TEORIA AXIOMATICA DE
CONJUNTOS
Versi´on Preliminar
Renato A. Lewin
Author address:
Pontificia Universidad Cat´
olica de Chile, Facultad de
Matem´
aticas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE.
e-mail: [email protected]
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Teoría de conjuntos, Apuntes de Electrónica de las Telecomunicaciones
Asignatura: Conjuntos y Numeros, Profesor: , Carrera: Ciències i Tecnologies de Telecomunicació, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 154
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TEORIA AXIOMATICA DE
CONJUNTOS
Versi´on Preliminar
Renato A. Lewin
Author address:
Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, Facultad de Matem´aticas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE. e-mail: [email protected]
CAPITULO 1
Introducci´on. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel
Este libro trata sobre los conjuntos. Intuitivamente un conjunto es una colecci´on (clase, agregado, conglomerado, etc.) de objetos, los que pertenecen a (forman parte de, son los elementos de, etc.) el conjunto. En toda teor´ıa axiom´atica debemos partir de t´erminos que no podemos definir para no correr el riesgo de caer en un c´ırculo vicioso. Tal es el caso de los conceptos de conjunto y pertenencia dentro de la Teor´ıa de Conjuntos. Todas nuestras intuiciones descansan sobre la idea intuitiva que tengamos sobre estos conceptos primitivos, sin embargo, para el desarrollo de la teor´ıa no es necesario contar con estas intuiciones. Una teor´ıa axiom´atica es un modelo formal de una realidad que queremos estudiar. Est´a compuesta por axiomas, o sea, oraciones a partir de las cuales, usando s´olo reglas l´ogicas, podamos obtener todas las propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratan de establecer las caracter´ısticas y propiedades esenciales de los objetos que estamos tratando de describir en nuestro modelo. El ideal ser´ıa en primer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos de la realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, que todas y s´olo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedan obtener a partir de nuestra lista. Diversas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos han logrado en mayor o menor grado el segundo de estos objetivos. El primero en cambio, obtener todas las propiedades de los conjuntos a partir de un sistema de axiomas, no se ha logrado. El motivo de ´esto es muy sencillo: no se puede. En efecto, los resultados obtenidos por el l´ogico Kurt G¨odel alrededor de 1930, demuestran que es imposible dar una axiomatizaci´on completa de la Teor´ıa de Conjuntos. Lo mismo es cierto de otras teor´ıas matem´aticas como la teor´ıa de n´umeros. Lo anterior parece condenar nuestro proyecto al fracaso, sin em- bargo ´esto no es as´ı, s´olo nos advierte que el ideal es imposible. De he- cho numerosos matem´aticos han logrado establecer teor´ıas axiom´aticas que, si bien no completas, son suficientes para construir en ellas casi toda la matem´atica. Estudiaremos una de ellas en estas p´aginas, a saber, la teor´ıa de Zermelo–Fraenckel, ZF, desarrollada a partir del
una clase propia. Es decir, las clases propias son las extensiones de una propiedad que de alguna manera son “demasiado grandes”, no las podemos aprehender. Ejemplos de estas ´ultimas son la clase R definida anteriormente o la clase V formada por todos los conjuntos (o clase universal). En nuestra teor´ıa, ZF, no existen las clases propias, s´olo conjuntos. Esto implica que, por ejemplo, no podemos hablar de la clase R. Sin embargo, la situaci´on no es tan mala como parece. Si bien no podemos hablar de R, nada nos impide hablar de la propiedad x 6 ∈ x. As´ı, aunque no podemos afirmar “a ∈ R′′^ (porque R no existe dentro de la teor´ıa), podemos perfectamente decir a 6 ∈ a que significa lo mismo. En otras palabras, si queremos hablar de una clase propia, en ZFdebemos hacerlo mediante la propiedad que la define. La noci´on de “propiedad” no la hemos definido pero de lo anterior se desprende que es central en nuestro estudio. Vamos a continuaci´on a definir este concepto. Como dijimos, una teor´ıa axiom´atica se desarrolla a partir de cier- tos enunciados o axiomas mediante la aplicaci´on de reglas l´ogicas. Por ello, es fundamental que el lenguaje usado sea lo m´as preciso posible. Esto se logra mediante la formalizaci´on del lenguaje. S´olo aquellas expresiones escritas en ´este ser´an aceptables en nuestra teor´ıa y repre- sentaran propiedades. No es el prop´osito de este texto introducir al lector a la L´ogica Matem´atica. Tampoco suponemos que ´este sepa l´ogica m´as all´a de los conocimientos que se aprende en un curso universitario de Introducci´on al Algebra o similar. Cierta madurez matem´atica es desde luego nece- saria para mantener la fluidez de las demostraciones. Usaremos por lo tanto un estilo semi formal el que, por un lado, es habitual en el tema y por el otro, no apabulla al lector con un rigor tedioso y excesivo.
