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´Indice general
- El principio de inducci´on
- 0.1. Revisi´on de los n´umeros naturales
- 0.2. Principio de inducci´on
- 0.3. Principio de inducci´on ‘completa’
- 0.4. Principio de inducci´on ‘desplazada’
- 0.5. Ejercicios
- 0.6. APENDICE: Definiciones recursivas. .´
- Conjuntos
- 1.1. Conjuntos. - Conjunto potencia. 1.1.1. Idea intuitiva de conjunto: pertenencia. Igualdad e inclusi´on entre conjuntos.
- 1.1.2. Operaciones con conjuntos: uni´on, intersecci´on, complemento.
- 1.2. Pares ordenados. Producto cartesiano de conjuntos.
- 1.3. Correspondencias y aplicaciones
- 1.3.1. Comentarios previos: Ideas intuitivas y ejemplos.
- 1.3.2. Aplicaciones: dominio, codominio, gr´afica.
- 1.3.3. Imagen y antiimagen de un conjunto.
- 1.3.4. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas, biyectivas.
- 1.3.5. M´as sobre familias de conjuntos
- 1.3.6. Composici´on de aplicaciones.
- 1.3.7. Inversa de una aplicaci´on biyectiva. Inyectividad e inversa parcial.
- 1.4. Relaciones
- 1.4.1. Relaciones de equivalencia y particiones. Conjunto cociente.
- 1.4.2. Relaciones de orden.
- 1.5. Conjuntos finitos y numerables
- 1.5.1. Conjuntos finitos y numerables. Conjuntos equipotentes.
- 1.5.2. APENDICE: Un m´´ ınimo de combinatoria.
- N´umeros naturales y enteros
- 2.1. N´umeros naturales.
- 2.1.1. Lectura preliminar
- 2.1.2. Los axiomas de Peano
- 2.1.3. El principio de buena ordenaci´on.
- 2.2. N´umeros enteros.
- 2.2.1. Necesidad de los enteros. Propiedades de Z. Idea de anillo.
- 2.2.2. Divisi´on entera.
- 2.2.3. Representaci´on decimal y binaria. Bases de numeraci´on
- 2.2.4. M´aximo com´un divisor. Algoritmo de Euclides.
- 2.2.5. N´umeros primos y factorizaci´on. Teorema fundamental de la Aritm´etica.
- 2.2.6. Congruencias. Aritm´etica modular.
- N´umeros racionales. Polinomios. ii ´INDICE GENERAL
- 3.1. N´umeros racionales.
- 3.1.1. Insuficiencia de Z. Fracciones.
- 3.1.2. Construcci´on de Q
- 3.2. Polinomios
- 3.2.1. Definiciones. Suma y producto de polinomios.
- 3.2.2. Divisi´on de polinomios.
- 3.2.3. M´aximo com´un divisor. Algoritmo de Euclides.
- 3.2.4. Funciones polin´omicas. Ra´ıces de polinomios.
- 3.2.5. Factorizaci´on de polinomios.
- 3.2.6. Polinomios, maple y Mathematica
- N´umeros reales
- 4.1. Construcciones de los n´umeros reales
- 4.1.1. Insuficiencia de Q
- 4.1.2. Construcciones de R a partir de Q.
- 4.2. Axiom´atica de R
- 4.3. Representaci´on decimal
- 4.3.1. Aperitivo.
- 4.3.2. Representaci´on decimal can´onica
- 4.3.3. Decimales peri´odicos
- 4.4. Representaci´on en otras bases
- 4.4.1. Representaci´on binaria
- 4.4.2. Representaciones en bases distintas de 10 y
- N´umeros complejos
- 5.1. El cuerpo complejo.
- 5.2. El plano complejo
- 5.3. Polinomios en C y en R.
- 5.3.1. Potencias y ra´ıces de un n´umero complejo
- 5.3.2. Teorema fundamental del Algebra y sus consecuencias´
- 5.4. Fracciones racionales.
- 5.4.1. Funciones racionales
- 5.4.2. Fracciones simples
- 5.5. N´umeros complejos y geometr´ıa plana
- Aritm´etica de punto flotante.
- 6.1. Aperitivo.
- 6.2. Representaci´on en punto flotante
- 6.2.1. N´umeros de m´aquina
- 6.2.2. Aproximaci´on por redondeo
- 6.3. Aritm´etica ‘aproximada’
- 6.4. Estrategias de c´alculo
- 6.4.1. Reformulaci´on del problema: Ejemplos
- 6.4.2. Refinamientos en la representaci´on y en la precisi´on
- 6.4.3. Buscar algoritmos estables
- 6.4.4. Compensaciones estad´ısticas
2 CAP´ITULO 0. EL PRINCIPIO DE INDUCCI ON´
y que de esta manera podemos ‘atrapar’ todos los n´umeros naturales sin que escape ninguno. Dicho en la jerga profesional, lo que importa es la propiedad de inducci´on del conjunto de los n´umeros naturales. Antes de desarrollar esta idea, introducimos la siguiente
Notaci´on.
