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Un capital de Bs X fue colocado en una institución bancaria que paga a sus cuentas de ahorro un
interés del i% anual, durante dos años; luego capital e intereses fueron transferidos a una cuenta a
plazo fijo durante 5 años con un interés del 12%
anual.
Si el dinero al término de los 7 años se duplicó, utilice las tablas que aparecen al final de su
texto para determinar:
a) El interés al cual se colocó el capital inicialmente.
b) El monto transferido a la cuenta a plazo fijo, si el capital X es de Bs 10 000.
2. Si se coloca en una cuenta de ahorros un capital de Bs 250 000 a una tasa de interés del 6%
anual con capitalización semestral y al final del primer año es retirado el 80% de los intereses
devengados, ¿cuál es el capital acumulado al final del tercer año?
3. Calcule el monto compuesto de Bs 600 000 en 4 años 8 meses al 6% con capitalización anual.
4. Un acreedor de una sociedad en liquidación acepta que se le pague al contado el 75% del
valor de dos pagarés a cargo de la sociedad; un de Bs 100 000 está vencido desde hace un año
y el otro, con valor nominal de Bs 250 000, vence dentro de dos años; si el rendimiento
convenido es del 30% con capitalización trimestral, halle la suma que recibe el acreedor.
5. * En el cuerpo dedicado a economía de un diario de circulación nacional, fue insertado el
siguiente comentario:
“La tasa de interés para las prestaciones sociales
subió al cierre de junio 4,57 puntos para
ubicarse en 51,22%, apunta el boletín de
indicadores del BCV.”
Suponga que la tasa de interés señalada es la efectiva anual y que el alza registrada es con
respecto a la tasa para el mes de mayo. Calcule las tasas nominal y efectiva para el bimestre
mayo - junio.
6. Si depositamos en un banco que paga el 18% efectivo anual una cantidad C durante 10 años,
al final de los cuales retiramos la mitad de lo depositado dejando la diferencia por 5 años,
después de los cuales retiramos la mitad de lo que tenemos para esa fecha, dejando el resto
por 5 años más, tendremos al final 1 238 805,84 bolívares.
¿Qué cantidad depositamos inicialmente?
7. ¿Cuál será el valor actual de un pagaré, si su valor nominal es de Bs 250 000, la tasa de
descuento es del 5% trimestral y vence en 5 años?
8. Una persona contrajo con un banco el 1 de julio de 1981 una deuda de Bs 300 000, la cual
debería cancelar en 8 años pagando intereses del 18% anual con capitalizaciones trimestrales.
El día 1 de julio de 1985 la deuda es transferida a una entidad financiera, con intereses del
7% anual y capitalizaciones trimestrales. ¿Cuál es el monto del traspaso a la entidad
financiera?
9. ¿En cuánto tiempo un capital igual a Bs 250 000 dará un monto igual a Bs 3 500 000 si la
tasa de interés es del 12% convertible trimestral?
10. * Una persona compra un autobús que cuesta Bs 61 900 881, pagando el 30% de cuota inicial
y amortizando el resto en 42 meses a la tasa del 18% anual mediante pagos mensuales
iguales.
a) Calcular a cuánto asciende el monto de cada pago.
b) Calcule cuánto tiene que pagar de intereses y cuál es el valor que pagará en definitiva
por la compra del autobús.
[Tips… Utilice la tabla VI que aparece en su texto UNA ]
11. Una empresa contrae una deuda de Bs 250 000 con un banco que cobra un interés compuesto
del 14% anual con capitalizaciones semestrales. Transcurridos 3 semestres la empresa
cancela Bs 100 000 y conviene liquidar el saldo restante al término de los 2,5 años siguientes.
Calcular el monto de este pago final utilizando como fecha de comparación la
correspondiente al pago final.
