Numeros Reales Matematica 1, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

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UNIDAD 1

NÚMEROS REALES

Carrera: Bioquímica - Materia: Matemática 1

Estructura de los números reales ( ℝ)

Estas operaciones son leyes de composición interna, es decir que,

al operar con elementos de un conjunto dado a través de ellas, se

obtiene un nuevo elemento del mismo conjunto.

Axioma 3 : Propiedad asociativa

Axioma 4 : Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la

adición

Axioma 5 : Existencia de elemento neutro

Axioma 6 : Existencia de elemento simétrico

− 1

− 1

− 1

(−𝑥 es el opuesto de 𝑥)

− 1

1 𝑥

es el inverso de 𝑥)

❑ Teorema 2 : Simplificación

Si 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑐 y 𝑎 ≠ 0 , entonces 𝑏 = 𝑐

Demostración: Se parte de la expresión 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑐 donde 𝑎 ≠ 0

− 1 ) = 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ (𝑎 − 1 ) 𝑎 − 1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 − 1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 1 ∙ 𝑏 = 1 ∙ 𝑐 𝑏 = 𝑐

Sean a un número real distinto de cero y sean b y c números reales cualesquiera. Si

el producto entre a y b , es igual al producto entre a y c , entonces, el número real b es

igual a c.

En símbolos:

Resolución de ecuaciones Esta ecuación tiene solución y es única. 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 + −𝑏 = 0 + −𝑏 Como 𝑏 ∈ 𝑅 existe −𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 + −𝑏 = 0 + −𝑏 𝑎 ∙ 𝑥 + 0 = −𝑏 𝑎 ∙ 𝑥 = −𝑏 𝑎 ∙ 𝑥 ∙ 𝑎 − 1 = −𝑏 ∙ 𝑎 − 1 𝑎 ∙ 𝑎 − 1 ∙ 𝑥 = −𝑏 ∙ 𝑎 − 1 1 ∙ 𝑥 = −𝑏 ∙ 𝑎 − 1 𝑥 = −𝑏 ∙ 𝑎 − 1 =

𝒂 ∙ 𝒙 + 𝒃 = 𝟎 , con 𝒂 ≠ 𝟎 𝑺 = −𝒃/𝒂 Conjunto solución.

2

• 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0 donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, se denomina ecuación cuadrática en la variable 𝑥

• Ecuación cuadrática sin término de grado 1 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 𝑎𝑥 2

• 𝑐 + −𝑐 = 0 + −𝑐 𝑎𝑥 2 = −𝑐 𝑎 − 1 ∙ 𝑎𝑥 2 = 𝑎 − 1 ∙ −𝑐 𝑥 2 =

2

Conjunto solución.

2

• 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0 donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, se denomina ecuación cuadrática en la variable 𝑥

• Ecuación cuadrática sin término de grado 0 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 𝑥 ∙ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟹ ⟹ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑎𝑥 + [𝑏 + −𝑏 ] = 0 + (−𝑏)

− 1 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑎 − 1 ∙ (−𝑏) 𝒙 = −

Conjunto solución.

3 °) Se comparan los términos de primer grado de la ecuación cuadrática y del trinomio cuadrado perfecto. 4 °) Se eleva al cuadrado al valor de p. 5 °) Se suma miembro a miembro al valor de 𝑝 2 . El primer miembro, ahora, es un trinomio cuadrado perfecto, entonces: Una vez obtenida la expresión anterior, se aplican propiedades de las operaciones con números reales para obtener el valor de la incógnita.

Bibliografía consultada

• Stewart, Redlin y Watson. Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Sexta edición. Editorial CENGAGE Learning. Otro recurso consultado
• Fernández, E. Apunte de cátedra.