En lo sucesivo, denotaremos con N el conjunto de los n´umeros naturales o enteros positivos
1 , 2 , 3 ,...
y con N 0 el conjunto de los n´umeros enteros no negativos
0 , 1 , 2 , 3 ,...
Acordada esta notaci´on, volvamos al asunto de la inducci´on en N. Tenemos en N, pues, un elemento inicial que denotamos con 1, al que sigue otro elemento que denotamos con 2, al que sigue otro elemento que denotamos con 3, al que sigue.... Es decir, como propiedad b´asica de N consideramos que, en general, cada n´umero natural tiene un siguiente o sucesor, y N se genera partiendo de 1 y pasando repetitivamente al siguiente de 1, al siguiente del siguiente de 1, al siguiente del siguiente del siguiente de 1, y as´ı sucesivamente. Pero esta descripci´on plantea un problema, la insatisfactoria ‘repetici´on infinita’ que deja abierta el 〈〈^ y as´ı sucesivamente〉〉^ anterior (una sucesi´on de definiciones que no acaba nunca). Dejando el an´alisis profundo para los fil´osofos, con Arist´oteles a la cabeza, este problema se zanja en Matem´aticas aplicando el siguiente principio:
Inducci´on matem´atica. Un conjunto de n´umeros naturales que contenga a 1 y que con cada n contenga al siguiente, debe contener a todos los n´umeros naturales.
M´as informal: para probar que un conjunto de n´umeros naturales abarca todo N, basta que nos aseguremos de que el 1 est´a en ´el, y que demostremos que si admitimos que est´a n, se deduce que necesariamente ha de estar tambi´en n + 1 (el siguiente de n).
Esta propiedad es la base de muchas definiciones (definiciones recursivas o inductivas) y de muchas demostraciones (demostraciones por inducci´on) que involucran a los n´umeros naturales. Comencemos por presentarla de modo que facilite su uso pr´actico en demostraciones.
0.2. Principio de inducci´on
La ‘propiedad de inducci´on’ de N, en la pr´actica, suele formularse en t´erminos de proposiciones (enunciados que tienen sentido en un cierto contexto, y que pueden resultar ciertos o pueden resultar falsos). Si para cada n ∈ N tenemos una proposici´on Pn, entonces Pn puede ser verdadera para algunos valores de n y falsa para otros. Por ejemplo, si Pn es la proposici´on: 〈〈^ n^2 = n 〉〉, entonces P 1 es verdadera (ciertamente 1^2 = 1), mientras que Pn es falsa para todo n 6 = 1, n ∈ N (¿podr´ıas justificar por qu´e?); si Pn es la proposici´on:
〈〈 (^) 1 + 2 + 3 + · · · + n = n^ (n^ + 1) 2
〉〉
entonces Pn es verdadera para todo n ∈ N, porque denotando con s la suma del primer t´ermino de la igualdad,
s = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n +) s = n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 2 + 1 2 s = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1) = n (n + 1)
y as´ı s =
n (n + 1) 2 , como quer´ıamos probar.
0.2. PRINCIPIO DE INDUCCI ON´ 3
¿Qu´e hacer si no hay demostraci´on ‘a la vista’? Supongamos ahora que la proposici´on Pn es la llamada desigualdad de Bernoulli:
dado n ∈ N, para todo n´umero real x ≥ − 1 se verifica (1 + x)n^ ≥ 1 + nx.
No hay una estrategia directa de ´exito claro: podr´ıamos pensar en el desarrollo de (1+x)n^ mediante la f´ormula del binomio, que comenzar´ıa por 1+n x+ 12 n (n−1) x^2 +· · · , pero la aparici´on de sumandos posiblemente negativos (donde haya potencias impares de x cuando consideremos 0 > x ≥ −1) dificulta el control del tama˜no del resultado. Sin embargo, es muy sencillo probar que si para alg´un n es cierta Pn, es decir, se cumple (1 + x)n^ ≥ 1 + nx (∗)
entonces tambi´en es cierta Pn+1, es decir, se cumple
(1 + x)n+1^ ≥ 1 + (n + 1) x.
En efecto: multiplicando los dos t´erminos de la desigualdad (∗) por el n´umero real no negativo 1 + x, se mantiene el sentido de la desigualdad y as´ı
(1 + x)n+1^ = (1 + x)n^ (1 + x) ≥ (1 + nx) (1 + x) = 1 + (n + 1) x + nx^2 ,
y como nx^2 ≥ 0, tendremos 1 + (n + 1) x + nx^2 ≥ 1 + (n + 1) x y finalmente
(1 + x)n+1^ ≥ 1 + (n + 1) x.
