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En el capítulo de Números Reales vimos que es la unión entre el conjunto de números racionales e
irracionales. También vimos que existen operaciones que no pueden realizarse en el conjunto de números Reales:
a) Dividir por cero: veremos cómo se soluciona esto en análisis Matemático. b) Extraer la raíz cuadrada de un número negativo.
A mediados del año 1500 matemáticos italianos dan solución a ecuaciones que generaron raíces cuadradas de números negativos, que no la poseían en el campo real, y fueron llamados números imaginarios. Los números imaginarios junto con los reales constituyen el conjunto de los números complejos.
NÚMEROS COMPLEJOS: ¿En qué se aplican?
Los números complejos, siendo como son una construcción de la mente del hombre, no son la
representación de fenómenos reales propiamente dichos; pero se han convertido en una ayuda para
solucionar problemas de navegación, electrónica, astronomía,… y en la solución de sistemas dinámicos, cuyo modelo es una ecuación de grado mayor o igual a dos, que tenga una solución imaginaria.
Normalmente en el campo de la física y la ingeniería nos encontramos con la necesidad de plantear
y solucionar ecuaciones enteras de segundo grado, que describen fenómenos físicos como el movimiento
armónico, la resonancia eléctrica y la resonancia de la naturaleza. Algunas tienen solución en los reales,
porque el discriminante es mayor o igual a cero, pero otras no. Las que no tienen solución dentro del
conjunto de los números reales sí la tienen dentro del conjunto de los números complejos, expresada en
términos de i, donde i = √.
Además, dentro de la matemática (en álgebra), cuando se quiere dar solución a ecuaciones de la forma x
- 4 = 0, necesitamos extender nuestro concepto de número más allá de los números reales.
Definiciones
Todo comienza al resolver ecuaciones del tipo: x^2 + 1 = 0 x = √.
En el conjunto de los números reales, los números negativos no tienen raíces cuadradas
(√ √ √ , ya que no existe ningún número real que elevado a un exponente par dé por
resultado un número negativo. Los números complejos nacen del deseo de dar validez a estas expresiones. Para ello es necesario
admitir como válido a √ y a todos los que obtengan al operar con él como si se tratara de un
número más.
Se define entonces un nuevo número, llamado i , cuyo cuadrado es igual a -1.
Podemos afirmar, entonces:
a) (^) √ √ √ ⏟√ b) (^) √ √ √ √⏟ (^) √
i = √ o i^2 = - 1
Se denomina así a los números de la forma bi donde b es un número real.
Son números imaginarios puros : 2i; -4i; i; √ i
Los números imaginarios son todos los números de la forma bi , donde b es un número real e i
es la unidad imaginaria, con la propiedad de que i^2 = - 1.
Entonces podemos pensar que existen tantos números imaginarios como números reales.
Operaciones con números imaginarios:
Los números imaginarios se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir entre sí:
Ejemplos:
Las sucesivas categorías de números (naturales, enteros, racionales,…) se pueden representar sobre la recta. Los reales la llenan por completo, de modo que a cada número real le corresponde un punto en la recta y cada punto, un número real. Por eso hablamos de recta real. Luego los podemos representar sobre una recta. De la misma manera a los imaginarios también podemos representarlos sobre una recta. También teniendo en cuenta que cero es elemento absorbente para la multiplicación podemos deducir que cero es imaginario El cero es el único elemento que tienen en común los Reales y los imaginarios El modelo matemático que tiene esas características son los ejes cartesianos. Los Reales se representan en el eje horizontal y a los imaginarios sobre el eje vertical. Todos los demás
puntos del plano tienen dos componentes no nulas.
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el eje Y , eje
imaginario. Entonces, para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano,
pasando así de la recta real al plano complejo.
El número complejo cuya componente real es a y cuya componente imaginaria es b se representa
mediante un vector de origen (0,0) y extremo (a,b). Los números Complejos tienen, entonces, carácter
vectorial.
Definición:
El conjunto de todos los números complejos se designa por C
C = {^ }
Los números reales son complejos: C (los Reales están incluidos en los Complejos)
Los números reales son complejos cuya parte imaginaria es cero : a + 0i = a
Los números imaginarios puros son complejos: Los números imaginarios puros son complejos cuya parte real es cero:
Complejos especiales:
Opuesto de un número complejo
z =a + bi -z = -a - bi , llamado complejo opuesto de z
Conjugado de un número complejo
z =a + bi ̅ = a - bi , llamado complejo conjugado de z
Las operaciones con los números complejos en forma binómica se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales y teniendo en cuenta que i^2 = -1.
