Números y Conjuntos, Apuntes de Electrónica de las Telecomunicaciones

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Curso de conjuntos y n´umeros.

Apuntes

Juan Jacobo Sim´on Pinero

Curso 2013/

• I Conjuntos Indice general
• 1. Conjuntos y elementos
  • 1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.
  • 1.2. Pertenencia, contenido e igualdad.
  • 1.3. Operaciones con subconjuntos
    • 1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones
  • 1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias
• 2. Aplicaciones
  • 2.1. Relaciones y aplicaciones
  • 2.2. Tipos de aplicaciones
  • 2.3. Im´agenes directas e inversas
  • 2.4. Composici´on
    • 2.4.1. Inversa de una aplicaci´on biyectiva
• 3. Orden
  • 3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos
  • 3.2. Conjuntos bien ordenados.
• 4. Relaciones de equivalencia
  • 4.1. Conceptos b´asicos
  • 4.2. Clases de equivalencia
  • 4.3. El conjunto cociente y la proyecci´on can´onica
  • 4.4. Relaciones de equivalencia y particiones
• 5. Conjuntos num´ericos
  • 5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos
    • 5.1.1. Orden y operaciones aritm´eticas
  • 5.2. N´umeros enteros
  • 5.3. N´umeros racionales
    • 5.3.1. Escritura decimal de n´umeros racionales.
  • 5.4. N´umeros reales
  • 5.5. N´umeros complejos
    • 5.5.1. Forma exponencial de un n´umero complejo.
  • 5.6. Conjuntos numerables y no numerables 4 ´INDICE GENERAL
• 6. An´alisis combinatorio.
  • 6.1. Variaciones.
    • 6.1.1. N´umero de variaciones.
  • 6.2. Permutaciones.
  • 6.3. Combinaciones.
• II N´umeros y polinomios
• 7. El anillo de los n´umeros enteros.
  • 7.1. Artim´etica de los enteros.
    • 7.1.1. Divisi´on entera y m´aximo com´un divisor.
    • 7.1.2. M´ınimo com´un m´ultiplo
    • 7.1.3. La ecuaci´on diof´antica lineal
    • 7.1.4. N´umeros primos.Teorema Fundamental de la Aritm´etica
  • 7.2. Congruencias.
    • 7.2.1. Propiedades aritm´eticas de las congruencias
    • 7.2.2. Estructuras algebraicas.
    • 7.2.3. Algunas aplicaciones
  • 7.3. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson
  • 7.4. Teorema chino de los restos
• 8. Polinomios
  • 8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo.
  • 8.2. Ra´ıces de polinomios.
  • 8.3. Irreducibilidad y teorema fundamental del ´algebra.
  • 8.4. Factores m´ultiples.
  • 8.5. Polinomios irreducibles en Q[X].
• A. Ap´endice
  • A.1. La funci´on sucesor
  • A.2. Operaciones en N

Parte I

Conjuntos

Cap´ıtulo 1

Conjuntos y elementos

1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.

Comenzamos con la definici´on de conjunto de G. Cantor: Un conjunto es una colecci´on (dentro de un todo) de distintos objetos definidos por nuestra intuici´on o pensamiento Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepci´on intuitiva de los conjuntos.

La noci´on formal de conjunto corresponde con fundamentos de la ma- tem´atica que quedan fuera del alcance de nuestro curso.

Tambi´en queda fuera del alcance de este texto el concepto de pertenencia.

Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos elementos.

1.2. Pertenencia, contenido e igualdad.

Las colecciones a las que llamaremos conjuntos ser´an construidas de las si- guientes dos formas principales.

1. Por extensi´on: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo

A = {X 1 ,... , Xn,... } o A = {a, b, c,... }.

2. Por comprehensi´on: a trav´es de una f´ormula proposicional que siempre tendr´a, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, si B es un con- junto, A = {X ∈ B | p(X) (es verdadera) }. Cuando el conjunto B sea obvio qui´en es por el contexto, podemos no escribirlo.

8 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores determina un ´unico conjunto.

1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos.

