Taller de Conjuntos Numéricos y Operatoria de Números Enteros, Apuntes de Matemáticas Aplicadas

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CONJUNTOS

NUMÉRICOS Y

OPERATORIA DE

NÚMEROS ENTEROS

Taller N° 1

Material de Nivelación– Nivelación de Matemáticas - UEA

Taller 1 : Material de Nivelación – Nivelación de Matemáticas - UEA INTRODUCCIÓN En este taller se aborda el estudio de los conjuntos numéricos, la operatoria y propiedades en ellos, dando énfasis al trabajo de operatoria básica en IR. Se encuentra en esta sección una revisión de los conceptos principales de conjuntos numéricos, con ejemplos y ejercicios desarrollados. Además, se proponen ejercicios, problemas y una evaluación de modo que puedan ser medidos los aprendizajes esperados. OBJETIVOS El alumno será capaz de:

• Reconocer los distintos conjuntos numéricos y su operatoria
• Resolver operatoria combinada de números reales aplicando las propiedades
• Utilizar calculadora científica para resolver operatoria combinada de números reales

Taller 1 : Material de Nivelación – Nivelación de Matemáticas - UEA

• Todo número natural, exceptuando el “1”, tiene un antecesor (el antecesor de un número natural es el número disminuido en una unidad). Por ejemplo, el antecesor de 66 es 65, el de 456 es 455, etc.
• El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último número natural.
• Además, este conjunto se puede separar en dos subconjuntos: a) El de los números pares: {2,4,6,8,10,12,14,16,18………………2n; con n N} b) El de los impares: {1, 3, 5, 7, 9, 11, ………….2n- 1 }.
• Los conceptos de sucesor y antecesor se pueden también generalizar para los números pares e impares, obteniendo de esta forma los conceptos de “par sucesor” y “par antecesor”, “impar sucesor” e “impar antecesor”. Por ejemplo, el impar sucesor de 11 es 13 y el par antecesor de 88 es 86.
• Otro subconjunto importante de IN, que se debe estudiar es el de los Numero Primos, que son aquellos que son divisibles por 1 y por sí mismo a excepción del número “1”. Los primeros números primos son: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...} (no existe una regla de formación para ellos.
• Los números primos son de mucha importancia, porque permiten afirmar que todo número natural se puedan expresar, de manera única, como producto de números primos. Por ejemplo, el número 15, se puede expresar como el producto de. Esta descomposición se llama factorización prima y tiene importancia para el cálculo del Mínimo Común Múltiplo y el Máximo común divisor. 1.1.1 Propiedades de la adición en los Números Naturales: En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición: a) Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a N, esto se puede apreciar claramente, ya que 2 + 5 = 7, es lo mismo que 5 + 2 =7. b) Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a N. lo anterior se verifica mediante el siguiente ejemplo: (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolviendo los paréntesis resulta que 7 + 6 = 5 + 8 → 13 = 13 c) Propiedad de Clausura: Para todo número a y b perteneciente al conjunto de los números naturales se cumple que (a + b) a N.
• Observe que no existe la propiedad de neutro aditivo ya que el cero (0) no pertenece a este conjunto para que se cumpla que a +0 = a
• No existe tampoco el inverso aditivo tal que se cumpla que a - a= 0, ya que los números negativos tampoco pertenecen a este conjunto y además el 0 no es un número natural.

Ï

3 × 5

Î

Taller 1 : Material de Nivelación – Nivelación de Matemáticas - UEA 1.1.2 Propiedades de la multiplicación en los Números Naturales: En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación: a) Conmutatividad: Para todo número que representaremos con las letras a y b, ambos pertenecientes al conjunto de los números naturales se cumple que (a · b) = (b · a), esto se puede apreciar claramente, ya que 2 · 5 = 10, es lo mismo que 5 · 2 = 10. b) Asociatividad: Para todo ( ) número a, b y c al conjunto de los números naturales (IN) se cumple , lo anterior se puede verificar mediante el siguiente ejemplo (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolviendo los paréntesis se tiene (10 · 6) = (5 · 12) c) Elemento Neutro: (para todo) número natural que denominaremos con la letra a , existe un numero tal que se cumple que a · 1 = a, por lo tanto, el 1 es el neutro multiplicativo. Es decir que todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. Ejemplos: 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9 d) Distributivita: a· (b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN, lo anterior se verifica mediante el siguiente ejemplo: 5· (3 + 6) = 5·3 + 5·6 → 5·9 = 15 + 30 → 45 = 45 e) Propiedad de Clausura: Para todo número a y b perteneciente al conjunto de los números naturales se cumple que (a b) a IN, a, b N. 1.2. Conjunto de los Números Cardinales (IN 0 ): Los números cardinales se representan por IN 0 y corresponde al conjunto numérico compuesto por los siguientes números: IN 0