¿No habr´a alguna forma de sacarle partido a este hecho? Pensemos un momento: el conjunto de los n´umeros naturales para los que Pn se cumple tiene la propiedad de que con cada n que est´e en ´el, debe estar tambi´en n + 1. De acuerdo con la inductividad de N, bastar´ıa que 1 estuviese en dicho conjunto, para que todos los n´umeros naturales estuviesen en dicho conjunto —lo que significar´ıa que Pn ser´ıa cierta para todo n´umero natural n. Pero P 1 dice que ha de ser (1 + x)^1 ≥ 1 + 1 · x, o sea, 1 + x ≥ 1 + x, trivialmente cierto (incluso para cualquier n´umero real x sin restricci´on). As´ı pues, acabamos de demostrar que Pn es cierta para todo n´umero natural n. Por tanto, ¡hemos encontrado una demostraci´on indirecta, m´as abordable, del resultado que busc´abamos probar!
Esta misma situaci´on se repite suficientes veces como para que el m´etodo empleado merecezca un enunciado destacado, con nombre propio.
- Principio de inducci´on. Para cada n´umero natural n, sea Pn una proposici´on que puede ser cierta o falsa, de tal manera que
P 1 es cierta, y
para cada n ∈ N, suponiendo que Pn es cierta se puede demostrar que Pn+1 es cierta.
Entonces se cumple que
F Pn es cierta para todo n ∈ N. Veamos la aplicaci´on de este principio en algunos ejemplos.
Ejemplos.
- Demostrar que, cualquiera que sea el n´umero natural n, ∑^ n
k=
k^2 = n (n + 1) (2n + 1) 6
(La expresi´on
∑^ n
k=
k^2 es una manera abreviada de indicar 1^2 + 2^2 + · · · + k^2 + · · · + n^2 .)
0.2. PRINCIPIO DE INDUCCI ON´ 5
para n = 1, 2^2 + 5 = 4 + 5 = 3 · 3,
y si es cierto para un n que 2^2 n^ + 5 es m´ultiplo de 3, pasando a n + 1, 2 2(n+1)^ + 5 = 4 · 22 n^ + 5 = (3 + 1) · 22 n^ + 5 = 3 · 22 n^ +
22 n^ + 5
suma de m´ultiplos de 3.
(iii) Para cada n´umero natural n, tomamos
Pn :: 22 n^ + 15n − 1 es divisible por 9.
Para n = 1, 2^2 + 15 − 1 = 18 = 9 · 2 (P 1 es cierta). Dado un n´umero natural n arbitrario, supongamos cierta la propiedad para n, de modo que exista un k ∈ N tal que 2^2 n^ + 15n − 1 = 9k. Pasando a n + 1,
2 2(n+1)+15(n+1)−1 = 4· 22 n+15n+14 = 4(9k− 15 n+1)+15n+14 = 4· 9 k− 3 · 15 n+18 = 9(4k− 5 n+2).
Alternativamente:
2 2(n+1)^ + 15(n + 1) − 1 = 4
22 n^ + 15n − 1
− 45 n + 18, que ser´a divisible por 9.
O incluso de otra forma:
2 2(n+1)^ +15(n+1)−1 = 4· 22 n^ +15n+15−1 = 2^2 n^ +3· 22 n^ +15n−1+15 = 2^2 n^ +15n−1+
22 n^ + 5
y como 2^2 n^ + 5 es m´ultiplo de 3 seg´un hemos probado, lo anterior sea m´ultiplo de 9 (aplicando la hip´otesis de inducci´on).
- Obs´ervese que
Se pide: conjeturar una ley general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla mediante el principio de inducci´on.
Parece que se cumple
Pn ::
n
n + 1
n + 1
Veamos si podemos probarlo por inducci´on.
P 1 es cierta, trivialmente 1 −
Supongamos cierta Pn. Entonces (
1 −
n
n + 1
n + 2
=^ ∗ 1
n + 1
n + 2
n + 1
(n + 2) − 1 n + 2
n + 1
n + 1 n + 2
n + 2
es decir, resulta cierta Pn+1 (hemos aplicado la hip´otesis de inducci´on para escribir =).∗
6 CAP´ITULO 0. EL PRINCIPIO DE INDUCCI ON´
0.3. Principio de inducci´on ‘completa’
A veces, la ayuda que proporciona suponer cierta Pn para demostrar Pn+1 es insuficiente, y se hace necesario un “apoyo m´as amplio”. No es dif´ıcil ver que, cuando interese, se puede modificar el principio de inducci´on para usar como “hip´otesis de inducci´on” que son ciertas todas las pro- posiciones P 1 ,... , Pn, y deducir de ellas Pn+1. El resultado es lo que algunos textos denominan el principio de inducci´on ‘fuerte’ (ver [D’A-W]) o principio de inducci´on ‘completa’.^1
- Principio de inducci´on ‘completa’. Para cada n´umero natural n, sea Pn una proposici´on, cierta o falsa, de tal manera que
P 1 es cierta, y
para cada n ∈ N, suponiendo que P 1 , P 2 ,... , Pn son ciertas se puede demostrar que Pn+1 es cierta.