12. Una fábrica contrae, en un momento dado, deudas de Bs 100 000 para pagar en 6 semestres
con un interés compuesto capitalizado al 6% semestral y de Bs 250 000 para ser cancelada en
9 semestres con una tasa de interés compuesto del 7% semestral. Posteriormente, la fábrica
acuerda cancelar ambas deudas mediante la realización de dos pagos iguales a efectuar al
finalizar el 4° y 7° semestre respectivamente después de la fecha del contrato inicial.
Usando como fecha de comparación el final del segundo año, determinar cuál es el monto de
estos pagos, sabiendo que, en la nueva forma de pago, se acepta una tasa de interés
compuesto del 8% semestral.
13. Una empresa adquiere una maquinaria para ser cancelada en 6 cuotas anuales y consecutivas
de Bs 20 000, pero luego de haber hecho los 2 primeros pagos decide, en un acuerdo con la
compañía otorgadora del crédito, cancelar el resto de la deuda en 2 cuotas iguales. La primera
al finalizar el tercer año y la segunda al comenzar el sexto año. Sabiendo que la tasa de
interés utilizada en la primera forma de pago es del 10% y en la segunda del 10,5%, calcular,
utilizando como fecha focal la correspondiente al último de los pagos realizados, el monto de
las cuotas en la nueva forma de pago. [Tips… Utilice las tablas que aparecen en su texto
UNA ]
14. Una persona contrae una deuda y conviene pagarla en 3 cuotas anuales X consecutivas e
iguales durante los 3 siguientes años, contados a partir de la fecha del convenio y al final de
cada uno de ellos.
Ocho meses después de haber contraído la deuda acuerda con la empresa que le otorgó el
préstamo pagar en 2 cuotas iguales. La primera dos años después del convenio inicial y la
segunda al final del tercer año. Sabiendo que una cuota en la nueva forma de pago equivale a
13/8 de una cuota en la forma de pago inicial, calcular la tasa de interés i utilizada en la nueva
forma de pago.
[Tips… Considere 185 13,6 ]
15. Una persona desea cambiar tres documentos con valores nominales de Bs 3 000, 4 000 y 8
000 pagaderos en 3, 4 y 5 años respectivamente, por otro documento con valor nominal de Bs
15 000. Sabiendo que la tasa de interés compuesto utilizada es del 14%, determinar la fecha
de vencimiento del nuevo documento, usando como fecha de comparación la correspondiente
al quinto año.
[Tips… Considere en sus cálculos log(0,897253) = 0,047 y log(1,14) = 0,057 ]
Por otra parte:
para i =
i'
M = C ( 1 i )
n
, ( ¿Por qué? ) y n = 12x5 = 60 meses.
Sustituyendo, queda:
de aquí que:
C = C
i'
60
i'
60
i'
60
1/ 6 0
i'
i’ 0,12186.
Por lo tanto, la tasa de interés a la cual fue colocado el capital de Bs 10 000 000 fue i’
= 12,186% anual.
21. Pedro Pérez firma un documento comprometiéndose a pagar Bs 1 000 000 en 5 años, más
intereses al 44% nominal anual con capitalización trimestral.
Transcurridos 2 años el acreedor vende el documento a una Financiadora. ¿Cuánto pagó la
Financiadora por el documento si la tasa de interés era del 48% anual con capitalización
mensual?
Solución:
Calculemos el monto M que tendrá que pagar Pedro Pérez en 5 años, para lo cual
usaremos la fórmula M C
1 i
n
, C = 1 000 000 intereses del 44% anual con
capitalización trimestral y n = 5x4 = 20 trimestres.
Sustituyendo:
M = 1 000 000 1,1 1
Ahora bien, queremos el valor actual de este monto dos años después de la firma, es decir,
tres años antes de su vencimiento.
EL valor actual viene dado por: C = M 1 + i
n
, donde M = 8 062 311,53613 ;
i
4% 0,04 y n = 3x12 = 36 ; luego
C 8 062 311,5363 1 1,0 4
que es la cantidad que la financiadora pagó por el documento.
