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Problemas de Selectividad de

Matem´aticas II

Comunidad de Madrid

Por materias y resueltos

Prof: Isaac Musat Herv´as

´ultima actualizaci´on:

15 de julio de 2023

• 1. Algebra´ Indice general
  • 1.1. A˜no
    • 1.1.1. Modelo
    • 1.1.2. Ordinaria
    • 1.1.3. Extraordinaria
  • 1.2. A˜no
    • 1.2.1. Modelo
    • 1.2.2. Ordinaria
    • 1.2.3. Extraordinaria
  • 1.3. A˜no
    • 1.3.1. Modelo
    • 1.3.2. Ordinaria
    • 1.3.3. Extraordinaria
  • 1.4. A˜no
    • 1.4.1. Modelo
    • 1.4.2. Ordinaria
    • 1.4.3. Extraordinaria
  • 1.5. A˜no
    • 1.5.1. Modelo
    • 1.5.2. Ordinaria
    • 1.5.3. Extraordinaria
  • 1.6. A˜no
    • 1.6.1. Modelo
    • 1.6.2. Ordinaria
    • 1.6.3. Extraordinaria
  • 1.7. A˜no
    • 1.7.1. Modelo
    • 1.7.2. Ordinaria
    • 1.7.3. Extraordinaria
  • 1.8. A˜no
    • 1.8.1. Modelo
    • 1.8.2. Ordinaria
    • 1.8.3. Extraordinaria
  • 1.9. A˜no
    • 1.9.1. Modelo
    • 1.9.2. Ordinaria
    • 1.9.3. Extraordinaria
• 1.10. A˜no
  • 1.10.1. Modelo
  • 1.10.2. Ordinaria
  • 1.10.3. Extraordinaria
  • 1.10.4. Reserva
• 1.11. A˜no
  • 1.11.1. Modelo
  • 1.11.2. Ordinaria-General
  • 1.11.3. Ordinaria-Espec´ıfica
  • 1.11.4. Extraordinaria-General
  • 1.11.5. Extraordinaria-Espec´ıfica
• 1.12. A˜no
  • 1.12.1. Modelo
  • 1.12.2. Ordinaria
  • 1.12.3. Extraordinaria
• 1.13. A˜no
  • 1.13.1. Modelo
  • 1.13.2. Ordinaria
  • 1.13.3. Ordinaria-Coincidente
  • 1.13.4. Extraordinaria
• 1.14. A˜no
  • 1.14.1. Modelo
  • 1.14.2. Ordinaria
  • 1.14.3. Ordinaria-Coincidente
  • 1.14.4. Extraordinaria
  • 1.14.5. Extraordinaria-Coincidente
• 1.15. A˜no
  • 1.15.1. Modelo
  • 1.15.2. Ordinaria
  • 1.15.3. Ordinaria-Coincidente
  • 1.15.4. Extraordinaria
• 1.16. A˜no
  • 1.16.1. Modelo
  • 1.16.2. Ordinaria
  • 1.16.3. Ordinaria-Coincidente
  • 1.16.4. Extraordinaria
  • 1.16.5. Extraordinaria-Coincidente
• 1.17. A˜no
  • 1.17.1. Modelo
  • 1.17.2. Ordinaria
  • 1.17.3. Ordinaria-Coincidente
  • 1.17.4. Extraordinaria
• 1.18. A˜no
  • 1.18.1. Modelo
  • 1.18.2. Ordinaria
  • 1.18.3. Ordinaria-Coincidente
  • 1.18.4. Extraordinaria
  • 1.18.5. Extraordinaria-Coincidente
• 1.19. A˜no - 1.19.1. Modelo - 1.19.2. Ordinaria - 1.19.3. Ordinaria-Coincidente - 1.19.4. Extraordinaria
  • 1.20. A˜no
    • 1.20.1. Modelo
    • 1.20.2. Ordinaria
    • 1.20.3. Ordinaria-Coincidente
    • 1.20.4. Ordinaria-Valencia
    • 1.20.5. Extraordinaria
  • 1.21. A˜no
    • 1.21.1. Modelo
    • 1.21.2. Ordinaria
    • 1.21.3. Ordinaria-Coincidente
    • 1.21.4. Extraordinaria
  • 1.22. A˜no
    • 1.22.1. Modelo
    • 1.22.2. Ordinaria
    • 1.22.3. Ordinaria-Coincidente
    • 1.22.4. Extrordinaria
  • 1.23. A˜no
    • 1.23.1. Modelo
    • 1.23.2. Ordinaria
    • 1.23.3. Ordinaria-Coincidente
    • 1.23.4. Extraordinaria
    • 1.23.5. Extraordinaria-Coincidente
  • 1.24. A˜no
    • 1.24.1. Modelo
    • 1.24.2. Ordinaria
    • 1.24.3. Ordinaria-Coincidente
• 1. Geometr´ıa
  • 2.1. A˜no
    • 2.1.1. Modelo
    • 2.1.2. Ordinaria
    • 2.1.3. Extraordinaria
  • 2.2. A˜no
    • 2.2.1. Modelo
    • 2.2.2. Ordinaria
    • 2.2.3. Extraordinaria
  • 2.3. A˜no
    • 2.3.1. Modelo
    • 2.3.2. Ordinaria
    • 2.3.3. Extraordinaria
  • 2.4. A˜no
    • 2.4.1. Modelo
    • 2.4.2. Ordinaria
    • 2.4.3. Extraordinaria
  • 2.5. A˜no
  • 2.5.1. Modelo
  • 2.5.2. Ordinaria
  • 2.5.3. Extraordinaria
• 2.6. A˜no
  • 2.6.1. Modelo
  • 2.6.2. Ordinaria