Entonces se cumple que
F Pn es cierta para todo n ∈ N.
Veamos la ventaja conseguida en un ejemplo. Recordemos que un n´umero natural p distinto de 1 es primo si no tiene m´as divisores en N que 1 y el propio p; abordemos ahora el siguiente ejercicio:
- Probar que para todo n´umero natural n ≥ 2 existe un n´umero primo p que divide a n. Con el principio de inducci´on utilizado como hasta ahora, un intento razonable ser´ıa tomar
Pn :: n = 1 o n ≥ 2 y existe un n´umero primo p que divide a n.
Trivialmente, P 1 es cierta. Pero si para un n es cierta Pn, ¿deber´a ser cierta Pn+1? ¿de qu´e sirve que n sea divisible por un n´umero primo p, si eso no implica que p divida a n + 1, ni que ning´un n´umero primo ligado con p (el siguiente, por ejemplo) divida a n + 1? Sin embargo, pasemos al principio de inducci´on completa: ahora, partimos de un n tal que no s´olo es cierta Pn, sino tambi´en P 1 , P 2 , y Pk para cualquier k ≤ n. Entonces: — si n + 1 es primo, basta tomar p = n + 1 para ver que Pn+1 es cierta; — y si n + 1 no es primo, tendr´a un divisor positivo k distinto de 1 y de n + 1; pero los divisores de un n´umero son menores o iguales que dicho n´umero (¿por qu´e?); as´ı pues, ser´a k < n + 1, por lo que k valdr´a a lo m´as n. En consecuencia, Pk es cierta, por nuestra ‘nueva’ hip´otesis de inducci´on. Y como k 6 = 1, esto significa que k admite un divisor primo p, que a su vez ser´a divisor de n + 1; por tanto Pn+1 es igualmente cierta en este caso. En consecuencia, Pn es cierta para todo n, como quer´ıamos demostrar.
Comentarios
La estrategia de demostraci´on que el principio de inducci´on proporciona recuerda lo que los franceses llaman reculer pour mieux sauter, retroceder para saltar m´as. Comparando las dos versio- nes que hemos enunciado, podr´ıamos decir que en la primera tomamos una “peque˜na carrerilla”, de un s´olo paso, mientras que en la inducci´on completa la “carrerilla”se toma desde el principio.
Siguiendo con las comparaciones, tambi´en se llama al ‘primer’ principio de inducci´on el principio de las fichas de domin´o: si pensamos en una colecci´on infinita de fichas de domin´o puestas una tras otra, para tirarlas todas basta con asegurarse de que cae la primera y de que est´en colocadas de forma que cada ficha tire a la siguiente. (^1) Su justificaci´on es sencilla: basta observar que el conjunto S = {n ∈ N : P 1 , P 2 ,... , Pn son todas ciertas} cumple que 1 ∈ S y que n ∈ S implica n + 1 ∈ S; o aplicar el principio de inducci´on “normal” a la proposici´on Qn = P 1 “y” P 2 “y”... “y” Pn, denotada en l´ogica proposicional por Qn = P 1 ∧ P 2 ∧ · · · ∧ Pn, que es cierta cu´ando y s´olo cuando cada una de las P 1 ,... , Pn son ciertas.
8 CAP´ITULO 0. EL PRINCIPIO DE INDUCCI ON´
0.5. Demostrar que para todo n ∈ N,
∑^2 n
k=n+
k
∑^2 n
k=
(−1)k+ k
0.6. Observar que
1 = 1; 1 − 4 = −(1 + 2); 1 − 4 + 9 = 1 + 2 + 3; 1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4).
Conjeturar una f´ormula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y de- mostrarla mediante el principio de inducci´on.
0.7. Definamos los n´umeros a 1 , a 2 , a 3 ,... por a 1 = 9, a 2 = 36, an+1 = 6an − 9 an− 1 si n ≥ 2. Probar que an est´a bien definido para todo n y que an = 3n(n + 2).
0.8. Sea u 1 = 2, u 2 = 3, un+1 = 3un − 2 un− 1 si n ≥ 2. Probar que un est´a bien definido para todo n y que un = 2n−^1 + 1.
0.9. (a) Conjetura una f´ormula para 1 + 3 + · · · + (2n − 1) evaluando la suma para n = 1, 2 , 3 y 4. (b) Prueba tu f´ormula usando el principio de inducci´on.
0.10. (a) Conjetura una f´ormula que simplifique el producto ( 1 −
n^2
(b) Prueba tu f´ormula usando el principio de inducci´on.
Para finalizar el cap´ıtulo, un ‘cl´asico’.
