EJERCICIOS DE MATRICES. PAU
1) Se dan las matrices A = , U = y B, donde B es una matriz de dos filas y dos
columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación B2 = −7B +U
Obtener razonadamente.
a) Los números reales a y b tales que A 2= aA + bU.
b) Los números reales p y q tales que B – 1 = pB + qU, justificando que la matriz B tiene inversa.
c) Obtener los valores x e y para los que se verifica que B3 = xB + yU.
2) Se dan las matrices A = , I = y M , donde M es una matriz de dos filas y dos
columnas que verifica M2 = M . Obtener razonadamente:
a) Todos los valores reales k para los que la matriz B = A − kI tiene inversa. (2 puntos).
b) La matriz inversa B−1 cuando k = 3. (2 puntos).
c) Las constantes reales α y β para las que se verifica que αA2 + βA = −2I . (4 puntos).
d) Comprobar razonadamente que la matriz P = I −M cumple las relaciones:
P2 = P y MP = PM. (2 puntos, repartidos en 1 punto por cada igualdad).
3) Dadas las matrices cuadrada: I = A = se pide:
a) Calcular las matrices (A – I )2 y A( A – 2I ). (4 puntos).
b) Justificar razonadamente que
b.1) Existen las matrices inversas de las matrices A y A – 2I . (2 puntos).
b.2) No existe matriz inversa de la matriz A – I . (2 puntos).
c) Determinar el valor del parámetro real para el que se verifica A-1 = (A – 2I ). (2 puntos).
4) Dadas las matrices cuadradas: A = , B = e I =
se pide:
a) Justificar que la matriz A tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa A– 1 incluyendo en la
respuesta todos los pasos que llevan a la obtención de A– 1 . (1,1 puntos).
b) Calcular, razonadamente, el determinante de la matriz 3 A– 1 , incluyendo en la respuesta todos los
pasos realizados. (1,1 puntos).
c) Obtener razonadamente los valores reales x, y, z que verifican la ecuación xI + yA+ zA2 = B .
(1,1 puntos).
5) Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: A = , I = . Se pide
calcular, escribiendo explícitamente las operaciones necesarias:
a) Las matrices A 2 y A3 . (1,5 puntos).
b) Los números reales α y β para los que se verifica (I + A)3 =α I + β A. (1,8 puntos).
6) Dada la matriz A = y el vector X , se pide obtener razonadamente:
a) El vector X tal que AX = 0X. (1,1 puntos).
b) Todos los vectores X tales que AX = 3X. (1,1 puntos).
c) Todos los vectores X tales que AX = 2X. (1,1 puntos).
7) Dadas las matrices A = y X , se pide:
a) Obtener razonadamente todos los valores de α para los que es la única solución de la ecuación
matricial AX = αX . (1,5 puntos).
b) Resolver la ecuación matricial AX = 2X . (1,8 puntos).