1. A = {a, e, i, o, u} o A = {x | x es una vocal }.
2. A = { 2 , 4 ,... } o A = {x ∈ N | x es par }.

1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehensi´on y extensi´on, los siguientes conjuntos:

1. Los n´umeros naturales que son impares y menores que 20.
2. Las vocales de la palabra “murci´elago”.
3. Los n´umeros impares positivos.

1.2.3. Observaci´on. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura de comprehensi´on es importante. El “todo” de donde tomamos los elementos debe de ser, de antemano, un conjunto. De no ser as´ı, podemos tener problemas, como se muestra a continuaci´on. Sea U la colecci´on de todos los conjuntos y definimos

A = {x ∈ U | x 6 ∈ x}.

Si U fuese conjunto entonces A tambi´en lo ser´ıa y entonces es inmediata la siguiente proposici´on: A ∈ A si y solo si A 6 ∈ A, conocida como la paradoja de Russell. Lo que ocurre aqu´ı es que U no es un conjunto y por tanto, no podemos formar el conjunto A por comprehensi´on.

1.2.4. Notaci´on. Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a ∈ A. En caso contrario escribimos a /∈ A.

1.2.5. Inclusi´on. Sean A y B conjuntos. Decimos que A est´a contenido en B, o que A es subconjuntos de B si para todo elemento a ∈ A se tiene que a ∈ B. Se denota A ⊂ B y se expresa a ∈ A ⇒ a ∈ B Si A no est´a contenido en B entonces escribimos A 6 ⊂ B.

1.2.6. Observaci´on. Es claro que A 6 ⊂ B si y solo si existe a ∈ A tal que a 6 ∈ B.

1.2.7. Ejemplo. Sea I = {x ∈ N | x es impar } = {x ∈ N | x = 2n + 1 , con n ∈ N}, que a veces, para abreviar, escribimos { 2 n+1 | n ∈ N} (aunque esta escritura no estaba contemplada, se usa mucho y se entiende perfectamente, as´ı que podemos introducirla). Entonces I ⊂ N.

1.2.8. Notaci´on. Sean A y B conjuntos, tales que A ⊂ B. Si queremos destacar la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A ⊆ B. Cuando queremos poner ´enfasis en justo lo contrario, escribimos A ( B; lo expresamos como a ∈ A ⇒ a ∈ B pero ∃ b ∈ B tal que b 6 ∈ A.

10 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

1.3. Operaciones con subconjuntos

1.3.1. Uni´on. Sean A y B conjuntos. El conjunto

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

se conoce como la uni´on de A y B. Se escribe x ∈ A ∪ B si y s´olo si x ∈ A o x ∈ B. Lo contrario es x /∈ A ∪ B si y s´olo si x /∈ A y x /∈ B.

1.3.2. Ejercicio. Sea A un conjunto arbitrario. Probar que para cualquier con- junto B, se tiene que A ⊂ A ∪ B.

1.3.3. Intersecci´on. Sean A y B conjuntos. El conjunto

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

se conoce como la intersecci´on de A y B. Se escribe x ∈ A ∩ B si y s´olo si x ∈ A y x ∈ B. Lo contrario es x /∈ A ∩ B si y s´olo si x /∈ A o x /∈ B.

1.3.4. Ejercicio. Para los conjuntos A, B y C, probar las siguientes propieda- des:

1. Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces (A ∪ B) ⊂ C.

2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3. A ⊂ B si y s´olo si A ∪ B = B si y solo si A ∩ B = A
4. Como consecuencia, A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅.

1.3.5. Ejemplos. 1) Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hasta otener la m´axima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva. Sea U = R^2 , el plano eucl´ıdeo, A = {(x, y) ∈ U | x + y = 3}, B = {(x, y) ∈ U | x + y = 7} y C = {(x, y) ∈ U | x − y = 0}. Probar que A ⊂ B y que A 6 ⊂ C. M´as en general, si P (r) = {(x, y) ∈ U | x + y = r}, con r ∈ R, probar que P (r) ⊂ P (s) si y solo si r ≤ s. Finalmente, probar que si U es un conjunto arbitrario, A = {x ∈ U | p(x) } y B = {x ∈ U | q(x) }, entonces A ⊆ B si y solo si [p(x) ⇒ q(x)].

2. Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura com- prehensiva y el de listas. Para cualquier a ∈ N, se define N · a = {a, 2 a,... } = {x ∈ N | x = na, con n ∈ N}. En este caso, la escritura con lista parece m´as elegante que la comprehensiva. Tambi´en N · a ∩ N · b = N · mcm(a, b); pero la uni´on N · a ∪ N · b se escribe mal como lista.

1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11

Diagramas de Venn

En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprensi´on de los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas representan la uni´on e intersecci´on de dos conjuntos A y B contenidos en otro conjunto, digamos U.

U A B

Uni´on

U

A B

Intersecci´on

Leyes distributivas.

1.3.6. Proposici´on. Sean A, B y C conjuntos. Entonces

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Demostraci´on. Probaremos la primera, la otra se deja como ejercicio. ⊆] Sea x ∈ A ∩ (B ∪ C). Entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C; es decir, x ∈ A y adem´as x ∈ B o x ∈ C. Ahora separamos en dos casos. Primero, x ∈ A y x ∈ B, de donde x ∈ A ∩ B. El otro es x ∈ A y x ∈ C, de donde x ∈ A ∩ C. No hay m´as casos y por tanto x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). ⊇] Si x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) entonces x ∈ A y x ∈ B o bien x ∈ A y x ∈ C. Luego x ∈ A en ambos casos y as´ı, x ∈ A y adem´as x ∈ B o x ∈ C, de donde x ∈ A ∩ (B ∪ C). Vamos ahora con la segunda. ⊆] Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C). Tenemos dos casos. Primero, si x ∈ A entonces x ∈ A ∪ B y adem´as x ∈ A ∪ C (Ejercicio 1.3.2) luego x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Ahora, si x 6 ∈ A entonces x ∈ B ∩ C entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C (otra vez Ejercicio 1.3.2) y por tanto x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ⊇] Sea x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Consideramos dos casos. Primero, si x ∈ A entonces x ∈ A ∪ (B ∩ C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, si x 6 ∈ A entonces x ∈ B y adem´as x ∈ C por lo que x ∈ B ∩ C, de donde x ∈ A ∪ (B ∩ C).

1.3.7. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de conjuntos es la colecci´on

A \ B = {X | X ∈ A y X 6 ∈ B}.

Expresado como diagrama de Venn

1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 13

U

A B

(A ∩ B)∁^ = A∁^ ∪ B∁

U

A B

(A ∪ B)∁^ = A∁^ ∩ B∁

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones

Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de ejemplos. Sean N el conjunto de los n´umeros naturales y P el conjunto de los n´ume- ros pares positivos. Definimos, para cada n ∈ N, An como el conjunto de los m´ultiplos pares de n; es decir An = {x ∈ P | (^) nx ∈ N}.

Entonces, la colecci´on C = {An}n∈N no es conjunto porque, por ejemplo, Ap = A 2 p, para todo primo impar. En este caso, decimos que C es una familia (de conjuntos).

A´un as´ı, es claro que podemos considerar su uni´on e intersecci´on y respe- tar´a las leyes habituales de conjuntos. Otro ejemplo es el siguiente. Consid´erese p 1 (X) = X^3 − X^2 + X − 1 y p 2 = X^3 + X^2 − 2. Sean R 1 y R 2 los conjuntos de ra´ıces reales de p 1 (X) y p 2 (X) respectivamente, y R = {R 1 , R 2 }. En principio, no podemos asegurar que R sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia 1 ∈ R 1 ∪ R 2.

1.3.11. Definici´on. Una familia de conjuntos es una colecci´on {Ai | i ∈ I}, donde I es un conjunto y Ai son conjuntos.

Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto, si no, una familia.

14 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias

Comenzamos con la uni´on. Al ser una operaci´on binaria y asociativa, po- demos extenderla a una colecci´on finita de uniendos. As´ı, si A 1 ,... , An son conjuntos se tiene que

⋃^ n

i=

Ai = {x | x ∈ Ai para alguna i ∈ { 1 ,... , n}}.