0.11. Evaluar el siguiente resultado: Teorema. En cualquier examen, todos los alumnos presentados obtienen la misma calificaci´on. Demostraci´on : La haremos por inducci´on. Para cada n ∈ N, sea Pn la proposici´on 〈〈 (^) todo conjunto de n alumnos distintos, al realizar un examen, obtiene una ´unica calificaci´on.〉〉 Evidentemente, P 1 es cierta. Veamos c´omo de Pn se sigue Pn+1. Supongamos que tenemos un conjunto {A 1 , A 2 ,... , An, An+1} de n + 1 alumnos distintos, con calificaciones a 1 , a 2 ,... , an, an+1. Considerando {A 1 , A 2 ,... , An}, tenemos un conjunto de n alumnos distintos, luego por la hip´otesis de inducci´on (estamos admitiendo que Pn es cierta) se tendr´a a 1 = a 2 = · · · = an. Considerando ahora {A 2 ,... , An, An+1}, tenemos igualmente un conjunto de n alumnos distin- tos, de donde a 2 = · · · = an = an+1. Por tanto, hemos encontrado que
a 1 = a 2 = · · · = an a 2 = · · · = an = an+
luego a 1 = a 2 = · · · = an = an+1 ,
es decir, los n + 1 alumnos han obtenido la misma calificaci´on, como quer´ıamos demostrar.
0.6. AP ENDICE: DEFINICIONES RECURSIVAS.´ 9
0.6. AP´ENDICE: Definiciones recursivas.
Ocup´emonos ahora de la inducci´on como medio de construir definiciones. Exponer una descrip- ci´on general del ‘m´etodo de definici´on inductiva’ es competencia de la L´ogica matem´atica o de la teor´ıa de programaci´on de ordenadores, por lo que aqu´ı nos limitaremos a mostrar algunos ejemplos y se˜nalar sus caracter´ısticas m´as destacadas. Esta secci´on debe verse m´as como tema de lectura que como ‘objeto de estudio’, si bien trata una cuesti´on importante que no suele comentarse con mucho detenimiento y que, por eso mismo, puede servir de buena ayuda para entender ciertos aspectos que de otra manera originar´ıan confusi´on.
En apartados anteriores nos hemos tropezado, sin prestarles especial atenci´on, con expresiones como 1 + 2 + 3 + · · · + n, o
∑n k=1 k (^2) de la que, dec´ıamos, era 〈〈 (^) una manera abreviada de indicar
12 + 2^2 + · · · + k^2 + · · · + n^2 〉〉. Usualmente, una descripci´on de este tipo suele bastar para aclarar a qu´e nos referimos; no obstante, al menos las primeras veces que uno se encuentra con ellas, suele ser necesaria una explicaci´on m´as detallada de su significado, y no digamos si se trata de implementar un procedimiento de c´alculo de las mismas en un ordenador. Esto indica que las descripciones “mediante puntos suspensivos · · · ” conllevan una cierta am- big¨uedad, como ocurr´ıa con los “y as´ı sucesivamente” que hemos comentado al comienzo del cap´ıtu- lo. Generalmente, esta ambig¨uedad se evita dando una definici´on recursiva o inductiva; veamos un primer ejemplo. Cuando se necesita dar una definici´on inequ´ıvoca de una expresi´on como Sn = 1^2 + 2^2 + · · · + n^2 , basta observar c´omo pasamos de cada valor de n al siguiente: Sn+1 = 1^2 + 2^2 + · · · + n^2 + (n + 1)^2 = Sn + (n + 1)^2 , con lo cual el problema se solventa f´acilmente usando la propiedad de inducci´on de N; no hay m´as que definir Sn haciendo
S 1 = 1^2 y Sn+1 = Sn + (n + 1)^2 para cada n ∈ N.
¿Para qu´e n´umeros naturales est´a bien definido Sn mediante la f´ormula anterior? Desde luego para 1, y tambi´en para el siguiente de cada n´umero natural para el que est´e bien definido; es decir, para todos los n´umeros naturales, por inducci´on. An´alogamente, si se trata de definir la expresi´on an^ para un n´umero dado a y un exponente n ∈ N cualquiera, en vez de plantearla como “el producto de n factores iguales a a”, podemos definir recursivamente a^1 = a, an+1^ = an^ · a,
y vale repetir el argumento anterior para concluir que as´ı an^ est´a bien definido para todo n ∈ N. Estos ejemplos muestran que en una definici´on recursiva, la construcci´on del objeto que se define se hace siguiendo siempre unas mismas reglas, pero estas reglas hacen referencia al propio objeto. Por ello, para no caer en un c´ırculo vicioso, el primero o primeros casos se definen siempre de manera expresa, sin apelar a las reglas. Consecuentemente, en cada definici´on recursiva encontramos siempre dos partes,
la base, que nos dice ‘c´omo comenzar’;
la recursi´on, que nos dice c´omo proseguir paso a paso.
Por ejemplo, si para cada∑ n ∈ N hemos fijado un cierto n´umero an, y definimos recursivamente n k=1 ak^ mediante
∑^1
k=
ak = a 1 y
n∑+
k=
ak =
∑^ n
k=
ak + an+1 para cada n ∈ N,
Bibliograf´ıa
[B-S] Bartle, R. G.- Sherbert, D. R.: Introducci´on al An´alisis Matem´atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Trata el principio de inducci´on en la Secci´on 1.3 (p´ags. 31 a 35). Muy detallado en sus comentarios. Tiene una buena selecci´on de ejemplos y ejercicios.