- El Lenguaje Formalizado L Un lenguaje formalizado est´a constituido por un conjunto de s´ımbolos b´asicos y por reglas que nos permiten formar expresiones m´as compli- cadas a partir de esos s´ımbolos originales. Los s´ımbolos de L ser´an:
- Variables: x, y, z, X, Y, Z, x 1 , x 2 ,... , en general, las ´ultimas le- tras del alfabeto latino, min´usculas o may´usculas, con o sin sub´ındices. Su significado es el habitual en matem´aticas y su rango son los conjuntos.
- Constantes: a, b, c, A, B, C,... , en general, las primeras letras del alfabeto latino. Sirven para referirnos a conjuntos espec´ıficos.
- S´ımbolo de pertenencia: ∈
- S´ımbolo de igualdad: =
- Conectivos l´ogicos: ¬, ∨, ∧, →, ↔, es decir, los s´ımbolos ha- bituales para la negaci´on, disyunci´on, conjunci´on, implicaci´on y equivalencia.
- Cuantificadores: ∀, ∃, con su significado habitual.
- Par´entesis: ( , ). Usados como signos de puntuaci´on. Cualquier cadena finita formada por estos s´ımbolos es una expresi´on del lenguaje, pero no toda expresi´on es aceptable o significativa. S´olo aceptaremos aquellas a las que llamaremos f´ormulas de L. Una f´ormula de L es una expresi´on de L construida como sigue:
- X ∈ Y, X = Y son f´ormulas de L para cualquiera dos variables o constantes X e Y no necesariamente distintas. La primera se lee X pertenece a Y o bien Y contiene a X y la segunda X es igual a Y. Su significado intuitivo es el obvio. Estas se llamar´an f´ormulas at´omicas.
- Si ϕ y ψ son f´ormulas de L , entonces tambi´en lo son (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ). Estas f´ormulas corresponden respectivamente a la disyunci´on, conjunci´on, implicaci´on y equivalencia de ϕ y ψ.
- Si ϕ es una f´ormula de L , entonces ¬ϕ tambi´en es una f´ormula de L. La f´ormula ¬ϕ corresponde a la negaci´on de ϕ. Tambi´en usaremos los s´ımbolos auxiliares X /∈ Y y X 6 = Y para escribir ¬(X ∈ Y ) y ¬(X = Y ), respectivamente.
- Si ϕ es una f´ormula de L y x es una variable, ∀xϕ, ∃xϕ son f´ormulas de L. Estas se leen cualquier conjunto x verifica ϕ y existe (por lo menos) un conjunto x que verifica ϕ , respectivamente. Su significado es tambi´en evidente. Solamente aquellas expresiones obtenidas por la aplicaci´on de (un n´umero finito de) estas reglas es una f´ormula de L.
