Ampliación de Conjuntos Numéricos y Numeros Complejos, Apuntes de Álgebra

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Algebra´

Clase 0

CURSO 2014-

N´umeros Complejos

Conjuntos num´ericos

N = { 1 , 2 , 3 , ...}: n´umeros naturales (sin el cero). N∗^ = { 0 , 1 , 2 , 3 , ...}: n´umeros naturales con el cero. Z = {..., − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}: n´umeros enteros. Q = {p/q; p, q ∈ Z, q 6 = 0}: n´umeros racionales. R: n´umeros reales.

Pero, cada uno de estos conjuntos num´ericos no alcanza por s´ı

mismo, para dar soluci´on a todas las ecuaciones polin´omicas

con coeficientes propios. De hecho, la aparici´on de estos

conjuntos es paulatina, cada uno contiene al anterior y

obedece, parcialmente, a la necesidad de resolver ecuaciones.

Ampliaci´on parcial del campo num´erico Q

La ecuaci´on x^2 − 2 = 0, no tiene soluci´on en Q. La hallamos en el conjunto

Q +

2 Q := {a + b

2 , a, b ∈ Q}

donde ±

2 son las dos soluciones posibles. Las leyes algebraicas en Q +

2 Q son:

(a + b

2. • (c + d

2. = (a + c +

2(b + d)

(a + b

2. ∗ (c + d

2. = ac + 2bd +

2(ad + bc)

Otras ampliaciones del campo num´erico Q

Sea N un entero positivo que no es cuadrado perfecto (No existe un n´umero racional r tal que r^2 = N ). Entonces la ecuaci´on x^2 − N = 0, no tiene soluci´on en Q. Ampliamos Q considerando el conjunto Q + Q

N = {a + b

N , a, b ∈ Q} para garantizar soluci´on.

El s´ımbolo

N representa una de las dos ra´ıces o soluciones

de la ecuaci´on x^2 − N = 0.

La ampliaci´on siguiente es R

Para construir R nos basta agregar los n´umeros irracionales a los racionales, pero ¿qu´e es realmente un n´umero irracional? Decimos que un n´umero irracional es un n´umero real que no es racional. Es bastante f´acil demostrar que

√ 2 no es racional, y por tanto es irracional. En t´erminos estrictamente culturales parece que hemos dado un paso de avance, pero a´un es insuficiente en el ´ambito t´ecnico. Un dato importante es que el desarrollo decimal de un n´umero irracional posee infinitos d´ıgitos no nulos y adem´as, esta cadena infinita no es peri´odica. En cierto sentido que ahora no podemos aclarar, hay m´as irracionales que racionales. Adem´as, los primeros se subdividen en dos grandes conjuntos: los n´umeros algebraicos, aquellos que son soluci´on de alg´un polinomio de coeficientes racionales, y los que no lo son, es decir, los n´umeros trascendentes.(∗

(*) Es frecuente incluir en el conjunto de n´umeros algebraicos a todos los que son ra´ız de alg´un polinomio de coeficientes racionales, lo cual incluye a los racionales.

Ejemplos

N´umeros irracionales algebraicos son

√ 2 , 4

√ 3 y 3

√ 5 , pues ´estos son ra´ıces de x^2 − 2 = 0, x^4 − 3 = 0 y x^3 − 5 = 0, respectivamente. Queda claro que son algebraicos, pero habr´ıa que demostrar en cada caso que son realmente irracionales, algo que de momento podemos aceptar.

El n´umero π y la constante e, que es la base de los logaritmos neperianos (constante de Neper), son ejemplos de n´umeros trascendentes. Es bastante f´acil comprobar que si t es trascendente entonces cualquier m´ultiplo rt, con r 6 = 0, r ∈ Q, es tambi´en trascendente.