[D’A-W] D’Angelo, J. P.; West, D. B.: Mathematical Thinking. Problem-Solving and Proofs. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1997. Dedica al principio de inducci´on su cap´ıtulo 4 (p´ags. 56 a 73). Es un libro muy original en su plantea- miento, y contiene una gran cantidad de ejercicios y problemas (algunos con cierto grado de dificultad).
[Ebb] Ebbinghaus, H.-D. & al.: Numbers. Springer, New York, 1991.
Es un excelente libro de consulta, a medio camino entre la historia de las ideas sobre los n´umeros y la exposici´on ‘de teoremas’. Alcanza niveles que superan ampliamente el contenido de este curso, pero merece la pena conocerlo. En la p´ag. 15 se encuentra el principio de inducci´on. No tiene ejercicios.
[G-H] Griffits, H. B.; Hilton, P. J.: Classical Mathematics. Van Nostrand Reinhold, London,
Una obra ambiciosa: el t´ıtulo completo es A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics. A Contemporary Interpretation. Baste con decir que cumple sobradamente su prop´osito. Tanto su plan- teamiento como su exposici´on no han perdido nada de su valor con el tiempo, sino todo lo contrario. Excelentes comentarios y ejercicios. Imprescindibles y m´as completos de lo habitual su tratamiento y comentarios sobre inducci´on, a la que dedica el cap´ıtulo 5.
[Lieb] Liebeck, M.: A Concise Introduction to Pure Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2000. De planteamiento muy similar al de esta asignatura, difiere en algunos contenidos y en el orden de expo- sici´on. El principio de inducci´on aparece su cap´ıtulo 8 (p´ags. 55 a 68). Tiene ejercicios muy interesantes, y el cap´ıtulo 9 est´a dedicado a demostrar por inducci´on la f´ormula de Euler 〈〈^ caras + v´ertices = aristas +2〉〉, que aplica luego al estudio de los cinco s´olidos plat´onicos (cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro y dodecaedro).
[Pest] Pestana, D. & al.: Curso pr´actico de C´alculo y Prec´alculo. Ariel, Barcelona, 2000.
Orientado fundamentalmente a servir de base para el An´alisis matem´atico, parte de su contenido coincide con el de nuestra asignatura. Muy claro y muy pr´actico, explica el principio de inducci´on en la p´agina 30, dentro de un cap´ıtulo titulado M´etodos de demostraci´on que merece ser le´ıdo en su totalidad.
12 BIBLIOGRAF´IA
Documentos en Internet
[1] Interactive Real Analysis, Seton Hall University: http://www.shu.edu/projects/reals/infinity/index.html
[2] ¿Es el 0 un n´umero natural?: Math.Sci FAQ, http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node12.html#SECTION
[3] Historia del cero, The MacTutor History of Mathematics archive, St Andrews University, Escocia. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html
[4] Sobre la sucesi´on de Fibonacci. http://www.arrakis.es/~mcj/fibonacc.htm
[5] Recursi´on y la torre de Hanoi, Universidad de M´alaga. http://www.lcc.uma.es/~pepeg/modula/temas/tema11.pdf
[6] S. Romero, La recursividad. http://pinsa.escomposlinux.org/sromero/prog/recursividad.html
14 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
Tampoco nos ayuda recurrir a los diccionarios; en el de la Real Academia Espa˜nola, por ejemplo, encontramos lo siguiente:
conjunto :... ‖ 4. m. Agregado de varias personas o cosas. ‖... ‖ 6. La totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad com´un, que los distingue de otros. Por ejemplo, los n´umeros pares. ‖... ‖ 9. (Mat.) La totalidad de los entes matem´aticos que tienen determinada propiedad. El CONJUNTO de los n´umeros primos. ‖...
Es muy dif´ıcil plantear una definici´on de ‘conjunto’ que no recurra a sin´onimos hasta caer en un c´ırculo vicioso: es un concepto tan b´asico que s´olo podemos dar descripciones aproximativas del mismo. De hecho, cuando fue preciso establecer una teor´ıa de conjuntos rigurosa desde el punto de vista matem´atico, una Teor´ıa axiom´atica de conjuntos, la noci´on de ‘conjunto’ qued´o entre los t´erminos no definidos.^1 Proseguiremos, entonces, con nuestras ideas intuitivas de conjunto y de elementos de un con- junto. Si A es un conjunto y a es uno de sus elementos, diremos que a pertenece a A, y escribiremos
a ∈ A,
mientras que la notaci´on a /∈ A
indicar´a que a no pertenece (no es un elemento) de A. Cuando A es un conjunto con pocos elementos, por ejemplo el de los cinco primeros enteros positivos pares, suele indicarse listando sus elementos entre llaves,
A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }.