Si ϕ es una f´ormula de L y x una variable que aparece en ϕ , decimos que x aparece ligada en ϕ si su aparici´on se produce bajo la influencia de un cuantificador ∀x o ∃x. En caso contrario decimos que x aparece libre en ϕ. Por ejemplo, en ∀x x 6 ∈ y, la variable x aparece ligada pero y aparece libre y en ∃x(x ∈ y ∨ ∀z x ∈ z), las variables x y z aparecen ligadas e y aparece libre. Una f´ormula que no contiene variables libres se llama una oraci´on. Una oraci´on de L es siempre verdadera o falsa (¡pero puede ser que no
En L escribimos ∃X∀x x 6 ∈ X. Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe al menos un conjunto.
Lema 1.1. Existe un ´unico conjunto que no contiene ning´un ele- mento.
Demostraci´on. Supongamos que existen dos conjuntos distintos a y b ambos sin elementos. Por A1 ∃x((x ∈ a ∧ x 6 ∈ b) ∨ (x ∈ b ∧ x 6 ∈ a)), una contradicci´on. Luego hay un ´unico conjunto vac´ıo.
Definici´on 1.2. El (´unico) conjunto que no tiene elementos se llama el conjunto vac´ıo y se le denota ∅.
Obs´ervese que el s´ımbolo ∅ no es la letra griega ϕ.
A3. Axioma de Separaci´on: “Si ϕ(x) es una f´ormula de L y X es un conjunto, entonces existe un conjunto Y cuyos elementos son aquellos elementos de X que verifican ϕ(x)”. En L escribimos ∀X∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ (z ∈ X ∧ ϕ(x)). Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por ϕ(x)) y cualquier conjunto A existe el subconjunto de A formado por los elementos que verifican esa propiedad. Obviamente este conjunto es ´unico.
Definici´on 1.3. Si ϕ(x) es una f´ormula de L y A un conjunto, el conjunto cuya existencia est´a garantizada por A3 se denotar´a con el s´ımbolo {x ∈ A : ϕ(x)}
y se lee “el conjunto de los elementos de A tales que ϕ(x)”.
Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de cons- truir el conjunto de todos los conjuntos que verifican una propiedad cualquiera ϕ(x). Este axioma limita nuestra capacidad de formar conjuntos de objetos que verifican una cierta propiedad, s´olo podemos referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjunto dado, verifican la propiedad en cuesti´on. Veamos que esta restricci´on evita que se produzca la paradoja. Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto A , el axioma de extensionalidad nos permite formar el conjunto
R = {x ∈ A : x 6 ∈ x}.
En este caso tenemos que si R ∈ R, entonces
R ∈ A y R 6 ∈ R,
lo cual es una contradicci´on, luego R /∈ R, lo que, a diferencia de antes, no es contradictorio, s´olo implica que R /∈ A.
Teorema 1.2. No existe el conjunto de todos los conjuntos.
Demostraci´on. Supongamos que si existe y llamemoslo V. En- tonces en virtud de A3 podemos construir el conjunto de Russell R = {x ∈ V : x 6 ∈ x}, contradicci´on.
Por ´ultimo, cabe destacar que este no es propiamente un axioma sino m´as bien un esquema. En efecto, para cada f´ormula ϕ(x) de L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada de instancias de este axioma.
A4. Axioma de Pares: “Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto cuyos ´unicos elementos son X e Y ”. Su expresi´on en L es
∀X∀Y ∃Z ∀x(x ∈ Z ↔ (x = X ∨ x = Y )).
Resulta claro por A1 que este conjunto es ´unico. Lo denotamos
{X, Y }.
y lo llamamos el par no–ordenado X, Y. El axioma A1 tambi´en garantiza la existencia del conjunto cuyo ´unico elemento es el conjunto X
{X, X} = {X},
el que a menudo recibe el nombre de singleton X.
A5. Axioma de Uniones: “Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de los elementos de X ”. En L escribimos
∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ X)).
Nuevamente por A1, este conjunto es ´unico, se llama la uni´on de X y se le denota
X.