Como hecho curioso se˜nalemos que a´un no se sabe si la constante de Euler

γ = lim n

( 1 + 1 2 +

1 3 +

1 4 +^ · · ·^ +

1 n −^ ln(n)

) ,

es trascendente. En realidad, tampoco se sabe si es racional o irracional.

n´umero finito de d´ıgitos decimales. Cuando ´estas realizan c´alculos aritm´eticos acortan esas cadenas de d´ıgitos, lo cual produce errores en el resultado final. La pregunta que siempre nos haremos es ¿cu´antos d´ıgitos significativos necesitamos?, o lo que es lo mismo, ¿qu´e precisi´on se exige? Si en un examen representamos la respuesta de un problema como 0 , 6 en lugar de 2 / 3 , estamos perdiendo in´utilmente informaci´on. ¿Por qu´e no 0 , 666666666666667 en lugar de 0 , 6? Acaso la pregunta especifica algo acerca de la precisi´on? Por defecto, en este caso se exige 2 / 6 .(∗ Si tenemos un dispositivo de c´alculo num´erico programable, hacemos lo siguiente: (I) r = 1. 2 , (II) r = (r + 2/r) ∗ 0. 5 Repetir reiteradamente la instrucci´on (II) y ver lo r´apido que r se aproxima a √

2. Para comprobar cuantitativamente la calidad de la aproximaci´on hacer

√ |r^2 − 2 | en cada paso. (*) No se permiten calculadoras en los ex´amenes de ´Algebra.

Hay ecuaciones con coeficientes reales sin soluci´on en R

La ecuaci´on 4

√ 7 x^3 +

√ 2 = 0 es de coeficientes reales (irracionales) y tiene como ´unica soluci´on el n´umero real x = − 3

√√ 2 / 4

√

Sin embargo, para resolver una ecuaci´on aparentemente simple como

x^2 + 1 = 0

tenemos que construir los n´umeros complejos:

C = {a + b i; a, b ∈ R}

donde i es la unidad imaginaria que cumple: i^2 = − 1 , y por tanto es una de las dos ra´ıces de x^2 + 1 = 0. La otra raiz es −i.

F´ormulas para las ra´ıces

En la pr´actica s´olo se utilizan las f´ormulas para n = 1, 2 , a saber: Si la ecuaci´on es ax + b = 0, entonces

x = −b/a.

Si ax^2 + bx + c = 0, entonces

x =

−b ±

b^2 − 4 ac 2 a

Si n = 3 o n = 4 las f´ormulas no s´olo son muy complicadas,

dadas en t´erminos de radicales, sino que adem´as son

inadecuadas para el c´alculo num´erico.

Naturaleza de las ra´ıces

Sea ax + b = 0, a, b ∈ R, a 6 = 0. La ´unica ra´ız es real: x = −b/a ∈ R. Sea ax^2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R y a 6 = 0. Sea ∆ = b^2 − 4 ac. Entonces tiene lugar lo que sigue:

• Si ∆ > 0 entonces la ecuaci´on tiene dos ra´ıces reales diferentes.
• Si ∆ = 0 entonces la ecuaci´on tiene una ra´ız real doble.
• Si ∆ < 0 entonces la ecuaci´on tiene dos ra´ıces complejas conjugadas.

Infinitos argumentos

Basta notar que

ρ cis(θ) = ρ cis(θ + 2kπ)

siendo k ∈ Z arbitrario.

Convenio: Si z = ρ cis(θ), 0 ≤ θ < 2 π, entonces

arg(z) = θ + 2kπ, k ∈ Z

Arg(z) = θ.

Arg(z) es el argumento principal de z.

Representaci´on geom´etrica

Representaci´on geom´etrica

Ejercicios (se˜nalar en un gr´afico)

Ejercicio 1. Si z = 8i, comprobar que

z = 8 cis(π/2 + 2kπ), k ∈ Z.

Ejercicio 2. Si z = 3 − 3 i, comprobar que

z = 3

2 cis(7π/4 + 2kπ), k ∈ Z

Ejercicio 3. Si z = 6 cis(π/3 + 2kπ), k ∈ Z, comprobar que z = 3 + 3

3 i.