Pero lo m´as habitual es que los conjuntos vengan descritos por una propiedad que caracteriza a sus elementos: por ejemplo, como citaba el diccionario, el conjunto de todos los enteros positivos pares. Este conjunto se escribe
{x : x es un entero positivo par },
y se lee el conjunto de los x tales que x es un entero positivo par. En general, si tenemos una propiedad P (x) relativa a ciertos x,
{x : P (x) es cierta },
es el conjunto de los x tales que x es cierta. (^1) Cuando una determinada rama de las matem´aticas se desarrolla axiom´aticamente, se toman como punto de partida (1) unos t´erminos no definidos (2) unas relaciones no definidas (3) unos axiomas que relacionan los t´erminos no definidos y las relaciones no definidas. A partir de ellos, se van definiendo nuevos t´erminos y se desarrollan teoremas basados en los axiomas o en teoremas anteriores. Por ejemplo, en la geometr´ıa plana eucl´ıdea, ‘punto’ y ‘recta’ son t´erminos no definidos, ‘punto que est´a en una recta’ o, lo que es equivalente, ‘recta que pasa por un punto’, es una relaci´on no definida, y son axiomas, entre otros: ‘Dos puntos distintos est´an en una y una sola recta’ (equivalentemente, ‘por dos puntos distintos pasa una recta y una sola’) ‘Dos rectas distintas no pueden tener m´as de un punto com´un’.
En la Teor´ıa axiom´atica de conjuntos, son t´erminos no definidos ‘elemento’ y ‘conjunto’, la relaci´on no definida es ‘pertenencia de un elemento a un conjunto’, y son axiomas, entre otros, Axioma de extensi´on. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´olo si cada elemento que pertenece a A tambi´en pertenece a B y cada elemento que pertenece a B tambi´en pertenece a A. Axioma de especificaci´on. Sea P (x) una afirmaci´on y sea A un conjunto. Existe entonces un conjunto al que pertenecen exactamente los elementos a que pertenecen a A para los que el enunciado P (a) es cierto. Puede verse un comentario m´as amplio sobre los sistemas axiom´aticos en la p´agina web de la asignatura.
1.1. CONJUNTOS. 15
Frecuentemente, los x son elementos de un conjunto U fijado de antemano (los enteros, en nuestro primer ejemplo). En vez de escribir entonces {x : x ∈ U y P (x) es cierta }, se emplea la notaci´on. {x ∈ U : P (x) es cierta }. Por otra parte, pensar que todos los elementos que se van a manejar quedan dentro de un conjunto “universal” (el universo del discurso) permite eliminar paradojas de car´acter l´ogico, como la no existencia del ‘conjunto de todos los conjuntos’ o la paradoja de Russell, que no hace al caso comentar aqu´ı. (Ver [Ham], p. 111 y ss., donde se explica c´omo la axiom´atica de Zermelo-Fraenkel resuelve estas paradojas; otra soluci´on, la axiom´atica de von Neumann-Bernays-G¨odel, se apunta en [S-T], cap. 13, p. 252 y ss.)
Los elementos de un conjunto determinan el conjunto. Precisemos esta idea.
Criterio de igualdad de conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´olo si constan de los mismos elementos, es decir: (1) para cada x ∈ A tambi´en x ∈ B; (2) para cada x ∈ B tambi´en x ∈ A. Un conjunto muy particular es el conjunto vac´ıo, que no posee ning´un elemento. Se representa por el s´ımbolo ∅. Los conjuntos con un solo elemento suelen denominarse conjuntos unipuntuales (o tambi´en ‘singuletes’, por la denominaci´on inglesa ‘singletons’).
Definici´on 1.1.1. Dados dos conjuntos A y B, diremos que A es un subconjunto de B si cada elemento de A es tambi´en elemento de B, es decir, si x ∈ A implica x ∈ B.
Para indicar que A es un subconjunto de B escribiremos A ⊆ B. Tambi´en se lee 〈〈^ A est´a con- tenido en B〉〉.
¡Atenci´on! Algunos libros usan la notaci´on A ⊂ B para indicar que A est´a contenido en B, mientras que en otros A ⊂ B significa que 〈〈^ A est´a contenido en B y es distinto de B〉〉. Para evitar confusiones, en este ´ultimo caso nosotros pondremos A ⊂ 6 = B, le´ıdo 〈〈^ A contenido estrictamente en B〉〉.
El criterio de igualdad de conjuntos puede reformularse en t´erminos de subconjuntos de manera obvia.
Corolario 1.1.2. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´olo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Ejemplos. Para cualquier conjunto A, trivialmente A ⊆ A y ∅ ⊆ A. Que x ∈ A es equivalente a que {x} ⊆ A (¡pero, en general, no a x ⊆ A ni a {x} ∈ A!). Veremos ejemplos m´as interesantes en ejercicios posteriores.