  • 2.6.3. Extraordinaria
• 2.7. A˜no
  • 2.7.1. Modelo
  • 2.7.2. Ordinaria
  • 2.7.3. Extraordinaria
• 2.8. A˜no
  • 2.8.1. Modelo
  • 2.8.2. Ordinaria
  • 2.8.3. Extraordinaria
• 2.9. A˜no
  • 2.9.1. Modelo
  • 2.9.2. Ordinaria
  • 2.9.3. Extraordinaria
• 2.10. A˜no
  • 2.10.1. Modelo
  • 2.10.2. Ordinaria
  • 2.10.3. Extraordinaria
  • 2.10.4. Reserva
• 2.11. A˜no
  • 2.11.1. Modelo
  • 2.11.2. Ordinaria-General
  • 2.11.3. Ordinaria-Espec´ıfica
  • 2.11.4. Extraordinaria-General
  • 2.11.5. Extraordinaria-Espec´ıfica
• 2.12. A˜no
  • 2.12.1. Modelo
  • 2.12.2. Ordinaria
  • 2.12.3. Extraordinaria
• 2.13. A˜no
  • 2.13.1. Modelo
  • 2.13.2. Ordinaria
  • 2.13.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.13.4. Extraordinaria
• 2.14. A˜no
  • 2.14.1. Modelo
  • 2.14.2. Ordinaria
  • 2.14.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.14.4. Extraordinaria
  • 2.14.5. Extraordinaria-Coincidente
• 2.15. A˜no
  • 2.15.1. Modelo
  • 2.15.2. Ordinaria
  • 2.15.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.15.4. Extraordinaria www.musat.net”
• 2.16. A˜no
  • 2.16.1. Modelo
  • 2.16.2. Ordinaria
  • 2.16.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.16.4. Extraordinaria
  • 2.16.5. Extraordinaria-Coincidente
• 2.17. A˜no
  • 2.17.1. Modelo
  • 2.17.2. Ordinaria
  • 2.17.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.17.4. Extraordinaria
• 2.18. A˜no
  • 2.18.1. Modelo
  • 2.18.2. Ordinaria
  • 2.18.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.18.4. Extraordinaria
  • 2.18.5. Extraordinaria-Coincidente
• 2.19. A˜no
  • 2.19.1. Modelo
  • 2.19.2. Ordinaria
  • 2.19.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.19.4. Extraordinaria
• 2.20. A˜no
  • 2.20.1. Modelo
  • 2.20.2. Ordinaria
  • 2.20.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.20.4. Ordinaria-Valencia
  • 2.20.5. Extraordinaria
• 2.21. A˜no
  • 2.21.1. Modelo
  • 2.21.2. Ordinaria
  • 2.21.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.21.4. Extraordinaria
• 2.22. A˜no
  • 2.22.1. Modelo
  • 2.22.2. Ordinaria
  • 2.22.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.22.4. Extrordinaria
• 2.23. A˜no
  • 2.23.1. Modelo
  • 2.23.2. Ordinaria
  • 2.23.3. Ordinaria-Coincidente
  • 2.23.4. Extraordinaria
  • 2.23.5. Extraordinaria-Coincidente
• 2.24. A˜no
  • 2.24.1. Modelo
  • 2.24.2. Ordinaria
  • 2.24.3. Ordinaria-Coincidente
• 1. An´alisis
  • 3.1. A˜no
    • 3.1.1. Modelo
    • 3.1.2. Ordinaria
    • 3.1.3. Extraordinaria
  • 3.2. A˜no
    • 3.2.1. Modelo
    • 3.2.2. Ordinaria
    • 3.2.3. Extraordinaria
  • 3.3. A˜no
    • 3.3.1. Modelo
    • 3.3.2. Ordinaria
    • 3.3.3. Extraordinaria
  • 3.4. A˜no
    • 3.4.1. Modelo
    • 3.4.2. Ordinaria
    • 3.4.3. Extraordinaria
  • 3.5. A˜no
    • 3.5.1. Modelo
    • 3.5.2. Ordinaria
    • 3.5.3. Extraordinaria
  • 3.6. A˜no
    • 3.6.1. Modelo
    • 3.6.2. Ordinaria
    • 3.6.3. Extraordinaria
  • 3.7. A˜no
    • 3.7.1. Modelo
    • 3.7.2. Ordinaria
    • 3.7.3. Extraordinaria
  • 3.8. A˜no
    • 3.8.1. Modelo
    • 3.8.2. Ordinaria
    • 3.8.3. Extraordinaria
  • 3.9. A˜no
    • 3.9.1. Modelo
    • 3.9.2. Ordinaria
    • 3.9.3. Extraordinaria
  • 3.10. A˜no
    • 3.10.1. Modelo
    • 3.10.2. Ordinaria
    • 3.10.3. Extraordinaria
    • 3.10.4. Reserva
  • 3.11. A˜no
    • 3.11.1. Modelo
    • 3.11.2. Ordinaria-General
    • 3.11.3. Ordinaria-Espec´ıfica
    • 3.11.4. Extraordinaria-General
    • 3.11.5. Extraordinaria-Espec´ıfica