22. Me otorgan un préstamo de Bs 41 250 000 a una tasa nominal de 24% capitalizable
mensualmente y a pagar a los 8 meses. Si mi acreedor va a un banco 40 días antes de su
vencimiento y descuenta el pagaré a una tasa simple de descuento del 27,84%, ¿cuánto dinero
recibe?
Solución:
Comencemos por calcular el monto M que debo cancelar para pagar mi deuda de Bs 41
250 000 dentro de 8 meses.
M = 41 250 000 ( 1 0,02 )
8
8
Calculemos ahora la cantidad de dinero que recibe mi acreedor luego de ir al banco y descontar
éste el pagaré.
Sea C la cantidad de dinero que recibe mi acreedor, por lo tanto, en virtud de la fórmula: A =
C( 1 – rt )
A = 48 330 975
1 0,2784x
23. Depositamos en un banco que paga el 6% anual con capitalización anual una cierta cantidad durante 10 años. Al finalizar los 10 años, retiramos la mitad de la
cantidad depositada inicialmente y volvemos a colocar la diferencia por otros 10 años, obteniendo un monto de Bs 26 480 000. Determine el capital inicial.
Solución:
Por una parte tenemos:
M = C( 1 0,06 )
10
= C( 1,06 )
10
y por otra
M
C
10
Sustituyendo 1 en 2 queda:
C 1,06
C
10
( C( 1,7908 ) – 0,5C )( 1,7908 ) = 26 480 000
2,3116C = 26 480 000
C = 11 455 467,3035.
24. Una persona depositó hoy en un Banco Bs 100 000, al cabo de 4 años después deposita Bs 50 000, y 5 años después deposita Bs 100 000. Determine el monto
acumulado al cabo de 20 años, a partir de hoy, si durante los primeros 7 años los intereses se acumulan anualmente a la tasa del 20%, durante los próximos 7
años los intereses se capitalizan bimestralmente al 4% bimestral, y de ahí en adelante se capitalizan mensualmente al 3% mensual.
25. Las tasas de interés para las prestaciones sociales para el primer semestre del año 1 999 dadas por el BCV según un artículo de un diario capitalino, publicado en
el mes de agosto son:
Enero:
Febrero:
Marzo: 18,12%
Abril: 18% Mayo: 18,72% Junio: 20,55%
Suponga que las tasas dadas son las efectivas anuales y que se espera un rendimiento del 12% efectivo anual para el segundo semestre del año.
Calcule la tasa efectiva e esperada para el año.
Solución:
Tenemos que:
( e 1)
12
= ( e 1
1)( e 2
1)( e 3
1)( e 4
1)( e 5
1)( e 6
1)( e 7
6
donde:
( e 1
1) = 1,2414 ; ( e 2
1) = 1,2076 ; ( e 3
1) = 1,1812 , ... , ( e 7
Por lo tanto:
( e 1)
12
6
( e 1)
12
= 5,9026 e 1 1,
Así, la tasa efectiva e esperada para el año 1.999 es:
28. El 3 de septiembre de 1984, el señor Octavio Batta adquiere unos artículos en cierto
establecimiento comercial, firmando un pagaré con valor inicial de Bs 180 000 que vence en
18 meses y devenga un interés del 24% capitalizable semestralmente. El 3 de diciembre de
1984 el establecimiento vende el pagaré del señor Batta a una empresa financiera que lo
descuenta al 32% convertible trimestralmente. ¿En cuánto se vendió el pagaré?
Por lo tanto, la tasa de interés a la cual fué colocado el capital de Bs 10 000 000 fué i’
= 12,186% anual.
29. ¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 5 años si se invierten Bs 8
000 000 al 2,06% mensual con intereses capitalizables bimestralmente?
[Tips… Use todos los decimales dados por su calculadora ]
Solución:
Lo que se pide es calcular el monto, pero antes de hacer eso, debemos transformar la tasa
dada mensualmente en una tasa bimestral, que es la forma en la que capitalizan los intereses.
