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Práctico Nº 1
Números Complejos
1. Determinar si los números siguientes son complejos, ó imaginario puro ó real. En todos los casos indicar sus partes real: Re ( z ) e imaginaria: Im ( z ). a) b) -3,4 c) d) -4 i e) f) g) h) j) k) l) m) 2. Efectuar la operación y expresar el resultado en forma binómica a + bi , con a y b números reales: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) ll) m) n) ñ) o) p) q) r) s) 3. I) Representar gráficamente los siguientes números complejos y también el opuesto, el conjugado y el conjugado del opuesto de cada uno: a) b) c) -4 d) II)¿Qué relación geométrica tienen con respecto a z los números? 4. Demostrar las siguientes propiedades de los números complejos, siendo y números complejos cualesquiera con a , b , c y d reales: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 5. Resolver los siguientes problemas: a) Un número complejo cuya parte real coincide con la parte imaginaria, tiene módulo 2. ¿Cuál es el número? b) La parte real es el doble de la parte imaginaria y la suma de tales partes es 6, ¿Cuál es el
complejo? c) La suma de dos complejos conjugados es 18 y la diferencia es 4i, ¿cuáles son dichos complejos? d) El producto de un complejo con su conjugado es 80. Si la componente real es 4, ¿cuál es la componente imaginaria?
6. Determinar el valor de x , para que : a) sea un número real. b) sea un número imaginario puro. c) tenga módulo igual a. 7. Demostrar que: si , entonces 8. Representar los siguientes números complejos en el plano; expresarlos en forma trigonométrica (o polar) y también exponencial, con.
a) b) c)
d) 7 e) f)
g) h) i)
9. Expresar los siguientes números complejos en la forma canónica (o binómica): a) b) c) d) e) f) 10. Expresar en la forma trigonométrica y para calcular y. Escribir el resultado de la operación en forma polar y en forma canónica. a) b) c) 11. Resolver usando el teorema de De Moivre, expresar el resultado en forma polar y binómica. Graficar el resultado en coordenadas polares con (^) y también en coordenadas rectangulares. a) b) c) d)
Para Física e Ingeniería Electrónica:
1. Un estudiante de ingeniería electrónica se interesó en conocer el funcionamiento de las computadoras en cuanto a cómo pueden mostrar un reloj de agujas en la pantalla. Investigando, descubrió que el reloj podía ser representado en el plano cartesiano y que, para cada instante, la posición del minutero representa un número complejo. Por ejemplo, suponiendo que la aguja mide 1 (es decir, el módulo del número es 1), 0 minutos representa al número i, 15 minutos representa al número 1, 30 minutos representa al número - i, y - representa 45 minutos. a) ¿Por qué número complejo se debe multiplicar a i para pasar de 0 minutos a 15 minutos? ¿Y para pasar de 0 minutos 45 minutos? b) ¿Cuántos minutos después de cero están representados por los números complejos y? 2. La impedancia compleja de un circuito eléctrico constituido por un resistor R, un capacitador C y un inductor L conectados en serie está dada por la siguiente expresión: , donde j equivale a la unidad imaginaria i, R, L y C son constantes positivas para un circuito dado, y es una variable real y se le llama pulsación angular de la señal aplicada: a) Determine >0 tal que Im ( z ) = 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito se comporta como resistivo puro. b) Determine >0 tal que Im ( z ) > 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s comporta como inductivo. c) Determine >0 tal que Im ( z ) <0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s comporta como capacitivo. d) Determine >0 tal que Re ( z ) = Im ( z ). Nota: En electrónica se reemplaza la unidad imaginaria i por j , puesto que el símbolo i es empleado para denotar intensidad de corriente. 3. Los ingenieros electricistas utilizan con frecuencia la forma trigonométrica de los números complejos, para descubrir la intensidad de la corriente I , el voltaje V y la resistencia R de circuitos eléctricos con corriente alterna. La resistencia es la oposición al
paso de la corriente en un circuito. La relación entre esas tres cantidades es. Calcular en cada caso la cantidad desconocida: a) Determinación de Voltaje b) Determinación de Resistencia c) Módulo de la Resistencia : el módulo de resistencia representa la oposición total al flujo de corriente en un circuito, y se mide en ohms. Calcular , si. d) Voltaje real. La parte real de V representa el voltaje real entregado a un aparato eléctrico, en volts. Calcule aproximadamente ese voltaje cuando:
