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Propiedades de los Números Complejos: Demostraciones y Ejercicios, Ejercicios de Matemáticas

Universidad del CaucaMatemáticas

Demostración de algunas propiedades de los números complejos

Tipo: Ejercicios

2020/2021

Subido el 15/03/2021

if-int
if-int 🇨🇴

5

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bg1
𝑆𝑒𝑎 𝒛 =𝒂 + 𝒊𝒃 𝑦 𝒘 =𝒙 + 𝒊𝒚 , 𝑦 𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝒛
=𝒂−𝒊𝒃 𝑦 𝒘
=𝒙−𝒊𝒚.
1. ℝ𝒆 𝒛 =𝟏
𝟐(𝒛+𝒛
)
1. ℝ𝒆 𝒛 =𝑎
2. 𝟏
𝟐(𝒛+𝒛)=1
2((𝑎+𝑖𝑏)+(𝑎−𝑖𝑏))
=𝟏
𝟐(𝑎+𝑖𝑏+𝑎−𝑖𝑏)
= 1
2(2𝑎)
=𝑎
∴ Por 1 y 2, ℝ𝑒 𝑧 =1
2(𝑧+𝑧)
2. 𝑰𝒎 𝒛 = 𝟏
𝟐𝒊(𝒛−𝒛
)
1.𝕀𝒎 𝒛 =𝑏
2.𝟏
𝟐𝒊(𝒛−𝒛
)=1
2𝑖 ((𝑎+𝑖𝑏)−(𝑎−𝑖𝑏))
=1
2𝑖(𝑎+𝑖𝑏−𝑎+𝑖𝑏)
=1
2𝑖(𝑖𝑏+𝑖𝑏)
=1
2𝑖(𝑖(2𝑏)
=𝑏
∴ Por 1 y 2, 𝕀𝑚 𝑧 = 1
2𝑖(𝑧−𝑧)
3. 𝒛+𝒘
=𝒛
+𝒘
𝒛+𝒘
=(𝑎+𝑖𝑏)+(𝑥+𝑖𝑦)
= 𝑎 + 𝑖𝑏+𝑥+𝑖𝑦
=(𝑎+𝑥)+(𝑖𝑏+𝑖𝑦)
=(𝑎+𝑥)+𝑖(𝑏+𝑦)
pf3
pf4
pf5

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¡Descarga Propiedades de los Números Complejos: Demostraciones y Ejercicios y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

∴ Por 1 y 2, ℝ𝑒 𝑧 = 12 (𝑧 + 𝑧̅)

2. 𝟐𝒊𝟏 (𝒛 − 𝒛̅)= 2𝑖^1 ((𝑎 + 𝑖𝑏) − (𝑎 − 𝑖𝑏))

= 2𝑖^1 (𝑎 + 𝑖𝑏 − 𝑎 + 𝑖𝑏)

= 2𝑖^1 (𝑖𝑏 + 𝑖𝑏)

= 2𝑖^1 (𝑖(2𝑏)

∴ Por 1 y 2, 𝕀𝑚 𝑧 = (^) 2𝑖^1 (𝑧 − 𝑧̅)

= (𝑎𝑥 + 𝑖𝑎𝑦) + (𝑖𝑏𝑥 + (𝑖^2 𝑏𝑦))̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

|𝑎| ≤ |𝑎 + 𝑖𝑏| ↔ |𝑎|^2 ≤ |𝑎 + 𝑖𝑏|^2 ↔ (√𝑎^2 )

2 ≤ (√𝑎^2 + 𝑏^2 )

2 ↔ 𝑎^2 ≤ 𝑎^2 + 𝑏^2 ↔ 𝑎^2 − 𝑎^2 ≤ 𝑏^2 ↔ 0 ≤ 𝑏^2

|𝑏| ≤ |𝑎 + 𝑖𝑏| ↔ |𝑏|^2 ≤ |𝑎 + 𝑖𝑏|^2 ↔ (√𝑏^2 )

2 ≤ (√𝑎^2 + 𝑏^2 )

2 ↔ 𝑏^2 ≤ 𝑎^2 + 𝑏^2 ↔ 𝑏^2 − 𝑏^2 ≤ 𝑎^2 ↔ 0 ≤ 𝑎^2

√𝑎^2 = |𝑎| Propiedad del valor absoluto Puedo elevar al cuadro por ser números reales (en el valor absoluto y en el módulo).

= √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦)^2 + (𝑎𝑦 − 𝑏𝑥)^2

= √(𝑎^2 𝑥^2 − 2𝑎𝑥𝑏𝑦 + 𝑏^2 𝑦^2 ) + (𝑎^2 𝑦^2 + +2𝑎𝑦𝑏𝑥 + 𝑏^2 𝑥^2 )

= √𝑎^2 𝑥^2 − 2𝑎𝑥𝑏𝑦 + 𝑏^2 𝑦^2 + 𝑎^2 𝑦^2 + 2𝑎𝑦𝑏𝑥 + 𝑏^2 𝑥^2

= √𝑎^2 𝑥^2 + 𝑏^2 𝑦^2 + 𝑎^2 𝑦^2 + 𝑏^2 𝑥^2

= √𝑎^2 (𝑥^2 + 𝑦^2 )+𝑏^2 (𝑦^2 + 𝑥^2 )

= √(𝑎^2 + 𝑏^2 ) (𝑥^2 + 𝑦^2 ) (^) √𝑘𝑡 = √𝑘√𝑦 donde k, t ∈ ℝe

= √(𝑎^2 + 𝑏^2 ) √(𝑥^2 + 𝑦^2 )

= |𝑧||𝑤|

|𝒛||𝒘| = √(𝑎^2 + 𝑏^2 ) √(𝑥^2 + 𝑦^2 )

= √(𝑎^2 + 𝑏^2 ) (𝑥^2 + 𝑦^2 )

= √𝑎^2 𝑥^2 + 𝑎^2 𝑦^2 +𝑏^2 𝑥^2 + 𝑏^2 𝑦^2

= √𝑎^2 𝑥^2 + 𝑎^2 𝑦^2 + 𝑏^2 𝑥^2 + 𝑏^2 𝑦^2 − 2𝑎𝑥𝑏𝑦 + 2𝑎𝑥𝑏𝑥

= √𝑎^2 𝑥^2 − 2𝑎𝑥𝑏𝑦 + 𝑏^2 𝑦^2 +𝑎^2 𝑦^2 + 2𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑏^2 𝑦^2

= √(𝑎^2 𝑥^2 − 2𝑎𝑥𝑏𝑦 + 𝑏^2 𝑦^2 ) + (𝑎^2 𝑦^2 + 2𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑏^2 𝑦^2 )

= √(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦)^2 + (𝑎𝑦 − 𝑏𝑥)^2