A6. Axioma del Conjunto Potencia: “Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los subconjuntos de X ”. Esto es ∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ z ⊆ X)) (En rigor deberiamos excribir ∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∀u(u ∈ z → u ∈ X))
sin embargo, como la lectura de la f´ormula se complica bastante y ya sabemos c´omo definir ⊆ usando s´olo ∈ y los s´ımbolos l´ogicos, preferimos la escritura abreviada). Creemos que este axioma se explica por s´ı mismo. El (´unico) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa por PX y se llama el conjunto potencia de X.
A7 Axioma de Regularidad: “Todo conjunto no vac´ıo contiene un elemento con el que no com- parte ning´un elemento.” En L escribimos ∀x(x 6 = ∅ → ∃y(y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)). A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulaci´on, este axioma impide la existencia de un conjunto a tal que a ∈ a o incluso a ∈ b ∈ a , o a ∈ c ∈ b ∈ a , etc. Como veremos en su oportunidad, intuitivamente este axioma dice que ∈ , considerada como una relaci´on entre conjuntos,verifica una condici´on an´aloga a la del orden de los n´umeros naturales, ´esta es, que todo conjunto no vac´ıo tiene un menor elemento.
Teorema 1.3. i) ∀x x 6 ∈ x. ii) ∀x ∀y(x 6 ∈ y ∨ y 6 ∈ x). iii) En general, no existen a 1 , a 2 ,... , an tales que a 1 ∈ a 2 ∈ · · · ∈ an ∈ a 1. iv) No existen conjuntos a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,... tales que · · · ∈ an ∈ · · · ∈ a 2 ∈ a 1.
Demostraci´on. i) Supongamos que existe a tal que a ∈ a , entonces A = {a} contradice a A7. ii) Idem i) con A = {x, y} iii) Idem i) con A = {a 1 , a 2 ,... , an}. iv) Supongamos que existe el conjunto cuyos elementos son precisa- mente a 1 , a 2 , a 3 ,.... Llamemoslo A. Entonces A contradice a
A7 ya que para cualquier y ∈ A, digamos y = am para alg´un m , am+1 ∈ am y am+1 ∈ X, o sea y ∩ X 6 = ∅. El problema entonces se reduce a verificar que existe tal conjunto A. Sin embargo para poder hacerlo no bastan los axiomas que tenemos hasta ahora, necesitamos dos axiomas m´as. La demostraci´on deber´a posponerse hasta entonces. (Ver ejercicio 7.)
Aunque la mayor parte de las matem´aticas puede desarrollarse sin el axioma de regularidad es m´as c´omodo contar con ´el.
A8. Axioma del Conjunto Infinito: “Existe un conjunto que tiene infinitos elementos”. Para escribirlo en el lenguaje L debemos usar una expresi´on que no es muy transparente. ∃X(∅ ∈ X ∧ ∀y(y ∈ X → y ∪ {y} ∈ X). Es claro que el conjunto as´ı formado es intuitivamente infinito, basta verificar que contiene a los siguientes conjuntos ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}},... por supuesto que habr´ıa que demostrar adem´as que todos estos con- juntos son distintos. Para introducir el ´ultimo axioma de ZF, debemos estudiar antes un cierto tipo de f´ormula de L. Una f´ormula ϕ(x, y) de L con dos variables libres x e y se dir´a funci´on proposicional si para todo conjunto a existe un ´unico conjunto b tal que ϕ(a, b) se verifica. Ejemplos de ´estas son las f´ormulas ϕ(x, y) siguientes:
y = ∪x, y = Px, y = x ∪ {x}, y = x ∩ a, donde a es un conjunto fijo, etc.
A9. Axioma de Reemplazo: “Si ϕ(x, y) es una funci´on proposicional y A es un conjunto, entonces existe el conjunto de los elementos b que verifican ϕ(a, b) para alg´un a ∈ A”. Expresado en L , tenemos ∀X∃Y ∀y(y ∈ Y ↔ ∃x(x ∈ X ∧ ϕ(x, y))).
