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PROBLEMA 1PROBLEMA 1
SOLUCIÓN:SOLUCIÓN:
|1|1 ̅̅||^ == 1̅1̅11^ == 11 ̅̅ ||||||||^ … (1)… (1)
|| ||== ̅̅== ||||^ ̅̅ ||||…. (2)…. (2)
Restando 1 y 2:Restando 1 y 2:
… (a)… (a)
De (a):De (a): ||||^ >> 11 →→ ||||^ 11 >> 00 … (3)… (3)
||||^ ≥≥ 11 →→ ||||^ 11 ≥≥ 00 … (4)… (4)
Multiplicando 3 y 4: (Multiplicando 3 y 4: (||||^ 11||||11 ≥≥ 00 →→ ||||||||^ 11 ||||^ ||||^ ≥≥ 00……(b)(b)
El resultado (b) es igual a la ecuación (a):El resultado (b) es igual a la ecuación (a):
Reemplazando tenemos:Reemplazando tenemos: |1̅||1̅|^ || ||≥≥ 00 →→ |1|1 ̅̅||^ ≥≥ || ||
PROBLEMA 4PROBLEMA 4
Calcular la imagen {z = x +Calcular la imagen {z = x + iyiy 11 ≤≤xx≤2}≤2} mediantemediante lala transformtransformaciónación z→zz→z^22 .. Calcular el conjunto de puntos cuya imagen, mediante la misma transformación, es {zCalcular el conjunto de puntos cuya imagen, mediante la misma transformación, es {z = u + iv: 1≤u≤2}.= u + iv: 1≤u≤2}. Calcular mediante la misma transformación laCalcular mediante la misma transformación la imagen del semiplano superior abierto.imagen del semiplano superior abierto.
SOLUCIÓN:SOLUCIÓN:
Resolviendo cada caso:Resolviendo cada caso:
a)a) == ∶∶ ≤≤ ≤≤ }}^ óó →→ ..
Sea:Sea: zz == xx iiyy……II^ yy ffzz^ == zz……IIII
Reemplazando (I) en (II):Reemplazando (I) en (II):
ffzz == zz
== xx iiyy
== xx iiyyxiyxiy == xx
iiyy
i2i2xyxy == xx
yy
i2xyi2xy
Dándole forma aDándole forma a
ffzz
para que quede en función depara que quede en función de uux,x,yy
yy vvx,x,yy
:: == ,,^ == ^
vv == vvx,x,yy == 2xy2xy
(^) DeDe vvx,x,yy == 2xy2xy (^) despejamosdespejamos yy::
vv 2x2x ==^ yy^ →→^ yy
(^) == vv 4x4x
ReemplazandoReemplazando yyenen uux,x,yy::
uu == uux,x,yy == xx yy == xx vv
4x4x DespejandoDespejando (^) vv ::
uu == 4x
4x 4x4x^ vv
4x4x^ →→^ u4xu4x
(^) == 4x4x (^) vv (^) →→ vv (^) == 4x4x (^) uu44xx (^) == 4x4xuxux
→→ vv^ == 4x4xuxux
Dándole forma deDándole forma de parábolaparábola yy kk^ == 4p4pxxhh
→→ vv kk^ == 4x4xuxux Dónde:Dónde:
hh == xx
kkpp ==== 00 xx
Con vértice:Con vértice:
VV == xx ,,00 Dado que x:Dado que x: 11 ≤≤ xx ≤≤ 22
Entendemos que la imagen es un conjunto de paráboEntendemos que la imagen es un conjunto de parábolas de vértice:las de vértice: VV == xx,,00;; pp == xx^ concon x:x: 11 ≤≤ xx ≤≤ 22
Así:Así: 11 ≤≤^ xx^ ≤≤^ 22 →→^11 ≤≤^ xx^ ≤≤^44
Gráfica:Gráfica:
,, ó,ó, ..
