Optimizacion, Apuntes de Matemática Empresarial

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OPTIMIZACIÓN 1 Diferencial segunda Dada una función f: R” —= R, se definen las derivadas segundas de f por 2 1 = j escribimos Análogamente se definen las derivadas terceras, cuartas, etc. Ox; Fes de clase C? ten todas las deriva de f hasta orden r y son funciones continuas. Proposición 1 (Lema de Schwarz) Si f es de clase C?, entonces las derivadas segundas son simétri- , f cas, es decir, > Oxit Se llama matriz Hessiana de f en d a la matriz H f (a) cuyas componentes son las derivadas segundas de f en á. Por el Lema de Schwarz H f(d) es una matriz Definición 1 Una función es 2 veces diferenciable en á si > 2 la A - Slá+h)= (4) +VI(ád)-h+ O + o(118112). La forma cuadrática 2f(4): B” > R. 2 f(6)(1) = RU f(a)h se denomina diferencial segunda de f end. La función p() de grado 2 de f en Si f os ce clase C? Fa) AV f(a)-( 'e tiene f(4) : F es dos veces diferenciable, Hd) H f(4)—d) se denomina polinomio de Taylor all?) (aproximación de segundo orden). 2 Puntos críticos. Extremos libres Definición 2 Dada una función f: R" —R, un punto € R” es - punto crítico de f si Vf(á) =0. - máximo local de f si existe r >0 tal que f(3) < f(á) para todo E con d(%,á) < - mínimo local de f si existe r >0 tal que f(%) > f(á) para para todo Y con d(%, r. d) R una función convera (re: todo punto crítico es un mánimo global (resp. máximo global). cóncava) en R". Entonce HL(a,X) = para los valores de d y Á que conocemos. Entonces, — estudiamos el signo de la restric T= (ñ ER"/Vgla)-Ñ dientes de las restric Si esta restricción es definida negativa, el punto d es un má es un mínimo restringido, y si es indefinida un punto de silla restringido. ión de HE(á.X) al subespacio Vga) = 0) formado por los vectores perpendiculares a los gra- iones. no restringido, si es definida positiva 4.1 Interpretación de los multilicadores de Lagrange. El multiplicador de La ón del valor de la función en el punto crítico al variar b;. Por ejemplo, consideremos un problema con una sola restricción: ange Aj mide la variac Optimizar f(01 gl Ln) s un punto crítico restringido, con multiplicador Ap, y y estudiamos lo que pasa al variar b. Si dy definimos la función F(0) = f(,), entonces se tiene dE 7 A Por tanto, si inerementamos b en una cantidad AD, el valor de la función en el punto crítico aumenta aproximadamente AF = MAD.