G¨odel en 1930) que no puede completarse, es decir, aunque agreguemos una lista de infinitos axiomas a ZF, seguir´a siendo incompleto, es decir, siempre existir´a una f´ormula ϕ tal que ni ϕ ni ¬ϕ puede demostrarse a partir de esa lista. Todos estos problemas requieren de conocimientos de L´ogica Mate- m´atica y est´an fuera del alcance de esta obra. Nos parece interesante eso s´ı mencionarlos para que el lector investigue por su cuenta.
Ejercicios.
- Demuestre que el axioma de pares puede ser reemplazado por el axioma m´as d´ebil: “Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto los contiene a ambos”.
- Demuestre que el axioma de uniones puede ser reemplazado por el axioma m´as d´ebil: “Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que con- tiene a todos los elementos de los elementos de X ”.
- Demuestre que el axioma del conjunto potencia puede ser reem- plazado por el axioma m´as d´ebil: “Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que con- tiene a todos los subconjuntos de X ”.
- Demuestre que el Axioma de Pares puede obtenerse a partir de los axiomas de Reemplazo y del Conjunto Potencia.
- Demuestre el Axioma del Conjunto Vac´ıo a partir de de los otros axiomas y el nuevo axioma “Existe un conjunto infinito”.
- Indique c´omo definir x ∩ y sin usar el axioma A5.
- Use el axioma de reemplazo y el de conjunto infinito para de- mostrar que el conjunto A definido en la demostraci´on del teo- rema 1.3 existe.
CAPITULO 2
Teor´ıa Elemental
En este cap´ıtulo formalizaremos y profundizaremos las nociones de la teor´ıa intuitiva de conjuntos que el lector probablemente ha estudi- ado en cursos de Algebra, Geometr´ıa u otros. Por tratarse de material familiar, la mayor´ıa de las demostraciones se dejar´an como ejercicio. Debemos cuidarnos eso s´ı de no dar a las intuiciones el car´acter de teoremas y demostrar cuidadosamente todas nuestras afirmaciones a partir de los axiomas. Una de las dificultades que enfrenta el principiante en Teor´ıa A- xiom´atica de Conjuntos es precisamente ese conocimiento intuitivo del tema. En nuestra teor´ıa todo es un conjunto, as´ı los elementos de un conjunto son a su vez, conjuntos que contienen elementos que a su vez son conjuntos. Es decir, la familiar distinci´on entre elemento y conjunto no existe y si se dice por ejemplo “ a es elemento de b ” es s´olo para enfatizar que a y b satisfacen a ∈ b, pero no para separar a a y b en dos categor´ıas distintas. As´ı, un mismo conjunto puede jugar ambos papeles en distintas situaciones, por ejemplo:
∅ ∈ {∅} {∅} ∈ {∅, {∅}}. Lo mismo puede decirse de pares ordenados, relaciones, funciones etc, etc, todo ente del cual hablemos ser´a un conjunto.
- Operaciones En el cap´ıtulo anterior hemos definido las operaciones x ∪ y y x ∩ y. Definiremos ahora una tercera operaci´on
Definici´on 2.1. Dados dos conjuntos a y b definimos el comple- mento relativo de b con respecto a a , o su diferencia como sigue
a − b = {x ∈ a : x /∈ b}.
Notese que en virtud de A3, a − b es un conjunto. Como lo demuestra la siguiente proposici´on, la noci´on de comple- mento de un conjunto a , es decir, el conjunto de aquellos conjuntos que no pertenecen a a , no puede definirse en ZF.
iv) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∩ b ⊆ c ∩ d. v) a ⊆ a ∪ b y b ⊆ a ∪ b. vi) Si a ⊆ c y b ⊆ c, entonces a ∪ b ⊆ c. vii) a ⊆ b si y s´olo si a ∪ b = b. viii) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∪ b ⊆ c ∪ d. Demostraci´on. Ejercicio.
Algunas propiedades del conjunto potencia de un conjunto son in- teresantes.
