Numeros reales y funciones, Apuntes de Cálculo

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TEMA I: NÚMEROS REALES y FUNCIONES

NÚMEROS REALES

PROPIEDADES CAMPO

Las propiedades de los números reales se constituyen la base sobre la cual se construye el cálculo diferencial e integral. Axiomas de suma En ℝ, se define una operación que se llama suma que verifica ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 reales arbitrarios los siguientes axiomas:  𝑥 + 𝑦 ∈ ℝ  𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥  𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧  El conjunto contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 0 y verifica 𝑥 + 0 = 𝑥  El conjunto ℝ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por −𝑥 y verifica 𝑥 + −𝑥 = 0 Axiomas de multiplicación Análogamente, en ℝ se define una segunda operación llamada multiplicación que verifica ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 reales arbitrarios los siguientes axiomas:  𝑥 ∙ 𝑦 ∈ ℝ  𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥  𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧  El conjunto ℝ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 1 y verifica 1 ∙ 𝑥 = 𝑥  El conjunto ℝ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 𝑥 − 1 con 𝑥 ≠ 0 y verifica 𝑥 ∙ 𝑥 − 1 = 1

Axioma de distribución  Para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 reales arbitrarios se tiene 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 OBSERVACIÓN  ℝ con estas operaciones definidas y axiomas constituye un cuerpo. A partir de los axiomas se fundamentan los reglas del álgebra elemental de números reales, que se expone a continuación:  El elemento neutro 0 , es único  El elemento opuesto (−𝑥) para cada real 𝑥, es único  − −𝑥 = 𝑥  𝑥 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑧 ⟹ 𝑥 = 𝑦  Dados 𝑥, 𝑦 existe un único 𝑧 tal que 𝑥 + 𝑧 = 𝑦, se denota por 𝑧 = 𝑦 − 𝑥  𝑥 −𝑦 = − 𝑥𝑦 = −𝑥 𝑦  −𝑥 −𝑦 = 𝑥𝑦  𝑥 𝑦 − 𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧  0 𝑥 = 0  𝑥𝑦 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0  El elemento neutro 1 , es único

RELACIONES DE ORDEN

Para cualesquier 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, se definen las relaciones < menor que, > mayor que, ≤ menor o igual que y ≥ mayor o igual que, como:

i. 𝑥 < 𝑦 ⟺ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ

ii. 𝑥 > 𝑦 ⟺ 𝑦 < 𝑥

iii. 𝑥 ≤ 𝑦 ⟺ 𝑦 − 𝑥 ∈ ℝ

∨ (𝑥 = 𝑦)

iv. 𝑥 ≥ 𝑦 ⟺ 𝑦 ≤ 𝑥

OBSERVACIÓN

 Se denomina conjunto de los números reales negativos al conjunto ℝ − = 𝑥 ∈ ℝ ∕ −𝑥 ∈ ℝ

.  Se pone de manifiesto que 0 no es positivo ni negativo y ℝ = ℝ

∪ ℝ − ∪ 0. A partir de los axiomas de orden y relaciones de orden se derivan todas las reglas para operar con desigualdades.  Para cualesquier 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, se tiene una y sólo una de las relaciones:  𝑥 < 𝑦 ; 𝑥 = 𝑦 ; 𝑥 > 𝑦  𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧 ⟹ 𝑥 < 𝑧  𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧  𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑧 > 0 ⟹ 𝑥𝑧 < 𝑦𝑧  𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑧 < 0 ⟹ 𝑥𝑧 > 𝑦𝑧

2

0  𝑥𝑦 < 0 ⟺ (𝑥 > 0 ∧ 𝑦 < 0 ) ∨ (𝑥 < 0 ∧ 𝑦 > 0 )  𝑥𝑦 > 0 ⟺ (𝑥 > 0 ∧ 𝑦 > 0 ) ∨ (𝑥 < 0 ∧ 𝑦 < 0 )  𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑧 < 𝑤 ⟹ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑤  0 < 𝑥 ⟹ 0 < 𝑥 − 1  0 < 𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑦 − 1 < 𝑥 − 1  0 < 𝑥 < 𝑦 ∧ 0 < 𝑧 < 𝑤 ⟹ 𝑥𝑧 < 𝑦𝑤  𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑦  𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑥 < 𝑥+𝑦 2

 La última propiedad muestra que entre dos números reales distintos 𝑥, 𝑦 siempre existe un tercer número real 𝑧 con 𝑥 < 𝑧 < 𝑦, como 𝑥, 𝑧 son distintos se puede obtener otro número 𝑤 con 𝑥 < 𝑤 < 𝑧 y así sucesivamente. Este proceso se puede extender indefinidamente, lo que indica que entre dos números reales distintos existen infinitos números reales. Esta propiedad se denomina densidad de los números reales. Un conjunto 𝑨 de números reales es denso si y sólo si entre dos elementos distintos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 existe un elemento 𝑧 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 < 𝑧 < 𝑦.