Cuando la colecci´on sea infinita, tambi´en habr´a uni´on, pero ya no es una consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Ser´a una nueva definici´on. Veamos la versi´on m´as general. Nos viene a decir que las uniones m´as gene- rales ser´an conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a un conjunto.

1.3.12. Uni´on arbitraria. Sea C un conjunto cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La uni´on arbitraria es el conjunto

∪C = {x | x ∈ A, para alg´un A ∈ C}.

En el caso de las familias, si I es un conjunto de ´ındices y C = {Ai | i ∈ I} = {Ai}i∈I , entonces escribimos

∪C =

i∈I

Ai = {x | x ∈ Ai para alg´un i ∈ I}.

Al igual que sucede con la uni´on, podemos definir la intersecci´on finita en conjuntos y familias. Si A 1 ,... , An son conjuntos entonces la intersecci´on es el conjunto ⋂n

i=

Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ { 1 ,... , n}}.

1.3.13. Intersecci´on arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La intersecci´on arbitraria es el conjunto

∩C = {x | x ∈ A, para todo A ∈ C}.

En el caso de las familias, si I es un conjunto de ´ındices y C = {Ai | i ∈ I} = {Ai}i∈I , entonces escribimos

∩C =

i∈I

Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ I}.

1.3.14. Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y consideramos el conjunto de las partes de A, que denotamos P(A). Sea C = {{a, b}, {b, c}}. Entonces

C = A.

C = {b}.

16 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripci´on en t´erminos de conjuntos para la expresi´on (a, b, c). M´as adelante le daremos sen- tido, con un concepto m´as general, el de producto directo.

1.4.6. Proposici´on. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces

A × ∅ = ∅ × A = ∅.

Demostraci´on. Supongamos que A × ∅ 6 = ∅. Entonces existe una pareja (a, b) ∈ A × ∅, con b ∈ ∅. Pero eso es imposible. El otro producto es completamente an´alogo.

1.4.7. Observaci´on. De la propia definici´on de pareja ordenada se desprende que si A y B son conjuntos puede ocurrir que A × B 6 = B × A.

1.4.8. Ejercicios.

1. Sea A = 1, 2 , 3 y B = a, b. Formar el producto cartesiano.
2. Probar que A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
3. Probar que A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

Ahora vamos expresar en t´erminos de conjuntos la noci´on de relaci´on (o correspondencia) entre dos objetos.

1.4.9. Definici´on. Sean A y B conjuntos. Una relaci´on binaria (o correspon- dencia) entre elementos de A y de B es un subconjunto R ⊆ A × B. Cuando (a, b) ∈ R decimos que a est´a relacionado con b (dicho en ese orden) y escribimos aRb. Cuando ocurra A = B, diremos simplemente que R es una relaci´on en A.

1.4.10. Observaci´on. Algunos autores obligan a que las relaciones sean con- juntos no vac´ıos. Otros reservan el t´ermino relaci´on para correspondencias en un solo conjunto.

Si no causa confusi´on, diremos relaci´on en vez de relaci´on binaria.

1.4.11. Observaci´on. N´otese que puede ser que un elemento a est´e relacionado con otro b, pero no rec´ıprocamente.

1.4.12. Ejemplos. 1. Si A = ∅ y B es arbitrario, entonces A × B = ∅ y por lo tanto, la ´unica posible relaci´on entre A y B es la vac´ıa.

2. Sean A y B conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que pueden coincidir), una es el vac´ıo y la otra es la total.
3. Sea R ⊂ R^2 la relaci´on dada por

R =

(x, y) ∈ R^2 | x ≤ y

es decir, xRy ⇔ x ≤ y.

1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS 17

4. Sea R ⊆ Z^2 × Z^2 tal que

(a, b)R(a′, b′) ⇐⇒ ab′^ = a′b.

5. Sea A un conjunto. La “diagonal” de A^2 ; es decir, (a, b) ∈ R ⇔ a = b, es una relaci´on (la igualdad).
6. Sea R ⊆ Z^2 la relaci´on dada por aRb ⇔ a | b (a divide a b; o bien, b es m´ultiplo de a, v´ease 7.1.6).
7. Sea R ⊆ R^2 la relaci´on dada por xRy ⇔ y = x^2 + 1. En este caso R = {(x, y) ∈ R^2 | y = x^2 + 1} y podemos dibujarla en el plano.