También podemos definir a los números cardinales como IN U {0}. La aparición del cero solucionó muchos de los problemas de notación numérica existentes, pero también trajo algunas dificultades, como el de las indeterminaciones en algunas operaciones. Nota que la división por 0 no existe ya que, al tratar de dividir por ejemplo, 5 : 0, no se encontrará ningún número que multiplicado por 0 de por resultado 5. Básicamente la operatoria en los números cardinales es la misma que en los números naturales, sin embargo, existen diferencias fundamentales cuando analizamos las propiedades de la adición y la multiplicación.

" Î

( a × b )× c = a ×( b × c )

× Î " Î

Taller 1 : Material de Nivelación – Nivelación de Matemáticas - UEA Convencionalmente a la izquierda se representan los números negativos y a la derecha los positivos. Algunos conceptos asociados al conjunto de números enteros y a sus elementos son las siguientes:

• Valor absoluto: Es la distancia entre el número y el cero en la Recta Numérica. Se representa entre barras. Nota que, por ser una distancia, el valor absoluto de un número es siempre positivo. Ejemplo 3:
• Orden en Z: Diremos que Z es un conjunto ordenado porque se puede establecer una relación de orden (>, <, =) entre sus elementos. Se dice que un número entero es mayor que otro si en la recta numérica el primero se halla más a la derecha que el segundo (ejemplo: el 5 es mayor que 2; el - 4 es mayor que - 5) Ejemplos 4: 1) – 3 > - 5 2) 8 < 17 3) 61 = 61
• Opuesto de un número entero: El opuesto de un número “a”, es el simétrico de a con respecto al 0 en la recta numérica. Ejemplo 5: El opuesto de 5 es – 5 o el opuesto de – 5 es 5. 1.3.1. Operatoria en el conjunto de los números enteros: A) Adición en Z : Debemos distinguir 2 casos: a) Si tienen igual signo: Se suma y se conserva el signo de los sumandos Ejemplo 6 :

1. 18 + 6 = 24 2 ) – 32 + – 5 = – 37 b) Si tienen distinto signo: Se resta y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto Ejemplo 7 :
2. – 18 + 6 = – 12 2 ) 18 + – 4 = 14

Taller 1 : Material de Nivelación – Nivelación de Matemáticas - UEA B) Sustracción en Z : Se define la resta de dos números enteros como la suma del opuesto del sustraendo. Ejemplo 8:

• En general,. Por ejemplo: y
• Nota que, si bien ahora la sustracción está definida siempre (esto es que siempre se puede realizar), la división aún sigue estando definida de la misma manera que en IN. C) Multiplicación o división en Z : Se multiplican o dividen los números sin tomar en cuenta los signos. El signo del resultado será positivo si ambos números son del mismo signo y negativo si los números son de distinto signo. Una buena manera de representar la ley de los signos en este caso es: Ejemplo 9:

a - b = - ( b - a )^4 -^5 =^ -^1 - ( 5 - 4 ) = - 1

+ × + = +

+ × - = -

• × + = -
• × - = +

12 3× = 36 - 24 3 × = - 72

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3. Un obrero gana $ 5600 por día y gasta $ 3100. ¿Cuánto ahorra en seis meses si trabaja 26 días por mes? 1.3.5. Mínimo Común Múltiplo (MCM) El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Se utilizará para suma y resta de fracciones. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se utilizará una tabla, donde los divisores serán números primos (que son divisibles sólo por 1 y por sí mismos), hasta terminar con todas las columnas en 1, luego el M.C.M. será el producto de todos los divisores. Observa los siguientes ejemplos: Ejemplo 10:

• × ×

× ×

×

Taller 1 : Material de Nivelación – Nivelación de Matemáticas - UEA 1.3.6. Máximo Común Divisor (MCD) En matemáticas, se denomina máximo común divisor o MCD al mayor número que divide exactamente a dos o más números a la vez. Como hablamos del mayor número solo tendremos en cuenta los divisores positivos. También podemos decir que el máximo común divisor de dos números “A” y “B”, es el número mayor que los divide a los dos, tanto al número A como al número B. Por ejemplo, diremos que el máximo común divisor de 18 y 24 es 6, porque 6 es el mayor de los divisores comunes de 18 y 24 y lo escribimos MCD (18,24) = 6 Para resolver lo primero que se debe hacer es encontrar los divisores de 18 y 24

• Divisores de 18: 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
• Divisores de 24: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Luego el máximo y común divisor corresponde al 6.