FORMADOR: Reynaldo Saavedra Velásquez
GUÍA DE APRENDIZAJE N°03
Números Enteros
ÁREA
Resolución de Problemas Matemáticos I
Semana(s): 3
Fecha: 21 – 25 de junio 2021
EDUCACIÓN INICIAL
CICLO
2021- I
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Números enteros...................., Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas
............................................................
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2018/2019
1 / 9
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FORMADOR: Reynaldo Saavedra Velásquez
GUÍA DE APRENDIZAJE N°0 3
Números Enteros
ÁREA
Resolución de Problemas Matemáticos I
Semana(s): 3
Fecha: 21 – 25 de junio 2021
EDUCACIÓN INICIAL
CICLO
2021 - I
I. INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales
que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural
otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que
no tiene parte decimal.
Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la
representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o
deudas, entre otros.
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de
las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se
remonta a la antigüedad.El nombre de enteros se justifica porque estos números
ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no
divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos
europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y
Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución
de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida
previamente por los matemáticos de la India.
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad
adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el
banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que
hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: "30"
podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que "3" escrito con
tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
En fin, los números enteros, son cualquier elemento del conjunto formado por los
números naturales (N) y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se
designa por Z:
Z = {., - 11, - 10,., - 2, - 1, - 0, 1, 2,., 10, 11,.}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los
saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de
referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un
edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo.).Las operaciones suma,
resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su
resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo
se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
acerca de sus ganancias (cantidades positivas) o pérdidas
(cantidades negativas) mensuales, durante el año 2020.
MESES DEL
AÑO 2020
Tienda 1
(soles)
Tienda 2
(soles)
Tienda 3
(soles)
Tienda 4
(soles)
Tienda 5
(soles)
ENERO +1573 - 713 +618 +846 - 324
FEBRERO - 715 +1812 - 116 +1714 - 1804
MARZO +617 - 615 - 67 - 84 - 10
ABRIL +615 +819 - 129 +647 - 48
MAYO
JUNIO +916 - 105 - 437 +817 - 820
JULIO +715 +614 - 508 - 511 - 613
AGOSTO - 1607 +813 +101 +604 - 781
SETIEMBRE +1810 - 504 - 406 - 508 - 659
OCTUBRE
NOVIEMBRE +2315 +908 +213 +205 - 101
DICIEMBRE +7517 +6313 +102 +763 - 86
a) ¿Cuál o cuáles de las 5 tiendas deberían ser cerradas por sus pérdidas?
b) ¿Cuál de las 5 tiendas tuvo la mayor ganancia anual? ¿Cuál fue esta
ganancia?
c) ¿Tuvo la dueña ganancia o pérdida durante el mes de setiembre en todas sus
tiendas?
d) ¿Cuál de los 12 meses fue el más difícil? ¿Cuánto perdió? ¿Cuánto fue lo que
ganó?
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
En el Sistema de los Números Naturales, la suma y el producto siempre existen. En
cambio, la diferencia y el cociente de dos números naturales no siempre existen, por
ejemplo 2 – 3 ó 2/3 no son números naturales. En términos algebraicos, en es
imposible resolver ecuaciones como x+3=2 ó 3x=2.
Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los Números Naturales, a un
nuevo conjunto que contenga al de los números naturales y en el cual la suma, la
diferencia y el producto de dos elementos de este nuevo conjunto,
sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto es el de los números enteros.
Muchas veces sentimos el ascenso o descenso de la temperatura; si en Lima
estamos a una temperatura de 23°C en la mañana y por la tarde aumenta en
5°C, tendremos una temperatura de 28°C; pero si en lugar de aumentar
disminuye 5°C, estaremos a 18°C. ¿Qué sucede, si vamos a Cerro de Pasco
y el termómetro señala una temperatura de 6°C, a la medianoche y al
amanecer la radio nos anuncia que la temperatura ha descendido 10°C?¿Cuál
es la temperatura en ese instante?
En los negocios, si C=$100 es el costo de producir un objeto y V es el precio
de venta, ¿Cómo es la diferencia V-C? Si V=$115 entonces la diferencia V –
C = $115 - $100 = $15, que representa una ganancia, pero ¿qué pasa si V =
$85?; en este caso se suele decir que hay una pérdida de $15. ¿Cómo poder
diferenciar estos números: ganancia $15 y pérdida $15?