Sea el semiplano abierto:Sea el semiplano abierto: yy >> 00 Sabemos, del ejercicio anterior que:Sabemos, del ejercicio anterior que: zz == xx iiyy……II^ yy ffzz^ == zz……IIII Reemplazando (I) en (II):Reemplazando (I) en (II):
ffzz == zz
== xxiiyy
== xiyxiyxiyxiy == xx
iiyy
i2i2xyxy == xx
yy
i2i2xyxy
Dándole forma aDándole forma a
ffzz
para que quede enpara que quede en función defunción de uux,x,yy
yy vvx,x,yy
:: uu == uux,x,yy == xx^ yy vv == vvx,x,yy == 2xy2xy
DespejandoDespejando xx de lade la ecuación deecuación de vv::
vv == vvx,x,yy == 2xy2xy →→ xx == vv 2y2y
ReemplazandoReemplazando xx^ enen uu::
uu == uux,x,yy == xx yy →→ uu == 2yvv2y yy →→ uu == vv 4y4y yy DespejandoDespejando vv::
uu ==
vv 4y4y^ 4y
4y 4y4y^ →→^ u4yu4y
(^) == vv (^) 4y4y (^) →→ vv (^) == 4y4y (^) uu44yy (^) == 4y4yyy (^) uu
→→ vv^ == 4y4yuyuy
Dándole forma de parábolaDándole forma de parábola yykk^ == 4p4pxxhh
→→ vv kk^ == 4y4yuyuy
Dónde:Dónde: hh == yy kk == 00 pp == yy
con vértice:con vértice:
VV == yy,,00
Dado queDado que yy::
yy >> 00
Entendemos que la imagen es unEntendemos que la imagen es un conjunto de parábolas de vérticeconjunto de parábolas de vértice VV == yy,,00;; pp == yy^ concon y:y: yy >> 00 Así:Así: yy >> 00 →→ yy^ >> 00 →→ yy^ << 00 Esto indica que el vérticeEsto indica que el vértice VV^ se ubicará en el eje U en losse ubicará en el eje U en los valores negativos hasta el infinitovalores negativos hasta el infinito negativo.negativo.
Gráfica:Gráfica:
PROBLEMA 5PROBLEMA 5
SiSi
demostrardemostrar queque laslas curvascurvas
yy^ ,, == , Son ortogonales en todo punto donde f, Son ortogonales en todo punto donde f ,, ==
sea derivable con derivada distinta de 0. Visualizar el resultado utilizandosea derivable con derivada distinta de 0. Visualizar el resultado utilizando funcionesfunciones complejascomplejas derivablesderivables dede modomodo queque seasea fácilfácil obtenerobtener representaciones geométricas de las curvas en cuestión (Sugerencia:representaciones geométricas de las curvas en cuestión (Sugerencia: calcular,calcular, enen unun puntopunto dede intersecciónintersección elel productoproducto escalarescalar dede loslos gradientes)gradientes)
SOLUCIÓN:SOLUCIÓN: Sabemos que:Sabemos que:
ff ′′ zz == ff ′′ xiyxiy == uu iviv == vv iuiu ≠≠ 00 Entonces tendremos 3 casos:Entonces tendremos 3 casos:
zz 11zz^ == x iy
x iy 11 xiyxiy^ ==^
xiyxiy 11xx^ 22xxyyii yy^ == xyi
xyi ..^ ^ 11xx^ 22xxyyii yy..^ ^
xyixyi11xx^ yy^ 2x2xyiyi 11 xx^ yy^ 4x4xyyii^ ==^
xx xx^ 33xxyy^ iiyy 3x3xyy yy 11xx^ yy^ 4x4xyy zz
11 zz
xx xx^ 33xxyy
11xx
yy
4x4x
yy
ii
y 3xy 3xyy yy
11xx
yy
4x4x
yy
Entonces:Entonces:
b)b) CalcularCalcular
(+(+√√)(+)(+√√))
√√++√√^
Sabemos que el módulo de un producto es igual al producto de sus módulos, entonces el módulo de unSabemos que el módulo de un producto es igual al producto de sus módulos, entonces el módulo de un cociente es el cociente de los módulos:cociente es el cociente de los módulos:
(2i(2i√√5)(1i5)(1i√√3)3)
√√55ii√√33
== 22^ ii√√51i51i√√33
√√55ii√√33 ==
√√99∗∗^ √√
√√88 ==
33 ∗∗√√64^64
33 ∗∗√√64^64
c)c) Calcular los números complejos z tales queCalcular los números complejos z tales que ^ ==^
−−−− ++++ I)I) Es un número real;Es un número real;
II)II) Tiene módulo 1.Tiene módulo 1.