  • 3.12. A˜no
  • 3.12.1. Modelo
  • 3.12.2. Ordinaria
  • 3.12.3. Extraordinaria
• 3.13. A˜no
  • 3.13.1. Modelo
  • 3.13.2. Ordinaria
  • 3.13.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.13.4. Extraordinaria
• 3.14. A˜no
  • 3.14.1. Modelo
  • 3.14.2. Ordinaria
  • 3.14.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.14.4. Extraordinaria
  • 3.14.5. Extraordinaria-Coincidente
• 3.15. A˜no
  • 3.15.1. Modelo
  • 3.15.2. Ordinaria
  • 3.15.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.15.4. Extraordinaria
• 3.16. A˜no
  • 3.16.1. Modelo
  • 3.16.2. Ordinaria
  • 3.16.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.16.4. Extraordinaria
  • 3.16.5. Extraordinaria-Coincidente
• 3.17. A˜no
  • 3.17.1. Modelo
  • 3.17.2. Ordinaria
  • 3.17.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.17.4. Extraordinaria
• 3.18. A˜no
  • 3.18.1. Modelo
  • 3.18.2. Ordinaria
  • 3.18.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.18.4. Extraordinaria
  • 3.18.5. Extraordinaria-Coincidente
• 3.19. A˜no
  • 3.19.1. Modelo
  • 3.19.2. Ordinaria
  • 3.19.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.19.4. Extraordinaria
• 3.20. A˜no
  • 3.20.1. Modelo
  • 3.20.2. Ordinaria
  • 3.20.3. Ordinaria-Coincidente
  • 3.20.4. Ordinaria-Valencia
  • 3.20.5. Extraordinaria
• 3.21. A˜no
  • 3.21.1. Modelo
    • 3.21.2. Ordinaria
    • 3.21.3. Ordinaria-Coincidente
    • 3.21.4. Extraordinaria
  • 3.22. A˜no
    • 3.22.1. Modelo
    • 3.22.2. Ordinaria
    • 3.22.3. Ordinaria-Coincidente
    • 3.22.4. Extrordinaria
  • 3.23. A˜no
    • 3.23.1. Modelo
    • 3.23.2. Ordinaria
    • 3.23.3. Ordinaria-Coincidente
    • 3.23.4. Extraordinaria
    • 3.23.5. Extraordinaria-Coincidente
  • 3.24. A˜no
    • 3.24.1. Modelo
    • 3.24.2. Ordinaria
    • 3.24.3. Ordinaria-Coincidente
• 1. Probabilidad
  • 4.1. A˜no
    • 4.1.1. Modelo
    • 4.1.2. Ordinaria
    • 4.1.3. Ordinaria-Coincidente
    • 4.1.4. Extraordinaria
    • 4.1.5. Extraordinaria-Coincidente
  • 4.2. A˜no
    • 4.2.1. Modelo
    • 4.2.2. Ordinaria
    • 4.2.3. Ordinaria-Coincidente
    • 4.2.4. Extraordinaria
  • 4.3. A˜no
    • 4.3.1. Modelo
    • 4.3.2. Ordinaria
    • 4.3.3. Ordinaria-Coincidente
    • 4.3.4. Extraordinaria
  • 4.4. A˜no
    • 4.4.1. Modelo
    • 4.4.2. Ordinaria
    • 4.4.3. Ordinaria-Coincidente
    • 4.4.4. Extraordinaria
  • 4.5. A˜no
    • 4.5.1. Modelo
    • 4.5.2. Ordinaria
    • 4.5.3. Ordinaria-Coincidente
    • 4.5.4. Extrordinaria
  • 4.6. A˜no
    • 4.6.1. Modelo
    • 4.6.2. Ordinaria
    • 4.6.3. Ordinaria-Coincidente
    • 4.6.4. Extraordinaria
    • 4.6.5. Extraordinaria-Coincidente
  • 4.7. A˜no
    • 4.7.1. Modelo
    • 4.7.2. Ordinaria
    • 4.7.3. Ordinaria-Coincidente
• 1. Estad´ıstica
  • 5.1. A˜no
    • 5.1.1. Modelo
    • 5.1.2. Ordinaria
    • 5.1.3. Extraordinaria
  • 5.2. A˜no
    • 5.2.1. Modelo
    • 5.2.2. Ordinaria
    • 5.2.3. Ordinaria-Coincidente
    • 5.2.4. Extraordinaria
  • 5.3. A˜no
    • 5.3.1. Modelo
    • 5.3.2. Ordinaria
    • 5.3.3. Ordinaria-Coincidente
    • 5.3.4. Extraordinaria
  • 5.4. A˜no
    • 5.4.1. Modelo
    • 5.4.2. Ordinaria
    • 5.4.3. Ordinaria-Coincidente
    • 5.4.4. Extrordinaria
  • 5.5. A˜no
    • 5.5.1. Modelo
    • 5.5.2. Ordinaria
    • 5.5.3. Ordinaria-Coincidente
    • 5.5.4. Extraordinaria
    • 5.5.5. Extraordinaria-Coincidente
  • 5.6. A˜no
    • 5.6.1. Modelo
    • 5.6.2. Ordinaria
    • 5.6.3. Ordinaria-Coincidente