Definici´on 1.1.3. Dado un conjunto A, el conjunto
℘(A) = {S : S ⊆ A}
cuyos elementos son justamente los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A o conjunto de partes de A.
Ejercicios
1.1. Sea A = { 2 n + 1 : n ∈ N}. Decir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando la respuesta:
(i) si x = (2n + 1)^2 para alg´un n ∈ N, entonces x ∈ A.
(ii) si x ∈ A, entonces x = (2n + 1)^2 para alg´un n ∈ N.
1.1. CONJUNTOS. 17
hemos representado dos conjuntos A y B como las regiones limitadas por una elipse grande y una circunferencia peque˜na. Las zonas rayadas representan, sucesivamente, A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B.
Los “c´alculos” con conjuntos comparten algunas reglas (¡no todas!) con las operaciones entre n´umeros.
Proposici´on 1.1.5. Dados tres conjuntos cualesquiera A, B y C, se tienen las siguientes igualda- des:
(i) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
(iv) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Demostraci´on. Ver [D-H], pp. 10-11.
Proposici´on 1.1.6. Leyes de De Morgan. Sean A, B, subconjuntos de un conjunto X. Entonces
(i) (A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc.
(ii) (A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc.
Demostraci´on. Ejercicio.
Las definiciones de uni´on e intersecci´on de dos conjuntos pueden ampliarse a una colecci´on arbitraria de conjuntos.
Definici´on 1.1.7. Sea C una colecci´on no vac´ıa de conjuntos (un conjunto no vac´ıo cuyos elementos son a su vez conjuntos). La uni´on de C es el conjunto ⋃ C =
A∈C
A = {x : x ∈ A para alg´un A ∈ C},
formado por los elementos x que pertenecen a uno al menos de los conjuntos de C. La intersecci´on de C es el conjunto ⋂ C =
A∈C
A = {x : x ∈ A para todos A ∈ C},
formado por los elementos x que pertenecen a todos los conjuntos de C.
En particular, cuando C = {A, B} reencontramos las definiciones de A ∪ B y A ∩ B. En el caso de que sea C = {A 1 , A 2 ,... , Ak}, se emplea la notaci´on
⋃^ k
n=
An,
⋂^ k
n=
An,
18 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
en vez de
C,
C, respectivamente. As´ı mismo, cuando C = {An : n ∈ N}, suele emplearse ⋃
n∈N
An,
n∈N
An,
o alguna otra notaci´on similar.
En ocasiones se manejan ‘conjuntos de ´ındices’ cualesquiera, no solamente N: por ejemplo, C = {Ax : x ∈ R}, donde Ax = (−∞, x) = {y ∈ R : y < x}. En general, si I es un conjunto no vac´ıo arbitrario, y para cada i ∈ I tenemos dado un cierto conjunto Ai, podemos considerar C = {Ai : i ∈ I} y definir ⋃
i∈I
Ai =
C =
{Ai : i ∈ I},
i∈I
Ai =
C =
{Ai : i ∈ I},
de manera que resultar´a ⋃
i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para alg´un ´ındice i ∈ I}, (1.1) ⋂
i∈I
Ai = {x : x ∈ Ai para todos ´ındices i ∈ I}. (1.2)
Cuando C viene dado de este modo, diremos que se trata de una familia de conjuntos parametrizada por I o con conjunto de ´ındices I. Daremos una definici´on m´as ‘formal’ posteriormente.
Proposici´on 1.1.8. Leyes de De Morgan. Dado un conjunto X, sea C = {Ai : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X [es decir, C ⊆ ℘(X)] con conjunto de ´ındices I. Entonces
(1)
i∈I Ai
)c
i∈I A
c i. (2)
i∈I Ai
)c
i∈I A c i.
Demostraci´on. Ejercicio.
Ejercicios
2.1. Sea A un subconjunto de un conjunto dado X. Comprobar que (Ac)c^ = A.
2.2. Probar que dados dos subconjuntos A, B de un conjunto X, entonces X \ A = B si y s´olo si A ∪ B = X, A ∩ B = ∅.
2.3. Dados dos conjuntos A, B, demostrar que: (1) A ⊆ B si y s´olo si A ∪ B = B. (2) A ⊆ B si y s´olo si A ∩ B = A. (3) A ⊆ B si y s´olo si A \ B = ∅.
2.4. Sean A, B, C, D conjuntos tales que A ⊆ B y C ⊆ D. Probar que A ∪ C ⊆ B ∪ D y A ∩ C ⊆ B ∩ D.
2.5. Dado un conjunto X, sean A, B, C ⊆ X. (1) Probar que A \ B = A ∩ Bc. (2) Aplicando lo anterior y las leyes de De Morgan, dar otra expresi´on de A \ (B \ C). (3) ¿Es lo mismo A \ (B \ C) que (A \ B) \ C? ¿Por qu´e?
2.6. Dados dos conjuntos A, B, probar que (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (este conjunto se denomina diferencia sim´etrica o discrepancia de A y B.)
