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: Problemas de aplicaciones de cálculo diferencial 1. Determinar los valores de a, b y c para que la función f(x) =x* + ax? 4+bx+4c un . máximo en x=1 con valor 2 y un punto de inflexión en x=3 2. Determinar los valores de A y B para que la función f() = x9 + 4Ax? + Ex tenga extremos relativos en -1 y 2, Determinar dichos puntos extremos y su tipo. 3. La función f(x) = x? + px? + qx toma el valor mínimo 3 en x=2. Hallar p y q. Determinar a, b, c y d para que la función f(0) =0x? + bx? + ex +d tenga un punto de inflexión en (-2, 6) con tangente en dicho punto paralela a la recta de ecuación 8x+7y+10=0 y que pase por el punto A(O, -2) 5. Una compañía estima que el costo para producir x artículos es C(x) = 2600 + 2x + 0'001x? a. Encuentre el costo y el costo promedio para producir 1000, 2000 y 3000 artículos, b. ¿A qué nivel de producción (número de artículos que produce) el costa promedio será el más bajo y cuál es este costo promedio mínimo? 6. Determinar el número de artículos que debe producir una empresa para maximizar sus beneficios sablendo que el costo de producir x artículos es C(x) = 84 + 1,26x — 0'01x? +0'00007x? y que el precio de venta es p(x) == 35 — 0'D1x 7. Una empresa de telefonía ha vendido 200 teléfonos móviles de un nuevo modelo en una semana, a 350€ cada uno, Una investigación de mercado indica que por cada 10€ que rebaje el precio, el número de teléfonos vendidas se incrementará en 20 cada semana. ¿Qué rebaja debe hacer para obtener el máximo beneficio y cuál será ese i beneficio máximo semanal, sabiendo que la empresa tiene unos costes unitarios de ¡ 100€ en la producción de estos teléfonos ?. Las ganancias de una agencia de viajes (en miles de €) dependen de la cantidad de dinero invertida en publicidad cada mes dada por la función P(x) = —x? + 8x +20 donde x también se mide en miles de €. ¿Cuál debe ser el presupuesto mensual en E publicidad para maximizar las ganancias mensuales de dicha agencia de viajes? : 9. ¿A qué nivel de producción maximizará sus beneficios una empresa sabiendo que el ! costo de producir x artículos es C(x) = —0'0011? + 18x + 4000 y que el precio de venta en función del número de artículos demandados es p(x) = —0'9005x? + 60 10. El gasto mensual en que incurre la compañía musical Ariadna por la producción de x unidades de sus guitarras de la Serie Profesional está dado por la función C(x) = 0'001x? 4- 100x + 4000 a. Calcule la función de costo promedio. Determine el costo y el costo promedio si se producen 100 guitarras, b, Determine el nivel de producción que genere el menor costo de producción promedio. 11. El obrero promedia de la empresa Wakefield Avionics Company puede ensamblar N(£) = —2t% + 128? + 2t 0 P'(1)=0 10). Brie Zaxr bo [60 - arterb=o Valor 2 = L00=2 Ln) -= Pra Urbirc=2 o frarbroz ?, Arb+o=1 Ls “Pro ta flexión x=3 > £(3)=0 ? PG) =6x+ la $ (2) =6:3+20.=0; :(8+Za=0 => las] O) P6)- Br 2Ax Bb PEO=0.; 3-2A+B=0 P(=0), 12+HA+B=0 O -IeAzo, 9F6A [AL 2 3-2:(-2)+B=0, 3434+B=0 9-8 Po) = EXx+2A = 6x-=3 P Enzo > Há en (A, (00) = (1, %) 10 = “1 A-Ba tr 26 5 1(D>0> Mío eo (2, fi) = (2,-10) e [0). 2+4:2%4B:2= BrUA2B > + $43) +206)= lo "Zar 2b=0 88 +4b -2() 2 iy prat +5 -226 Alda +2b=0 b=6a Bar Hb 40 -Ya +2 Ha = 40, ? 2 Aca= 40 > s .2= >p= E p= 22] A 2 eh i 6 a) C(too0) = 2600 +2: (000 ;+0,001 100%. 5800 Coste medio CO) 0260 2. 0001x =Cr(x) EN x l Cy (l000) > 2609 , 20901: 10002 36. 1000 : Cabo) =. 2600 +2.2000 + 0,001 -2000 = J0600 CG, (2000) = E + 2+ 0,00% 2500= 53 C (2000) = 2600 + 2.3000 + 0,008 2006 7600 Ca (2000) = n= +24 9001: 3000 = 586 >) G0d= 7282 y 001 2600 4 000120 > x* 22600000 =>, x= 1642, 45 x> Cro) = y >0=> Mín en x=1612,45 Cosle mínimo medio = 2600 _ ¿2 AGUS +0,001-1612,45 = B= (35-9otx) x —BUrl26x 490% 010097: * qot ; Ñ A 3 33 094% BN 1, 26x Y 9,045%— 0,0000 Fx 1] y =- 9, 00007x* + 2,24x-84 Bl 0,0021 + 24 =0 > x= 403,28 a 6) Be (350 -10x) (200 +20x) - 100 (200+20x ) 0000 + F000 x= 2000x — 200 x= 20000 2000 x — 290 Xt 2000 x + 50.000 Bo) -H00x+3000 =0 =>» x= 1,5 BU(x)=- 400 <0i=>» Há en x=39,5 Rebaja de: 1,5-10=35€ Pe (8350-95) (200+150) - 100 (200 +150)= 61250 € E) PO) =-2x+8=0 > x= 4 POo=-2<0 Max en x=4 Debe inverkr 4600 € ú (- 9, 0005x Y 60) x + 9, 001 x *—18Bx -H00O - 0,0005x 60x + 0,001 1 1Bx -¡4ODo O 3 =-0, 0005 9,001 x%+ 42 x -Looo B0)) > -0,0015x+ 0,002x +42 =0 > x= 168 BU(x) =-0,009X + 0,002 : BU(168)