Para calcular la tasa bimestral usaremos la fórmula:
e = ( 1 i )
p
con i la tasa dada y p = 2 por ser la capitalización bimestral.
Sustituyendo, nos queda:
e = ( 1 0,0206 )
2
2
- 1 = 0,04162436 = 4,162436% bimestral.
Calculemos ahora el monto.
M = 8 000 000( 1 + 0,04162436 )
30
30
[Comentario… Para calcular la tasa bimestral se pudo haber razonado así:
El monto producido por los Bs 8 000 000 a una tasa i ( a determinar ) durante un bimestre,
debe ser igual al monto producido por esos mismos Bs 8 000 000 a la tasa dada del 2,06%
mensual durante 2 meses, esto es:
8 000 000( 1 i ) = 8 000 000( 1 0,0206 )
2
de esta igualdad resulta que i = 4,162436% bimestral ]
30. Un capital de Bs 10 000 000 se coloca durante cierto número de años a capitalización
compuesta a una tasa de interés del 12% anual, obteniéndose un monto de Bs 17
Calcule el número de años que duró esta operación.
Solución:
Puesto que M = C( 1 i )
n
, despejando n tenemos:
Ln
M
n =
C
Sustituyendo
Ln
Ln 1 i
Ln1,7623
Ln 1 0,
Ln 1,12
n =
Entonces, puesto que C = M - D c
= 2 250 000 y como C = M( 1 – d )
n
, resulta:
n
De donde:
n
n
Log( 0,9 ) = nlog(0,925),
con lo cual resulta que:
n =
log(0,9)
log(0,925)
1,35 trimestral.
34. Dos personas colocan un capital en un negocio, la primera persona colocó Bs 1 000 000 y la
otra Bs 2 000 000, conviniendo en las siguientes condiciones. Al capital se le reconocerá el
14% semestral con capitalización semestral, el exceso de las utilidades se repartirá en las
siguientes proporciones, 30% a la primera persona y el resto a la segunda. El beneficio total
fue de Bs 10 000 000, después de 5 años. ¿Cuál fue la tasa de cada capital?
35. Si se coloca en una cuenta de ahorros un capital de Bs 2 000 000 a la tasa de interés del 12%
anual con capitalización bimestral y al final del primer año es retirado el 80% de los
intereses devengados, ¿cuál es el capital acumulado al final del tercer año?
Solución:
Determinemos primero el monto M 1
al cual se le va a restar el 80% de los intereses
devengados, luego el 20% que resta de los intereses se lo sumamos al capital inicial, y así
obtenemos un nuevo capital C 1
, el cual nos servirá para calcular el monto el resto del
periodo, esto es, los dos años que faltan.
Por lo tanto:
Luego:
M
1
6
I = M
1
C = 2 252 324,83852 2 000 000 = 252 324,83852.
Calculemos el 80% de I, esto es:
Ix80% = 252 324,83852x0,8 = 210 859,870816.
El nuevo capital que nos va a servir para calcular el monto es:
C
1
donde:
Así:
M = 2 050,967704(1 + 0,02)
12
[Comentario… El interés I se pudo haber calculado usando que: I = C[(1 + i)
n
1] ].
36. Una persona dispone de un capital de Bs 12 000 000 y quiere dividirlo en dos partes
diferentes C A
y C B
de manera que al colocarlos en dos entidades bancarias A y B las cuales
ofrecen las siguientes tasas de interés compuesto anual 6,5% y 8% respectivamente le
produzcan al cabo de 9 años y 11 años respectivamente los mismos montos.
Calcular cada uno de estos capitales C A
y C B
y calcular cuál es el monto M que producirán
cada uno de ellos.