El Sistema de los Números Enteros se construye formalmente a partir de. Se
define en x una adecuada relación, de equivalencia, la cual determina un
nuevo conjunto llamado conjunto cociente. Como resultado de este proceso
queda definido el conjunto como conjunto cociente, y las operaciones de
adición y multiplicación de proveen dos operaciones en , con las cuales
satisface, entre otras, una propiedad importante, no válida en : “para todo
número entero a, existe otro número entero b, llamado el opuesto de a, tal que
a+b=0”. En este proceso, el símbolo + y el número entero 0, están relacionados
con la operación de adición en y el número entero 0.
Esta construcción nos permite relacionar con de manera que queda establecida
la inclusión y que las operaciones de , restringidas a , coinciden con la
operaciones de.
El desarrollo de esta construcción de no es posible realizarlo en estas notas,
debido al grado de abstracción y a los prerrequisitos que necesitamos para tal efecto.
Consideramos por necesidad didáctica sin mucho sacrificio del rigor matemático,
presentar a como un conjunto que contiene a , previsto de dos operaciones:
Adición y multiplicación, y entre otras, con la propiedad especial que: para todo
a ( a ) 0
Ley de
cancelación
Si ac bc y c 0 a b
Distributividad
a b ( c ) ab ac , a b c , ,
Ley de Tricotomía
a se cumple una y solo una de las siguientes
posibilidades a
v a 0 v a
Relación entre y
, es decir todo número natural es un número entero
y las operaciones de son las restricciones de las
operaciones.
OBSERVACIÓN:
En lo que sigue utilizaremos las siguientes notaciones
Y
b / b a a ,
, es decir:
, y se llama el conjunto de los números enteros positivos.
, y se llama el conjunto de los números enteros negativos.
Luego por propiedad de tricotomía, si a
v a 0
v a
y en
consecuencia
TRANSFERENCIA
- Si Luis tuviera 17 soles menos, tendría 18 soles. Si Mario tuviera 15 soles
más, tendría 38 soles. Si Juan tuviera 5 soles menos, tendría 10 soles más
que Luis y Mario juntos. Si Darío tuviera 18 soles menos, tendría 9 soles más
que la diferencia entre la suma de lo que tienen Mario y Juan y lo que tiene
Luis. ¿Cuánto tienen en total los cuatro?
- Un capataz contrata un obrero ofreciéndole 70 soles por cada día que trabaje
y 40 soles por cada día que, por alguna razón justificada, no pueda trabajar.
Al cabo de 35 días el obrero ha recibido 2000 soles. ¿Cuántos días trabajó y
III.- ACTIVIDAD PRÁCTICA ORIENTADA AL PRODUCTO ACADÉMICO
cuántos no trabajó?
- El producto de dos números no positivos es 98 y su cociente es 2. ¿Cuál es
la suma de estos números?
- Un número es el cuádruple de otro. Si al multiplicar dichos números se obtiene
- ¿Cuál es la mínima diferencia de ambos números?
- Un Pequeño ganadero decide vender sus vacas; si las vende a 2900 soles
cada una tendría una pérdida total de 2000 soles. Si las vende a 3500 soles
cada una tendría entonces una ganancia de 2800 soles. ¿Cuántas son las
vacas que desea vender?
- Ciento cinco litros de agua deben ser llenados en depósitos de 11 y 4 litros.
¿Cuántos son de 11 litros si en total se usan 21 depósitos?
- Un barril contiene 69 litros de cierto líquido. Si este líquido debe ser envasado
en 27 botellas, unas de 2 litros y otras de 3 litros. ¿Cuántas botellas de 2 litros
se va a necesitar?
- Hace 2 años cada habitante de una urbanización recibía 300 litros de agua
por día. Actualmente el número de habitantes aumentó en 180 teniendo que
recibir cada habitante 6 litros menos. ¿Cuántos habitantes tiene actualmente
dicha urbanización?
LISTA DE COTEJOS PARA EJERCICIOS
DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN
Nombre del estudiante y/o equipo:
Firma del
estudiante:
Producto: Nombre o tema del ejercicio: Fecha:
Área: Grupo: Periodo: 2021-I
Nombre del Docente: Reynaldo Saavedra Velásquez
Firma del docente:
INSTRUCCIONES
Revisar las características que se solicitan y califique en la columna “valor obtenido” el valor asignado con
respecto al “valor del reactivo”. En la columna “OBSERVACIONES” haga las indicaciones que puedan ayudar
al estudiante a saber cuáles son las condiciones no cumplidas.