b) Si λ = −1: ß −x− y+ 2 z = − 1 2 x− y− z = 2

x = 1 + t y = t z = t c) Si λ = 2: (^)   

−x+ 2 y+ 2 z = 2 2 x+ 2 y− z = 2 2 x− y+ 2 z = 2

x = 2 / 3 y = 2 / 3 z = 2 / 3

Opci´on B

Problema 1.1.2 (3 puntos)

a) (1 punto) Encontrar los valores de λ para los que la matriz

A =

Ñ

λ − 1 1 − 1 0 λ − 2 1 λ 0 2

é

es invertible. b) (1 punto) Para λ = 2, hallar la inversa de A y comprobar el resultado. c) (1 punto) Resolver el sistema

A

Ñ

x y z

é

=

Ñ

é

para λ = 1 Soluci´on:

a) |A| = (λ − 1)(3λ − 4) = 0 =⇒ λ = 1 y λ =

Si λ = 1, o λ =

=⇒ No es invertible.

Si λ 6 = 1, y λ 6 =

=⇒ Si es invertible.

b) Si λ = 2:

A =

Ñ

é

, A−^1 =

Ñ

é

A · A−^1 =

Ñ

é

·

Ñ

é

=

Ñ

é

c) Con λ = 1 y AX = O: Ñ 0 1 − 1 0 − 1 1 1 0 2

é Ñ x y z

é

=

Ñ

é

=⇒

  

y− z = 0 − y+ z = 0 x+ 2 z = 0

ß y− z = 0 x+ 2 z = 0

x = − 2 t y = t z = t

16

1.1.2. Ordinaria

Opci´on A

Problema 1.1.3 (3 puntos) Para una matriz cuadrada, se define su traza como la suma de los elementos de la diagonal principal. En lo que sigue, A y B son matrices cuadradas 2 × 2.

a) (0,5 puntos) Comprobar que se verifica:

T raza(A + B) = T raza(A) + T raza(B)

b) (1 punto) Comprobar que T raza(A · B) = T raza(B · A)

c) (1 punto) Utilizando los resultados anteriores, demostrar que es imposible tener AB−BA = I, donde I denota la matriz identidad.