[Tips… Utilice sólo 5 decimales de los valores que proporciona su calculadora ]
Sustituyendo [ 1 ] y [ 2 ] en [ 3 ], obtenemos:
M
A
1 500 000 = (10 000 000 – C
A
15
[ 5 ]
sustituyendo ahora [ 4 ] en [ 5 ] queda:
C
A
30
1 500 000 = (10 000 000 – C
A
15
C
A
30
1 500 000 = (10 000 000 – C
A
15
C
A
30
15
– C
A
15
C
A
30
C
A
15
15
( 2,427 )C
A
( 4,177 )C
A
( 6,604 )C
A
C
A
38. Se depositan Bs 10 000 000 en una cuenta que paga el 23% capitalizable cada 91 días. La
tasa se mantiene constante durante 2 años. Al cabo de ese tiempo, la tasa cambia al 20%
capitalizable cada mes. Obtenga el monto después de 2 años más. Utilice año comercial.
Solución:
Queremos calcular el monto M producido por una capital inicial de Bs 10 000 000. Como se
puede notar del enunciado, este problema consta de dos partes, en la primera de ellas
tenemos que la capitalización es cada 91 días por un lapso de dos años, y en la segunda,
tenemos que la capitalización es mensualmente.
Es de hacer notar que el capital que se usará para la segunda parte del problema es el monto
obtenido en la primera.
- Primera parte:
C
1
i 1
= 23% cap. cada 91 días 5,8058% cada 91 días t 1
= 2 años 7,9120 períodos de 91 días
M’ =?
Por lo tanto:
M’ = 10 000 000( 1 0,0581 )
7,
- Segunda Parte:
C
2
= M’
I
2
= 20% cap. mensualmente 1,6666% mensual t 2
= 2 años = 24 meses
M =?
Por lo tanto:
M = 15 633 000( 1 0,0166 )
24
39. Un capital de Bs 10 000 000 fue colocada al iniciar el año, determinar cuánto se tiene
acumulado a fin de año si la tasa de interés empleada en la operación fue del 36% nominal
capitalizable trimestralmente.
Solución:
Empleando la hoja de cálculo electrónica Excel. Pasos
a seguir:
Hacer clic en el menú insertar
Una vez dentro del menú insertar, hacer clic en función
Dentro del menú insertar función, seleccionar la categoría “Financieras”
efectuando es un egreso, una inversión); Tipo: en este caso el programa toma por defecto “0” (dicho valor es omitido) para indicar que el pago es al
final del período
Hacer clic en “Aceptar “ para terminar
La fórmula en Excel queda de la siguiente forma:
=VF(0,09;4;;10000000).
[Sugerencia… Resolver el ejercicio usando fórmulas ]
40. Si por una inversión nos pagan el 1% mensual efectivo, ¿cuál será la tasa efectiva trimestral que deberán pagarnos si cambia de este modo el régimen de
capitalización de intereses?
Solución:
Para dar respuesta a esta pregunta emplearemos la fórmula:
i
p
e = 1
p
Primero calcularemos la tasa efectiva anual, ésta la usaremos como tasa intermedia. e = ( 1 0,01 )
12
= 12,6825% efectivo anual.
Luego por aplicación nuevamente de la fórmula antes mencionada, calcularemos haciendo uso de esa tasa intermedia la tasa efectiva trimestral.
i
1 i = 4
i = 4 1,030301 1
i = 4 0,030301 = 0,
i = 0,121204 = 12,1204%
i = 12,1204% convertible trimestral.
Por lo tanto, la tasa efectiva trimestral es:
i =
[ Vale la pena mencionar que no es la única forma de calcular la tasa ]
41. Tres capitales de Bs 1 000 000, cada uno se coloca al 6% anual con capitalización anual, el primero durante n años, el segundo durante ( n 1 ) años y el
tercero durante ( n 2 ). Entre los tres capitales se obtuvo un interés de Bs 4 008 735. Calcular el tiempo que estuvo colocado el primer capital.
DESCUENTO COMPUESTO