SUMA : La suma de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.
Sean los números complejos Z = a + bi, W = c + di
Se define: Z + W = (a + c) + (b + d) i
RESTA : La resta de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la resta de las partes reales y cuya parte imaginaria es la resta de las partes imaginarias.
Sean los números complejos Z = a + bi, W = c + di
Se define: Z – W = (a - c) + (b - d) i
MULTIPLICACIÓN
a) Multiplicación por un escalar:
Sea el escalar k y el número complejo Z = a + bi, se define el producto como:
k.z = k.(a + bi) = ka + kbi Propiedad distributiva.
b) Multiplicación de números complejos:
Sean los números complejos Z = a + bi, W = c + di, se define el producto como:
Z .W = (a + bi).( c + di) = ac + bi. c + a. di + bi. di = ac + bc i + ad i + bd i^2 =
= ac + (bc + ad)i + bd.(-1) = ac + (bc + ad)i – bd =
= (ac – bd) ; (bc + ad)i Propiedad distributiva y asociativa
Potencias de i
i^0 = 1 i^1 = i i^2 = (√ ) = - 1 i^3 = i^2. i = - 1. i = - i
i^4 = i^3. i = - i. i = - i^2 = - (-1) = 1 i^5 = i i^6 = - 1 i^7 = - i
Los resultados de las potencias de i: 1, i, -1 y – i; se repiten periódicamente por lo que deberían
memorizarse. ¿Cómo hallar el valor de in?
Cuadrado de un número Complejo : (se aplica cuadrado del binomio)
Cubo de un número Complejo: (se aplica cubo del binomio)
DIVISIÓN
Para dividir números complejos, multiplicamos por 1 utilizando las mismas técnicas que cuando
racionalizamos un denominador con dos términos. Al elegir una expresión que represente al 1, utilizamos
el conjugado del denominador.
La suma de números complejos cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El cero es el elemento neutro de la suma. Todos los números complejos tienen un opuesto. La multiplicación de un número complejo es, también, asociativa y conmutativa. El 1 es el elemento neutro del producto.
Todos los números complejos, a + bi, salvo el 0, tienen un inverso :. Además la
multiplicación es distributiva respecto de la suma.
Con todas estas propiedades nos dicen que podemos operar con los complejos de la misma forma que
con los Reales.
DIVISIÓN
ara dividir números complejos, multiplicamos por 1 utilizando las mismas técnicas que cuando
racionalizamos un denominador con dos términos. Al elegir una expresión que represente al 1, utilizamos el conjugado del denominador.
Pasaje de forma binómica a forma polar
Dado el complejo Z = (a; b) = a+ bi, de acuerdo a la figura:
cos ̂ = a = r cos ̂ (I)
sen ̂ = b = r sen ̂ (II)
Reemplazando (I) y (II) en la forma binómica: Z = a + bi
Z = r. cos ̂ + r. sen ̂ i Z = r (cos ̂ + i sen ̂ )
Pasaje de forma polar a forma binómica
Z = (a + bi)
Par ordenado o Cartesiana Z = (a ; b)
Binómica Z = a + bi
Polar Z = r ⌊
Trigonométrica Z = r ( cos + i sen )
Ecuaciones con coeficientes reales y solución compleja
Existen ecuaciones con coeficientes reales cuya solución es la raíz de índice par de un número negativo. Dichas ecuaciones no tienen solución en el conjunto de los números reales, pero sí en el de los complejos. Las soluciones complejas de una ecuación cuadrática con coeficientes reales son complejos conjugados.
Para verificar una solución compleja, se procede de igual manera que para las soluciones reales.
Para hallar una ecuación cuadrática, dadas sus soluciones complejas, se aplica el mismo procedimiento
que con soluciones reales:
[ ] [ ]
Aplicando propiedad distributiva se obtiene la ecuación
Ecuaciones con números complejos
Las ecuaciones con números complejos deben resolverse aplicando las operaciones y propiedades de los
mismos.
3z + 8 – zi = 4i z. (3 – i) = -8 + 4i z = z =