Sea:Sea:
zz == xx iyiy
,,
xx ee yy ∈∈ ℝℝ
..
ww == zz1zz111 iiii == xxiiyyxxiiyy 11ii11ii == xxxx 11i11iiyy11iyy11
((xx11 iiyy11)).(.( )) xx11 iiyy11 .(.( ))
xx^ iixx 11iiyy iiyyyy^ iixx xx11^ iiyy11
ww == xx^ yy^ 22 ii2y2x2y2x xx11^ yy11
Re(w)=Re(w)=
++−− ++++++^ ee^ Im(w)Im(w) ==^
−− ++++++
I)I) ww eses unun númeronúmero realreal sisi yy solosolo si:si: 2y2y == 2x2x ,, xx ≠≠ 1
,, yy ≠≠ 1
Re(Re(
̅̅ ++)=)=^
++−− ++−−++^ ee^ Im(Im(^
̅̅ ++):):^
−−−−++ ++−−++
yy == xx ≠≠ 11 yy zz ≠≠ 11ii
II)II) Si:Si: ww ==
−−−− ++++
Entonces para queEntonces para que |||| == 11 , se debe cumplir, se debe cumplir que:que:
||zz 11 ii|| == ||zz11 ii|| →→ ||xx iiyy 11ii|| == ||xxiiyy11 ii|| →→ xx11^ yy11^ == xx11^ yy11
PROBLEMA 9PROBLEMA 9
9.1 Demuestra la llamada “Igualdad del paralelogramo”:9.1 Demuestra la llamada “Igualdad del paralelogramo”:
|| ||^ ||||^ == ||||^ |||| ,, ∈∈ ℂℂ
Y explica su sigY explica su significado geométrico.nificado geométrico.
9.2 Dados dos números9.2 Dados dos números complejoscomplejos
yy
, calcula el mínimo valor para, calcula el mínimo valor para
dede lala cantidadcantidad
(Sugerencia:(Sugerencia: LaLa igualdadigualdad deldel paralelogramo puede ser útil)paralelogramo puede ser útil)
SOLUCIÓNSOLUCIÓN 9.1 Debemos demostrar9.1 Debemos demostrar || ||^ || ||^ == 22||||^ |||| ,, ∈∈ ℂℂ
HallamosHallamos || || Sabemos por propiedad queSabemos por propiedad que ||||^ == ..
EntoncesEntonces
También sTambién se sabee sabe queque la propiedadla propiedad EntoncesEntonces (^) || || |||| == == ..̅̅ || ||^ == .̅..̅. .̅.̅ .. || ||^ == ||||^ ||||^ .. .. || ||^ == ||||^ ||||^ .. ..
Por propiedadPor propiedad ==
LuegoLuego || ||^ == ||||^ ||||^ 22..………1………1
De igual manera hallamosDe igual manera hallamos || || Sabemos por propiedad queSabemos por propiedad que
== ..