INTERVALOS NO ACOTADOS NOTACIÓN TIPO DESCRIPCIÓN GRÁFICA (𝒂, ∞) 𝑨𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒂 < 𝒙 [𝒂, ∞) 𝑪𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒂 ≤ 𝒙 (−∞, 𝒃) 𝑨𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒙 < 𝒃 (−∞, 𝒃] 𝑪𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒙 ≤ 𝒃 −∞, ∞ = ℝ 𝑰𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 −∞ < 𝒙 < ∞ 𝑎  𝑎  𝑏  𝑏

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Una desigualdad es una relación de orden que tiene un rango de validez y una importancia de cierta trascendencia matemática, mientras que una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas.  Una desigualdad es una expresión relacionada con los símbolos <, >, ≤, ≥ que tenga una validez general.  Una inecuación es una expresión relacionada con los símbolos <, >, ≤, ≥ y que contenga incógnita o incógnitas a ser determinadas.  Una desigualdad se demuestra y una inecuación se resuelve.  Una inecuación es una relación de desigualdad para una o más variables reales, que puede ser verdadera o falsa según sean los valores que puedan tomar dichas variables.  Resolver una inecuación de una variable, es encontrar el conjunto de todos los números reales que hacen verdadera la inecuación (conjunto solución). Eventualmente se tomará en cuenta también inecuaciones con dos variables.  Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales satisfacen la desigualdad en el sentido prefijado.

2. Se ordenan todos los puntos críticos obtenidos en la recta real.  Si es el caso de un punto crítico de: 𝐹 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝐹 𝑥 ≤ 0 tal que 𝐹 𝑥 0 = 0 , dicho punto debe considerarse en la solución.  Si es el caso de un crítico de: 𝐹 𝑥 > 0 ∨ 𝐹 𝑥 < 0 , estos aparecen en el eje real como referencia, no deben estar en la solución.  Si es un punto crítico tal que 𝐹 𝑥 0 no existe, dicho punto en ningún caso debe considerarse en la solución.
3. Se determinan los signos de 𝐹 𝑥 en los intervalos determinados entre puntos críticos.
4. Si la inecuación en cuestión es: 𝐹 𝑥 > 0 ∨ 𝐹(𝑥) ≥ 0 , la solución se encuentra en los intervalos señalados con signo (+).  Si la inecuación en cuestión es: 𝐹 𝑥 < 0 ∨ 𝐹 𝑥 ≤ 0 , la solución se encuentra en los intervalos señalados con signo a (−).
5. Debe considerarse para el conjunto solución los intervalos donde la inecuación es verdadera.  En general, tampoco se puede dar una clasificación de las inecuaciones, pero se puede considerar los siguientes tipos:  Inecuaciones Polinómicas (de 1 𝑒𝑟 grado, 2 𝑑𝑜 grado, 3 𝑒𝑟 grado, etc.)  Inecuaciones racionales o fraccionarias.

 Inecuaciones irracionales  Inecuaciones exponenciales  Inecuaciones logarítmicas  Inecuaciones trigonométricas

1. Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 𝑜 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ; 𝑎 ≠ 0
2. Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma: 𝑎𝑥 2

• 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 𝑜 𝑎𝑥 2
• 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 ; 𝑎 ≠ 0

3. Una inecuación polinómica de grado 𝒏 en un incógnita, es de la forma siguiente: 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 𝑛

• ⋯ + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 < 0 𝑜 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 𝑛
• ⋯ + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 > 0 ; 𝑎𝑛 ≠ 0

4. Una inecuación fraccionaria en un incógnita es de la forma: 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)

donde 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son monomios o polinomios diferente de cero.

5. Las inecuaciones irracionales en un incógnita son de la forma: 𝐹 𝑥, 𝑝 2 𝑥 , 3 𝑝 3 𝑥 , … , 𝑛 𝑝𝑛 𝑥 < 0 𝑜 𝐹 𝑥, 𝑝 2 𝑥 , 3 𝑝 3 𝑥 , … , 𝑛 𝑝𝑛 𝑥 > 0 donde 𝑝 2 𝑥 , 𝑝 3 𝑥 , … , 𝑝𝑛 𝑥 son monomios o polinomios diferentes de cero.

8. Una inecuación trigonométrica es aquella en la que aparecen una o más funciones trigonométricas, donde la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver la inecuación trigonométrica.  A manera de establecer un criterio para el proceso de resolución de la inecuación trigonométrica, se puede considerar siguiente:

1. Ordenar, acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se observe una última inecuación más elaborada en la que se pueda apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la otra una función elemental conocida), en lo posible, claras y graficables manualmente.
2. Graficar las funciones en el mismo sistema coordenado cartesiano.
3. Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas, éstos se obtienen usando la solución general de la ecuación que resulta de igualar las funciones graficables (dicha solución ya comprende la solución principal de dicha ecuación).
4. A partir de los puntos de intersección de las gráficas, establecer el(los) intervalo(s) principal(es) que cumplan con la última inecuación indicada en el criterio 1 ) y dicho(s) intervalo(s) representan la(s) solución(es) principal(es) de la inecuación propuesta.
5. A partir de la solución principal de la inecuación, teniendo en cuenta el período de la función trigonométrica presente en la última inecuación indicada en el criterio 1 ), se indica la solución general de la inecuación original.

VALOR ABSOLUTO

En ℝ es define una distancia tomando como punto de referencia el origen, el cero. Está se denomina valor absoluto o módulo de un número real 𝑥 y se define como 𝑥 =

PROPIEDADES

2  𝑥 = −𝑥  𝑥 2 = 𝑥 2 = 𝑥 2  𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦  𝑥 𝑦

𝑥 𝑦

ℝ −𝑥 (^) 𝑥 𝑥 𝑥 0

Ejemplo: Resolver cada una de las siguientes inecuaciones: