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CAPÍTULO 10
Optimización estática
La mayor parte de los problemas que se presentan en economía involucran a individuos racionales que resuelven algún tipo de problema de optimización. En este capítulo se recordarán algunos conceptos bá- sicos de análisis convexo y optimización estática que servirán para el desarrollo posterior de los conceptos fundamentales de optimización dinámica. En realidad, nos desviaremos brevemente del tema funda- mental de este libro, que es el estudio de las matemáticas de los procesos que cambian con el tiempo. Incluimos, es este punto este repaso ya que es de suma importancia que se tengan claros los conceptos de optimización estática antes de comenzar con la optimización dinámica. Que sirva este capítulo como un intermezzo.
§10.1 Análisis convexo
La noción de convexidad es crucial dentro de la teoría de optimización. Por una parte se tiene la defini- ción general de un conjunto convexo y partiendo de ella se definen a las funciones cóncavas, convexas, cuasicóncavas, cuasiconvexas, etc. La razón para definir estos conceptos es que, bajo ciertas condiciones de convexidad, las condiciones necesarias para un óptimo local son también suficientes para un óptimo global.
Definición 10.1.1 Sea X ⊂ Rn. Se dice que X es convexo si para todo x, y ∈ X y para toda λ ∈ (0, 1) se cumple λx + (1 − λ) y ∈ X.
Notemos que todos los puntos del segmento entre x y y tienen la forma λx + (1 − λ) y, donde 0 ≤ λ ≤ 1. Por lo tanto, la definición anterior en realidad dice que dados cualquier par de puntos de un conjunto convexo, todo el segmento que los une está totalmente contenido en el conjunto. La figura 10.1 ilustra este concepto.
210 Optimización estática
x
y
x
y
Figura 10.1: Un conjunto convexo y otro no convexo
Proposición 10.1.2 Sean A y B dos subconjuntos convexos de Rn. Entonces
a) A ∩ B es convexo, b) A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} es convexo, c) Para todo k ∈ R, el conjunto kA = {ka : a ∈ A} es convexo.
Demostración:
a) Sean x, y ∈ A ∩ B y λ ∈ (0, 1). Queremos demostrar que λx + (1 − λ) y ∈ A ∩ B. Esto es, queremos verificar que λx + (1 − λ) y ∈ A y λx + (1 − λ) y ∈ B. Puesto que x, y ∈ A ∩ B, sabemos que x ∈ A, x ∈ B, y ∈ A, y ∈ B. Dado que A es convexo, y dado que x, y ∈ A, concluimos que λx + (1 − λ) y ∈ A. Del mismo modo se puede argumentar que λx + (1 − λ) y ∈ B. Por lo tanto, λx + (1 − λ) y ∈ A ∩ B. Los otros dos incisos quedan como ejercicio para el lector.
Definición 10.1.3 Sea X ⊂ Rn^ un conjunto convexo. f : X → R es una función convexa si para todos x 1 = x 2 ∈ X y λ ∈ (0, 1) se tiene
f (λx 1 + (1 − λ) x 2 ) ≤ λf (x 1 ) + (1 − λ) f (x 2 ).
Si la desigualdad es estricta se dice que la función es estrictamente convexa.
Definición 10.1.4 Sea X ⊂ Rn^ un conjunto convexo. f : X → R es una función cóncava si para todos x 1 = x 2 ∈ X y λ ∈ (0, 1) se tiene
f (λx 1 + (1 − λ) x 2 ) ≥ λf (x 1 ) + (1 − λ) f (x 2 ).
Si la desigualdad es estricta se dice que la función es estrictamente cóncava.
212 Optimización estática
Figura 10.3: Gráfica, epígrafo e hipógrafo de f (x) = x^2.
Demostración
Se demostrará el inciso b.
- Necesidad. Supongamos que f es cóncava veamos que Hf es convexo. Sean (x, r) , (y, s) dos elementos de Hf. Sea λ ∈ (0, 1). Entonces
λ (x, r) + (1 − λ) (y, s) = (λx + (1 − λ) y, λr + (1 − λ) s).
Sabemos que
f (λx + (1 − λ) y) ≥ λf (x) + (1 − λ) f (y) ≥ λr + (1 − λ) s,
pues (x, r) ∈ Hf es equivalente a decir f (x) ≥ r. Por lo tanto,
(λx + (1 − λ) y, λr + (1 − λ) s) ∈ Hf.
- Suficiencia. Supongamos que Hf es convexo. Notemos que para todo x, y ∈ X se tiene que (x, f (x)) ∈ Hf y (y, f (y)) ∈ Hf. Dado que Hf es convexo, entonces para toda λ ∈ (0, 1)
λ(x, f (x)) + (1 − λ) (y, f (y)) ∈ Hf.
Esto implica que (λx + (1 − λ) y, λf (x) + (1 − λ) f (y)) ∈ Hf. Esto es equivalente a decir que
f (λx + (1 − λ) y) ≥ λf (x) + (1 − λ) f (y)
para todo λ ∈ (0, 1). Concluimos que f es cóncava.
Proposición 10.1.7 Sea X ⊂ Rn^ un conjunto convexo. Sean f : X → R y g : X → R dos funciones cóncavas y α ∈ R_._
§ 10.1 Análisis convexo 213
a) Si α > 0 , entonces αf es cóncava.
b) Si α < 0 , entonces αf es convexa.
c) f + g es cóncava.
d) Sea h : Y → R una función cóncava y creciente tal que g(X) ⊂ Y ⊂ R. Entonces, h ◦ g es cóncava.
La demostración de la proposición anterior se deja como ejercicio para el lector. Una pregunta natural acerca de las funciones cóncavas (convexas) es si son continuas; el siguiente ejemplo nos da la respuesta:
Ejemplo
Ej 10.1.1 Sea f : [0, 1] → R la función dada por
f =
si x ∈ [0, 1], si x = 1.
Claramente esta función tiene una discontinuidad en x = 1, sin embargo, es cóncava pues su hipógrafo es un conjunto convexo como se ilustra en la figura 10.4.
x
y
1
hipógrafo
Figura 10.4: El área sombreada representa el hipógrafo de la función.
En el ejemplo anterior el dominio de la función es un conjunto cerrado. Si el dominio es un conjunto abierto, entonces la concavidad (convexidad) de la función implica continuidad. Para una demostración de este resultado remitimos al lector a [PM92]. El caso particular en el cual el dominio de la función es un intervalo (a, b) en R se deja como ejercicio al lector (véase ejercicio 10.3).
§ 10.1 Análisis convexo 215
y = f(x)
y = f(x)
x x
y y
plano tangente
plano tangente
Figura 10.5: Plano tangente (en este caso recta tangente) para una función cóncava y una función convexa.
Demostración:
Se demostrará el inciso b.
- Necesidad. Supongamos que para todo x, y ∈ X,
f (y) ≤ f (x) + (y − x)T^ ∇f (x).
Sean y, z ∈ X y λ ∈ (0, 1). Demostraremos que
λf (y) + (1 − λ) f (z) ≤ f (λy + (1 − λ) z).
Definimos x = λy + (1 − λ) z. Entonces
λf (y) + (1 − λ) f (z) ≤ λ
[
f (x) + (y − x)T^ ∇f (x)
]
[
f (x) + (z − x)T^ ∇f (x)
]
= f (x) +
[
λ (y − x)T^ + (1 − λ) (z − x)T^
]
∇f (x) = f (x) + (λy + (1 − λ)z − λx − (1 − λ)x)T^ ∇f (x) = f (x) + (x − x)T^ ∇f (x) = f (λy + (1 − λ) z).
Supongamos que f es cóncava. Sean x, y ∈ X. Definimos para todo λ ∈ [0, 1] la función
ϕ(λ) = λf (x) + (1 − λ) f (y) − f (λx + (1 − λ) y).
216 Optimización estática
La concavidad de f implica que ϕ(λ) ≤ 0 para todo λ ∈ [0, 1]. Además
ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 0.
Las condiciones en ϕ implican que ϕ′(0) ≤ 0 y ϕ′(1) ≥ 0. Dado que
ϕ′(λ) = f (x) − f (y) − (x − y)T^ ∇f (λx + (1 − λ) y) ,
para λ = 0 tenemos ϕ′(0) = f (x) − f (y) + (x − y)T^ ∇f (y) ≤ 0
y, análogamente para λ = 1
ϕ′(1) = f (x) − f (y) − (x − y)T^ ∇f (x) ≥ 0.
Por lo tanto, de esta última desigualdad se tiene que f (x) + (y − x)T^ ∇f (x) ≥ f (y).
§10.1.2 Matrices definidas
Definición 10.1.9 Sea A una matriz simétrica. Se dice que
a) A es positiva definida si para todo x = 0 se tiene que xT^ Ax > 0.
b) A es negativa definid a si −A es positiva definida, es decir, si para todo x = 0 se tiene que xT^ Ax < 0.
c) A es positiva semidefinida si para todo x se tiene que xT^ Ax ≥ 0.
d) A es negativa semidefinida si −A es positiva semidefinida, es decir, si para todo x se tiene que xT^ Ax ≤ 0.
Ejemplo
Ej 10.1.3 La siguiente matriz es positiva semidefinida, pero no positiva definida:
A =
Para verificarlo, sea x 0 =
, es decir x 0 = 0 , y sin embargo xT 0 Ax 0 = 0. Verifiquemos que A es
positiva semidefinida. Sea x =
a b
, entonces
xT^ Ax = (a b)
a b
= 3a^2 ≥ 0.
218 Optimización estática
Ejemplo
Ej 10.1.5 Verificar que la función del ejemplo 10.1.1 es estrictamente cóncava. Sabemos que el hessiano es
Hf
x y z
Veremos que −H es una matriz positiva definida.
−H =
Las submatrices principales son
y − H,
y los menores principales correspondientes: 8 , 31 y 30. Por lo tanto, H es negativa definida y la función es estrictamente cóncava.
♦♦♦♦♦♦♦♦♦
§10.1.3 Funciones cuasi cóncavas y cuasi convexas
Definición 10.1.14 Sean X ⊂ Rn^ un conjunto convexo y f : X → R_._
a) El contorno de f en k es el conjunto Cf (k) = {x ∈ X : f (x) = k}.
b) El contorno superior de f en k es CSf (k) = {x ∈ X : f (x) ≥ k}.
c) El contorno inferior de f en k es CIf (k) = {x ∈ X : f (x) ≤ k}.
Los contornos pueden ser conjuntos vacíos.
Ejemplo
Ej 10.1.6 Encontrar el contorno superior e inferior de la función f (x, y) = xy en k = 1. La figura 10.6 ilustra los contornos correspondientes, nótese que el contorno superior es convexo.
Proposición 10.1.15 Para una función cóncava f el contorno superior CSf (k) siempre es convexo.
§ 10.1 Análisis convexo 219
C (1)f
x
y
CS (1)f
x
y
CI (1)f x
y
Figura 10.6: Contorno, contorno superior y contorno inferior de f (x, y) = xy en k = 1.
Demostración
Sea f : X → R una función cóncava. Sea k en la imagen de f. Por definición,
CSf (k) = {x ∈ X : f (x) ≥ k}.
Demostraremos que CSf (k) es un conjunto convexo. Sean a, b ∈ CSf (k) y λ ∈ (0, 1). Sabemos que f (a) ≥ k, f (b) ≥ k y que f es cóncava. Entonces
f (λa + (1 − λ) b) ≥ λf (a) + (1 − λ) f (b) ≥ λk + (1 − λ) k = k.
Por lo tanto, λa + (1 − λ) b ∈ CSf (k), lo que implica que CSf (k) es convexo. De igual modo podemos relacionar el contorno inferior con las funciones convexas.
Proposición 10.1.16 Si f es una función convexa, CIf (k) es un conjunto convexo para todo k en la imagen de f_._
Las anteriores son condiciones necesarias más no suficientes. Si f es cóncava (convexa), entonces el conjunto CSf (k) (CIf (k)) es convexo, pero si el conjunto es convexo, no necesariamente f es cóncava (convexa). Es decir, existen funciones que cumplen con la condición de que todos los contornos superiores (inferiores) son conjuntos convexos y, sin embargo, no son funciones convexas (cóncavas).
Ejemplo
Ej 10.1.7 Sea f : R → R la función dada por f (x) = x^3. Notemos que CIf (k) =
k
]
Claramente f no es convexa; sin embargo, CIf (k) es un conjunto convexo para toda k.
El ejemplo anterior motiva la siguiente definición.
§ 10.2 Optimización estática. 221
x
y
z
0
0
1
1
Figura 10.8: Función Cobb-Douglas
Ejemplo
Ej 10.1.10 Sea g cuasi cóncava. Entonces log (g) y exp(g) son cuasi cóncavas. En particular, log(xy) es cuasi cóncava.
♦♦♦♦♦♦♦♦♦
§10.2 Optimización estática.
El problema general de optimización consiste en maximizar (minimizar) una función en un conjunto X, cumpliendo adicionalmente ciertas restricciones. Es decir, deseamos encontrar un punto x∗^ ∈ X ⊂ Rn
y
0 x
Figura 10.9: Contorno superior de una función Cobb-Douglas
222 Optimización estática
que maximice una función f y que además cumpla con restricciones del tipo
g 1 (x∗) ≤ 0 , ..., gm(x∗) ≤ 0.
donde g 1 , ..., gm son funciones de clase C^1 en X. Si las restricciones son de la forma
g 1 (x∗) = 0, .. . gm(x∗) = 0,
con m < n, se dice que tenemos restricciones de igualdad. Generalmente se piensa que X es un subcon- junto convexo^2 de Rn.
El problema clásico de programación no lineal es el siguiente:
max f (x) sujeto a x ∈ X, g 1 (x) ≤ 0 , .. . gm(x) ≤ 0.
En caso de que las funciones f y gk, k = 1,... , m sean lineales, decimos que se trata de un problema de programación lineal.^3
Sea X ⊂ Rn^ y f : X → R una función de clase C^2. Recordemos que si x∗^ ∈ X es un máximo (mínimo) local de f entonces se tiene que ∇f (x∗) = 0. Adicionalmente, si h es un vector de dirección arbitrario en Rn, al efectuar el desarrollo en serie de Taylor alrededor de x∗^ se obtiene
f (x∗^ + αh) f (x∗) + αh∇f (x∗) +^1 2 α^2 hT^ Hf (x∗^ + αh)h
= f (x∗) +^1 2 α^2 hT^ Hf (x∗^ + αh)h,
en donde α es “suficientemente” pequeño. De esta forma, si la matriz hessiana Hf (x∗^ + αh) es negativa definida (positiva definida), entonces se tiene que f (x∗^ + αh) < f (x∗) (f (x∗^ + αh) > f (x∗)), por lo cual x∗^ es un máximo (mínimo) local. En particular, el teorema 10.1.13 implica que si f es una función cóncava (convexa) entonces x∗es un máximo (mínimo) global de f. Aún más, es posible generalizar este resultado cuando X es convexo y f es cuasi cóncava (cuasi convexa); en este caso, todo extremo local es un extremo global. Finalmente, si X es un conjunto convexo y la función es estrictamente cóncava, entonces, el punto óptimo es único.
(^2) Formalmente, el conjunto X debe ser también lo que se conoce como un conjunto abierto; sin embargo, aquí no tomaremos en cuenta estas consideraciones topológicas. (^3) En este caso es común también incluir las condiciones de no negatividad, es decir, xi > 0 ∀i = 1, ..., n.
224 Optimización estática
x
y
g = 0
f = f (^2)
f = f (^3)
f = f (^1)
f
g
Figura 10.10: Solución al problema de maximización.
y su gradiente es
∇L (x, λ) =
∂f ∂x 1 −^ λ^
∂g ∂x 1 .. . ∂f ∂xn −^ λ^
∂g ∂xn −g(x)
∇f (x) − λ∇g(x) −g(x)
Por lo tanto, si x∗^ es solución del PNL, entonces también existe λ∗^ tal que ∇L (x∗, λ∗) = 0. La siguiente proposición generaliza estas consideraciones.
Proposición 10.2.2 (Condiciones necesarias) Sea X ⊂ Rn_. Sean_ f : X → R y g 1 ,... , gm : X → R funciones de clase C^1 con m < n. Supongamos que x∗^ es una solución del problema
max f (x) sujeto a x ∈ X, g 1 (x) = 0, .. . gm(x) = 0.
Si suponemos que en x∗^ el conjunto de vectores {∇gk(x∗)}mk=1 es linealmente independiente, entonces se puede escribir ∇f (x∗) como combinación lineal de estos vectores, es decir, existen λ∗ 1 , ..., λ∗ m ∈ R tales que el gradiente del lagrangiano es cero, o bien
∇f (x∗) = ∑m k=1 λ∗ k∇gk(x∗), g 1 (x∗) = ... = gm(x∗) = 0.
En los ejercicios de este capítulo se pide la demostración formal para el caso particular de n = 2 y m = 1. Para una prueba del caso general se remite al lector a [BS94].
§ 10.2 Optimización estática. 225
En analogía al caso de optimización libre se tiene la siguiente proposición.
Proposición 10.2.3 (Condiciones suficientes) Con la misma notación que antes, supongamos que X ⊂ Rn^ es convexo y sea (x∗, λ∗) tal que ∇L (x∗, λ∗) = 0 ; entonces, si L (x∗, λ∗) es cuasi cóncava, x∗^ es un máximo global para el problema de la proposición 10.2.2.
Como caso particular se tiene el siguiente corolario:
Corolario 10.2.4 Si f es cuasi-cóncava y gk es lineal para toda k = 1, ..., m , entonces x∗^ es un máximo global para el problema de la proposición 10.2.2.
Es claro que se cumplen los resultados análogos para el caso de un problema de minimización.
Ejemplos
Ej 10.2.1 Encontrar la distancia máxima entre la circunferencia x^2 +y^2 = 1 y el punto (3, 4). Tenemos
x
y (3,4)
(-1/5,-4/5)
Figura 10.11: Distancia máxima entre (3, 4) y la circunferencia x^2 + y^2 = 1.
que elegir la función a maximizar y la restricción. En este caso, tenemos la siguiente restricción de igualdad:
g (x, y) = x^2 + y^2 − 1
y la función a maximizar es f (x, y) = (x − 3)^2 + (y − 4)^2 = (d [(x, y) , (3, 4)])^2. El lagrangiano es, por ende,
L (x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) = (x − 3)^2 + (y − 4)^2 − λ
x^2 + y^2 − 1
§ 10.2 Optimización estática. 227
observemos que ∇f (x, y) =
y ∇g(x, y) =
− 2 x 3 y^2
, de manera que en (0, 0) se tiene
∇g(0, 0) =
y no puede existir λ∗^ tal que ∇f (0, 0) = λ∗∇g(0, 0). Aquí el punto óptimo no
satisface la condición necesaria de la proposición 10.2.2, pero no la contradice puesto que el conjunto de vectores {∇gk(x∗)}mk=1 no es linealmente independiente; concretamente, aquí se tiene k = 1 y el vector ∇g(0, 0) es nulo.
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§10.2.2 Dos aplicaciones microeconómicas.
§10.2.2.1 Problema del consumidor
Consideremos n bienes x 1 , ..., xn. Supongamos que se tiene una función de utilidad que es el logaritmo de una función tipo Cobb-Douglas , es decir,
U (x 1 , ..., xn) =
∑^ n k=
αk log(xk),
donde α 1 + ... + αn = 1. Suponemos que la utilidad se mide en “unidades de utilidad”, normalmente llamadas útiles. Supongamos, además, que en el mercado los bienes tienen precios p 1 , ..., pn. También tenemos la siguiente restricción presupuestal, basada en la dotación inicial, c,
∑^ n k=
pkxk = c.
El problema es encontrar la “canasta óptima” x∗^ = (x∗ 1 , ..., x∗ n) que maximiza U sujeta a la restricción presupuestal. El espacio en donde se trabaja es X = Rn ++, es decir,
X = {(x 1 , ..., xn) ∈ Rn^ | x 1 > 0 , ..., xn > 0 }.
La función a maximizar es U : X → R, donde
U (x 1 , ..., xn) =
∑^ n k=
αk log(xk).
Si g : X → R es g(x 1 , ..., xn) =
∑^ n k=
pkxk − c, entonces la restricción es g(x) = 0. Resolvamos ahora
el problema
max U (x) sujeto a x ∈ X, g(x) = 0.
228 Optimización estática
El lagrangiano es L (x 1 , ..., xn, λ) = U (x 1 , ..., xn) − λg(x 1 , ..., xn). Una condición necesaria dada por la proposición 10.2.2 es ∇L (x 1 , ..., xn, λ) = 0. En este caso
∇L (x 1 , ..., xn, λ) =
α 1 x 1 −^ λp^1 .. . αn xn −^ λpn −g(x 1 ,... , xn)
Obtenemos, de este modo, el sistema de ecuaciones
α 1 = λp 1 x 1 , .. . αn = λpnxn, c = ∑n k=1 pkxk.
Si sumamos las primeras n ecuaciones, tenemos que
1 = λ
∑^ n k=
pkxk = λc,
por lo que concluimos que λ∗^ = (^1) c y, por lo tanto, la canasta óptima está dada por
x∗ 1 = α 1 λp 1
α 1 c p 1
x∗ n = αn λpn
αnc pn
§10.2.2.2 Problema del productor
Se tiene una fábrica y se supone que el nivel de producción se modela con una función Cobb-Douglas f (K, L) = AKαLβ^. Se necesita producir q unidades y los precios de L y K son w y r, respectivamente. Se desea obtener una función que represente el costo de producir bajo estas condiciones. Es decir, C = C(w, r, q). Esta función es la solución del siguiente problema de optimización:
min wL + rK sujeto a f (K, L) = q.
Definimos el siguiente lagrangiano:
L (K, L, λ) = wL + rK − λ
AKαLβ^ − q
Las condiciones de primer orden son
∂L ∂K = r − λAαKα−^1 Lβ^ = 0, ∂L ∂L = w − λAβKαLβ−^1 = 0, ∂L ∂λ
AKαLβ^ − q