Teorema 2.4. Para todo conjunto a, b: i) ∅ ∈ Pa y a ∈ Pa. ii) P∅ = {∅}. iii) Si a ⊆ b, entonces Pa ⊆ Pb. iv) Pa ∪ Pb ⊆ P(a ∪ b). v) Pa ∩ Pb = P(a ∩ b). vi) P(a − b) ⊆ (Pa − P(b)) ∪ {∅}. Demostraci´on. A modo de ejemplo demostraremos vi). El resto queda como ejercicio. Sea x ∈ P(a − b), es decir, x ⊆ a − b. Si x = ∅, entonces x ∈ (Pa − Pb) ∪ {∅}. Si x 6 = ∅, entonces para todo z ∈ x, z ∈ a y z /∈ b, o sea, x ⊆ a y x 6 ⊆ b, luego x ∈ Pa − Pb.
Ejercicios.
- Determine si a pertenecea , es subconjunto, o ni pertenece ni es subconjunto de alguno de los siguientes conjuntos. (a) {{a}, a} , (b) a , (c) ∅ ∩ a , (d) {a} − {{a}} , (e) {a} ∪ a , (f) {a} ∪ {∅}.
- Sea a un conjunto. Si para todo conjunto b se tiene a ∪ b = b, probar que a = ∅.
- Demostrar que : (a)
{{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f }} = {a, b, c, d, e, f }. (b)
{{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f }} = {a}. (c)
{a} = a =
{a} , para todo conjunto a. (d) (
a) ∩ (
b) 6 =
(a ∩ b).
- Probar que: (a) Si a ∩ c = ∅ , entonces a ∩ (b ∪ c) = a ∩ b. (b) Si a ∩ b = ∅ , entonces a − b = a. (c) Si a ∩ b = ∅ y a ∪ b = c , entonces a = c − b. (d) a ∩ (b − c) = (a ∩ b) − c. (e) (a ∪ b) − c = (a − c) ∪ (b − c). (f) Si a ∪ b = ∅ , entonces a = ∅ y b = ∅.
- Definamos 0 = ∅ , 1 = 0 ∪ { 0 } , 2 = 1 ∪ { 1 } , 3 = 2 ∪ { 2 } , 4 = 3 ∪ { 3 }. Entonces: (a) Probar que 0 , 1 , 2 , 3 y 4 son conjuntos. (b) Expresar 0 , 1 , 2 , 3 y 4 usando s´olo los s´ımbolos “ { ” , “ } ” , “ ∅ ” y “ , ”. (c) Decidir si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:
(i) 1 ∈ 2 (ii) 1 ∩ 2 = 0 (iii) (0 ∩ 2) ∈ 1 (iv) 1 ⊆ 2 (v) 1 ∪ 2 = 2 (vi)
(vii)
(d) Expresar los siguientes conjuntos usando los conjuntos 0, 1, 2, 3 y 4. Simplifique.⋃ ∅ , P∅ ,
∅ , PP∅ ,
∅ , PPP∅.
(e) Si a = {{ 2 , 3 }, 4 , { 4 }} , encontrar
a − 4). (f) Construir
(P 2 − 2).
(g) Si a = {{⋃ 1 , 2 }, { 2 , 0 }, { 1 , 3 }} , construir: a ,
a ,
a ,
a ,
a ,
a.
- Dar contraejemplo de P(a ∪ b) = Pa ∪ Pb.
- Probar que: (a)
Pa = a. (b) a ⊆ P
a. (c) No es cierto que si a ∈ b, entonces Pa ∈ Pb. (d) Si a ∈ b, entonces Pa ∈ PP
a. (e)
{Px : x ∈ a} ⊆ P
a. (f) {∅, {∅}} ∈ PPPa , para todo conjunto a. (g) Si Pa = Pb, entonces a = b.
- Se define a + b = (a − b) ∪ (b − a) , para a y b conjuntos. Probar que si a, b , c son conjuntos, entonces: (a) a + ∅ = a (b) a + a = ∅