d) (0,5 puntos) Encontrar dos matrices A y B para las que:

T raza(AB) 6 = T raza(A) · T raza(B)

Soluci´on:

a) Sean A =

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã , A =

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã

T raza(A) = a 1 + a 4 , T raza(B) = b 1 + b 4 T raza(A) + T raza(B) = a 1 + b 1 + a 4 + b 4

A + B =

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã

Å

a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 a 4 + b 4

ã

=⇒ T raza(A + B) = a 1 + b 1 + a 4 + b 4 Luego: T raza(A + B) = T raza(A) + T raza(B)

b) A · B =

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã ·

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã

Å

a 1 b 1 + a 2 b 3 a 1 b 2 + a 2 b 4 a 3 b 1 + a 4 b 3 a 3 b 2 + a 4 b 4

ã

B · A =

Å

b 1 b 2 b 3 b 4

ã ·

Å

a 1 a 2 a 3 a 4

ã

Å

a 1 b 1 + a 3 b 2 a 2 b 1 + a 4 b 2 a 1 b 3 + a 3 b 4 a 2 b 3 + a 4 b 4

ã

ß T raza(AB) = a 1 b 1 + a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 4 b 4 T raza(BA) = a 1 b 1 + a 3 b 2 + a 2 b 3 + a 4 b 4 =⇒ T raza(AB) = T raza(BA)

c) Suponemos que la igualdad es cierta, es decir:

AB − BA = I =⇒ AB = BA + I =⇒ T raza(AB) = T raza(BA + I) =⇒

T raza(AB) = T raza(BA) + T raza(I), como T raza(AB) = T raza(BA) =⇒ 0 = 2 Luego esta igualdad es falsa.

1.1.3. Extraordinaria

Opci´on A

Problema 1.1.5 (3 puntos) Considerar el sistema de ecuaciones

  

y+ z = 1 (λ − 1)x+ y+ z = λ x+ (λ − 1)y− z = 0

a) (1 punto) Discutirlo seg´un los valores del par´ametro λ.

b) (1 punto) Resolverlo para λ = 0.

c) (1 punto) Resolverlo para λ = 3.

Soluci´on:

a)

A =

Ñ

λ − 1 1 1 λ 1 λ − 1 − 1 0

é

, |A| = λ(λ − 1) = 0 =⇒ λ = 0, λ = 1

• Si λ 6 = 0 y λ 6 = 1 =⇒ |A| 6 = 0 =⇒ Rango(A) = 3 =RangoA =nº de inc´ognitas =⇒ Sistema compatible determinado (soluci´on ´unica).
• Si λ = 0

A =

Ñ

é

Como la tercera fila es igual a la segunda multiplicada por∣ −1, y como el menor ∣ ∣ ∣

∣ = 1^6 = 0 Tenemos que Rango(A) = 2 =Rango(A)^ Opci´on B

Problema 1.1.6 (3 puntos)

a) (2 puntos) Discutir en funci´on de los valores de k y resolver el sistema   

x+ y+ 5 z = 0 2 x − kz = 0 x− y+ z = 0

b) (1 punto) Discutir en funci´on de los valores de λ y resolver en los casos de compatibilidad del sistema (^)     

x+ y+ 5 z = 0 2 x − 3 z = 0 x− y+ z = 0 x+ 2 y+ 2 λz = λ

Soluci´on:

a)

A =

Ñ

2 0 −k 1 − 1 1

é

, |A| = − 2 k − 12 = 0 =⇒ k = − 6

Se trata de un sistema homog´eneo y, por tanto, es siempre compatible.

• Si k 6 = −6 =⇒ Rango(A) = 3 = nº de inc´ognitas =⇒ Sistema Compatible Determinado. Como la soluci´on es ´unica, s´olo tiene la trivial: x = y = z = 0
• Si k = −6:

A =

Ñ

é

=⇒ Rango(A) < ninc´ognitas =⇒ SCI

El sistema en este caso es Compatible Indeterminado, si escogemos el menor

− 2 6 = 0, vemos que el Rango(A) = 2 y, adem´as podemos eliminar la segunda fila, para la soluci´on del sistema, y nos queda: ß x+ y+ 5 z = 0 x− y+ z = 0

x+ y = − 5 λ x− y = −λ z = λ

x = − 3 λ y = − 2 λ z = λ

b) Ahora tenemos

A =

Ü

1 2 2 λ λ

ê

y que

|A| =

1 2 2 λ λ

= λ

= − 18 λ = 0 =⇒ λ = 0