operaciones entre matrices, Esquemas y mapas conceptuales de Álgebra Lineal

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ALGEBRA LINEAL

OPERACIONES CON MATRICES

OPERACIONES ENTRE MATRICES

Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces la suma A+B es la matriz obtenida al sumar los elementos de la matriz A con los elementos correspondientes de la matriz B; es decir A+B=[ a ij+ b ij]. De igual manera se procede con la resta A-B es la matriz obtenida al restar los elementos de la matriz A con los elementos correspondientes de la matriz B. No es posible sumar o restar matrices con tamaños diferentes.

PROPIEDADES DE LA SUMA

Al igual que en los números las matrices comparten propiedades con respecto a la operación suma con la restricción que solo podemos operar matrices del mismo tamaño. Así que si A, B y C son matrices del mismo tamaño tenemos las siguientes propiedades :

1. Clausurativa Establece que la suma de matrices del mismo tamaño da como resultado una matriz del mismo tamaño.

2. Conmutativa Establece que no importa el orden como se sumen las matrices A + B = B + A

3. Asociativa .Establece que para sumar mas de dos matrices basta con agrupar y sumar primero dos y sumar el resultado a la tercera sin importar la forma como se agrupen A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

4. Modulativa .Establece la existencia de una única matriz D del mismo tamaño de A tal que A + D = A. Es fácil de probar que dicha matriz D debe ser la matriz nula del mismo ta-mano de A.

5. Invertiva .Establece que para toda matriz A existe una única matriz D tal que A + D = O. Dicha matriz D se conoce como inversa de A para la suma y se denota - A. Es fácil de probar que si A = [ai, j] entonces - A = [-ai, j]

6. ( A nxm + B nxm) T^ = A nxm T^ + B nxm T

7. Tr ( A nxm + B nxm) = Tr ( A nxm) + Tr ( B nxm T^ )

PRODUCTO DE MATRICES

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR:

Sean A nxm y k un escalar, se define el producto de la matriz A por el escalar k ; a la matriz kA de orden nxm; kA=(k a ij) EJEMPLOS :

1. Sea A =

encontrar 3A 3A = 3 x1 3 x 3 x2 3 x (- 1 ) 3 x3 3 x

2. Sea A =

encontrar 2/3 A 2 / 3 A= 2 / 3 x 3 2 / 3 x (- 2 ) 2 / 3 x 5 2 / 3 x 3 / 5 2 / 3 x 2 2 / 3 x 6

2. Ana y Beto planean ir a comprar fruta para la semana siguiente. cada uno de ellos desea comprar algunas manzanas,fresas y naranjas, pero en diferentes cantidades, la siguiente tabla enumera lo que desean adquirir. fruta manzana fresa naranjas Ana 6 3 10 Beto 4 8 5 Existen dos supermercados, supermercado A, supermercado B, de fruta cercano, sus precios se proporcio- nan en la siguiente tabla, ¿Cuánto costara a Ana y a Beto hacer sus compras en cada supermercado? supermercado supermercado A supermercado B manzana 100 150 fresa 400 300 naranja 100 200 EJEMPLO Encontrar la matriz X tal que: ( 3 A + 1 / 2 X)T^ = 3 I 2 x2 - Tr (A) BT donde A =

y B 2 x2 tal que bij = i + j i ≠ j 2 j - i i = j OPERACIONES ENTRE MATRICES.nb 7

PRODUCTO DE MATRICES Para definir el producto de matrices, Primero definiremos el producto de matriz vector fila por matriz vector columna. para esto vamos a considera la matriz fila F 1 xn y la matriz vector columna C nx1, la cantidad de colum- nas de la matriz F debe ser igual al número de filas de la matriz C. F = ( f 11 f 12 f 13 ... f 1 n ) C= c 11 c 21 ... c n Se define el producto de la matriz F por la matriz C como: F. C = ( f 11 f 12 f 13 ... f 1 n ). c 11 c 21 ... c n = f 11. c 11 + f 12. c 21 + c 31 f 13 ... c n1. f 1 n que corresponde a una matriz de orden 1x Ejemplo Sea F 1 x5 y C 51 F = ( 4 - 2 × 9 × 6 × 1 ) C=