de R en R Ejemplo: 3 - Gráfica de relaciones de la forma Sean A = (1,2,3,4) y las relaciones: R=((% y) ER: y = mx+b) 03.069,00... 0,00) Tienen por gráfico una línea recta con pendiente “m” y Ra =400,022),08,,(43),(4:4)) ordenada “b”. (Fig. “a”) En R; se observa Vxe A: (x,x)eR. Es decir: 1. Gráfica de relaciones de la forma: leA>(IDER, 3 2eA>(22)eR, R=1((3y) Ry ax +bxtoó 3eA>(33)eR, ;entonces R, es reflexiva en A R=((y) ER? x = ay? + by +0). Tienen por gráfica una parábola En R), se observa que 3 € A sin embargo (33) 2 R», Completando cuadrados de obtiene: entonces R, no es reflexiva en A. («— hy? = 4p(y — Dó( —k)? = 4p Y R es simétrica en Ao Vx, Vy € A: (x;y) ER > (x — h) con vértice V(h; k) paralelas al eje Y, y al eje X Gx) ER respectivamente. (Fig”b”) y (Fig'c”). Ejemplo: 4 2. Gráfica de relaciones de la forma: Dado el conjunto A = (1,2,3) y las Relaciones en A R = ((x; y) ER?: x? + y? + Dx + Ey +F=0) Ri =1(1,2),(233),(2,1),(3,2),(11)) y Tiene por gráfica una circunferencia Ro =1((12),2.),(33),(30)) - Si: x? + y? + Dx + Ey + F = 0 completando 25 UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” =l CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS CEPU - UNICA 17á eliges ta camera universitaria, nodobros fe preparamos. ../ fp Dune da UNICA: rs Dem LIMON 10. 11. 12. 13. C) 3 14, Dado el conjunto Universal U =(x / x € N, 1) Ex 20); D) 4 A= (2H) /-2 1, el conjunto solución es (—oo; a) U (b; +00), el valor de “a + b” DIUom= Ro] es: 20 A) 2 60 B) 3 C) 4 15. Dada la relación D) 5 = ((x y € RxR / Q-y)=9-x?), la E) 6 intersección del dominio con el rango de dicha relación es: Al resolver 1085 (E -3x+ 25) 4), es: Dmauo> MDLoaZ=> 2=N0u0+=0 A) [1-45 a B) [-2 Sean A = (a € N/ a es impar); B = (b € N/ b es par) y C) - de val R= ((a; b) € AxB /a + b es primo menor que 10). El D) (2; 4] número de elementos de R es: E 142] A) 8 8 10 19. El Rango de la Relación 0) 4 R=((x; y ERxR/25y? — 16x? — 100y + 96x — 444 = 0), D) 7 es: E) 6 A) R B) [22; 6] SiA=(a€Z/1 |x — 21) C) 18 y S= ((x y) € RxR/ x? + y? < 4), el área de RnS D) 15 es: E) 9 A) m-1 B) n+1 27