EntoncesEntonces || || También seTambién se sabesabe que la==que la propiedad ..propiedad (^) |||| == EntoncesEntonces || ||^ == ..̅̅
→→ xxyy == 00
|| ||^ || ||^ ==
22||22^ ^ ||
22||^ ||
|| ||^ || ||^ == 2 2
1122|| ||
Deducimos queDeducimos que
Para todoPara todo (^) ∈∈ ℂℂ y la igualdad solo se da siy la igualdad solo se da si (^) == ++ ..
PROBLEMA 11PROBLEMA 11
SOLUCIÓNSOLUCIÓN
Se cumple la fórmula deSe cumple la fórmula de Moivre, por consiguiente para todoMoivre, por consiguiente para todo (^) z = a + biz = a + bi yy (^) nn entero positivoentero positivo
aa bbii^ == rrnθinθnθinθ
Calculamos el modulo y elCalculamos el modulo y el argumento:argumento:
rr == ||zz|| == 11^ 11^ == √√2 2 yy θθ == arctanarctan11^ == ΠΠ 44
Luego:Luego:
11 ii
44 ii
11 ii^ == √√22 44 √√ ii√√
11 ii^ == √√
22 ii√√
22
11 ii^ == 22^ i2i2
∴∴ 11 ii^ == 40964096 i4096i
rr == ||zz|| == √√
11^ == 22 yy θθ == ararctanctan
Luego:Luego:
√√33 ii^ == 2237Π
66 ii37Π
√√33 ii^ == 22√√ ii
√√33 ii^ == 22
22 ii
22
((√√33 ii)) == 22√√3i23i2
∴∴ √√33 ii ≈≈ 22 11.7.733 ii
cc √√
Sea:Sea: zz == 1 ii√√ 1i1i
Entonces le multiplicaEntonces le multiplicamos por la conjugada de (-1 + i)mos por la conjugada de (-1 + i) al numerador y denoal numerador y denominador:minador:
zz == 11ii√√331i1i ..1i1i1i1i == 11 √√33 ((11√√3)i 22 3)i
zz == √√331122 ((√√31)i
31)i 22
rr == ||zz|| == √√
((√√31)
== √√2 2 yy θθ == arctanarctan((√√31)i
31)i 22 √√33 22
Entonces:Entonces: θθ == 5Π5Π 1212
== 11 8811ccooss cocoss cocoss44 == 8 8cocoss^ 88ccooss^ ⁂⁂Queda Demostrado la igualdad deQueda Demostrado la igualdad de cos4cos4
CC)) == ^
ccooss ssiinn
== coscos55 isiisinn55
************ (( 1)1)
== ccosos^ 55ccoosssisinn 10 10icicosossinsin^ 1100ccoosssinsin^ 55ccoossssiinn^ ssiinn
⁂⁂Igualando 1 y 2Igualando 1 y 2 ************ (( 2)2) La parte real con la parte real y la parte imaginaria con la parte imaginariaLa parte real con la parte real y la parte imaginaria con la parte imaginaria isisinin55 == 5 5cocosssinsin++10icos10icossinsin^ ssiinn sisinn55 == 55cocosssinsin++10cos10cossinsin^ ssiinn == 5511ssiinnsinsin++101sin101sin sisinn^ sinsin ssiinn55 == 55ssiinn 2200ssiinn^ 1166ssiinn
⁂⁂Queda Demostrado la igualdad deQueda Demostrado la igualdad de sin5sin5
PROBLEMA 13PROBLEMA 13
SOLUCIÓNSOLUCIÓN
a).a).