1.4.13. Definici´on. Sean A y B, conjuntos, y R una relaci´on entre A y B.

1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial.
2. Al conjunto B se le llama conjunto final.
3. Se conoce como dominio de la relaci´on, al conjunto

DomR = {a ∈ A | ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R}.

4. Se conoce como imagen de la relaci´on, al conjunto

ImR = {b ∈ B | ∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R}.

1.4.14. Ejemplo. Sea R ⊂ R^2 tal que

(x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y^2 − x y

Se puede comprobar que DomR = R y que ImR = R \ { 0 }.

Podemos representar las relaciones en gr´aficas planas, como se hace en el c´alculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} y consid´erese la relaci´on R = {(a, b′), (a, c′), (b, c′)}. La grafica es

a′

b′

c′

d′

a b c

Un ejercicio interesante es estudiar la relaci´on entre la forma de las gr´aficas y las propiedades de las relaciones.

Cap´ıtulo 2

Aplicaciones

2.1. Relaciones y aplicaciones

En cursos anteriores hemos visto que una aplicaci´on es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. M´as actualmente, en cap´ıtulos anerio- res hemos expresado el concepto de correspondencia en t´erminos de conjuntos. Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicaci´on en t´erminos de conjuntos.

2.1.1. Definici´on. Sean A y B conjuntos. Una aplicaci´on entre A y B es una relaci´on f ⊂ A × B que cumple la siguiente propiedad:

Para todo a ∈ A, existe un ´unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. O bien, si (a, b) y (a, c) pertenecen a f , entonces c = d.

N´otese que esta definici´on en realidad no difiere de la que hemos visto en estudios previos. Estamos diciendo, en t´erminos de conjuntos, que una aplicaci´on es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B, que satisfacen que para todo a ∈ A existe un ´unico elemento b ∈ B que le corresponde.

2.1.2. Notaci´on. Sean A y B conjuntos y f una aplicaci´on de A a B. Escri- bimos entonces f : A → B o A f −−→ B.

Adem´as, si a ∈ A y (a, b) ∈ f , como b es ´unico podemos escribir

b = f (a).

En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f (a), que tambi´en lla- mamos regla de corespondencia, a trav´es de ecuaciones. Por ejemplo, podemos definir f : N → N tal que f (n) = n^2. Cuando partimos de una ecuaci´on como por ejemplo y = x^2 + 1 y queremos interpretarla como la regla de una relaci´on, la llamamos funci´on^1 y tenemos que

(^1) Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones.

20 CAP´ITULO 2. APLICACIONES

determinar su “dominio de definici´on” es decir, el mayor conjunto que puede ser el dominio con el que podemos interpretar y = x^2 + 1 como la regla de correspondencia de una aplicaci´on. Existen diversas maneras de representar gr´aficamente a las aplicaciones. Va- mos a ver dos de ellas. La primera muy t´ıpica: Sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} conjuntos. Representamos la aplica- ci´on f : A → B tal que f = {(a, a′), (b, c′), (c, d′)} como

A B

a •

b •

c •

• a′
• b′
• c′
• d′

f

La siguiente es la gr´afica habitual de las coordenadas, que ya hemos visto para relaciones.

a′

b′

c′

d′

a b c

Otra gr´afica habitual es la de la funci´on y = x^2 + 1

2.1.3. Observaci´on. En ocasiones, sobre todo en el c´alculo y la topolog´ıa, se suele identificar la aplicaci´on con la regla de correspondencia y a la propia aplicaci´on con la gr´afica (o grafo).

2.1.4. Observaci´on. Como hemos dicho, una aplicaci´on es una relaci´on, que escribimos f : A → B. De este modo tenemos

1. El dominio de f , que es Domf = A. Es decir, el dominio coincide con el conjunto inicial, as´ı que ´este ´ultimo t´ermino ya no se usa.
2. La imagen (o imagen directa) de f , que es Imf = f (A) ⊆ B.

Adem´as, tenemos otras definiciones.

2.1.5. Definici´on. Sean A y B conjuntos y f : A → B.

1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f.