Si:Si:
== coscos ssiinn
…(i)…(i)
Llamemos “S” a toda la serieLlamemos “S” a toda la serie
S=S= 11 ^ ^ ⋯⋯−−
FactorizandoFactorizando """"
S=S= 11 11 ^ ^ ⋯⋯−−^ −−
S=S= 11 11 ^ ^ ⋯⋯−−^ ×× −−
Nos damos cuenta que la operación del corchete es igual a la operación inicialNos damos cuenta que la operación del corchete es igual a la operación inicial S , entonces loS , entonces lo
reemplazamosreemplazamos
S=S=
11
++ Factorizando y despejando todo en función de S quedaría:Factorizando y despejando todo en función de S quedaría:−−
−−^ …(ii)…(ii)
Reemplazamos la ecuación (i) en (ii) y se obtieneReemplazamos la ecuación (i) en (ii) y se obtiene
11 ccosos22 sinsin22
−−
11 ccosos22 sisinn22
Aplicaremos el Teorema de MoivAplicaremos el Teorema de Moivre que nos dice:re que nos dice:
ccooss ssiinnEs un valor deEs un valor de coscossinsin
Entonces nos queda queEntonces nos queda que
11 ccosos22^ 11 sin sin22^ 11
11 ccosos22 sin sin22
Aplicaremos la fórmula de Euler queAplicaremos la fórmula de Euler que nos dice:nos dice:
^ == ccooss ssiinn
Entonces nos queda que la respuesta es:Entonces nos queda que la respuesta es:
−−
11
b).b).
Si:Si: == coscos ssiinn …(i)…(i)
Llamemos “Q” a toda la serieLlamemos “Q” a toda la serie
== 11^ ^ ⋯⋯ 11−−−−
Ya que se trata de una suma y resta de operaciones, daremos la forma para que al operar noYa que se trata de una suma y resta de operaciones, daremos la forma para que al operar no
afecte en ningún momento el signoafecte en ningún momento el signo y factorizamos ely factorizamos el """"
== 1111111111−−^ 11^ ⋯⋯11−−−−^ 11−−−−
== 1 11111 11−−^ 11^ ⋯⋯11−−−−
== 1 11111 11−−^ 11^ ⋯⋯11−−−− 11−−−−
AhoraAhora comocomo enen elel CASOCASO a),a), nosnos damosdamos cuentacuenta queque lala operaciónoperación deldel corchetecorchete eses igualigual aa lala
operación inicial Q ,operación inicial Q , entonces lo reemplazamosentonces lo reemplazamos
== 1 111 11−−−−
El área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de dos ladosEl área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo que fpor el seno del ángulo que forman. Pongamosorman. Pongamos == ,, == .. ComoComo == argarg = arg = arg,, tenemos que:tenemos que:
áá ==
22||||||||coscos^ ^ ==^
PROBLEMA 23PROBLEMA 23
a) Pruebe que las coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann sea) Pruebe que las coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se
escriben comoescriben como
==^
yy^
==^
..
b) Pruebe que en notación compleja las ecuaciones de Cauchy-Riemann seb) Pruebe que en notación compleja las ecuaciones de Cauchy-Riemann se
escribenescriben
..
SOLUCIÓNSOLUCIÓN
a)a) SeaSea ff :: DD unauna funciónfunción analítica,analítica, entonces:entonces:
f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)
rr== ^
x=rcosθx=rcosθ
y=rsenθy=rsenθ
θ=θ=
tantan
−−
Sabemos:Sabemos:
==^
…(1)…(1)
==^
……(2)(2)
…(…(3)3)
==^
…(4)…(4)
Hallando las derivadas:Hallando las derivadas:
== 1122^ 22^ ==^
22 22 = =
== 1122^ 22^ ==^
22 22 = =
==
11
11
1
==
^ ^ ==
^ ==
== 11 11
11^ ==^ 11
^ ^ ==^
^ ==^
En (1), (2), (3), (4):En (1), (2), (3), (4):
==^
==^
^
==^
^
De las ecuaciones de CauchyDe las ecuaciones de Cauchy – – Riemann:Riemann:
==^
Reemplazando:Reemplazando:
== ^
…… (I)(I)
==^ ……^ (I)(I)
==^ ^
==^ ……^ (II)(II)
SumandoSumando (I) y (II):(I) y (II):
Se sabe:Se sabe:
Y en el problema:Y en el problema:
