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Integral turno mañana 2014 - III/ aritmetica tema 1^1
aritmética
ITMNIII2a
TeMa: 1
Razones y Magnitudes Proporcionales
En nuestra vida cotidiana solemos escuchar, decir o leer frases como:
- Víctor tiene 10 años más que Juan Carlos.
- El día de hoy es más caluroso que el de ayer.
- Por cada 5 personas que entran a la discoteca, una no paga.
- El sueldo de Alonso es el triple del sueldo de David. Estas frases tienen en común la comparación, y de eso es lo que trata el tema que hoy aborda- remos.
A. Concepto
Se denomina razón a la comparación que se hace entre dos cantidades mediante las ope- raciones de sustracción o división.
B. Tipos de razón
1. Razón aritmética
Es la comparación que se hace entre dos cantidades mediante la sustracción, y con- siste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. Ejemplo: Las edades de Luis y Ana son 24 y 18 años respectivamente.
→ Valor de la razón
Interpretación
- La edad de Luis es mayor que la de Ana en 6 años
- La edad de Luis excede a la de Ana en 6 años.
2. Razón geométríca
Es la comparación que se hace entre dos cantidades mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia.
Ejemplo: Beto y Víctor se van de viaje a dos ciudades di- ferentes, recorriendo cada uno 60 y 48 km, res- pectivamete.
Antecedente → 60 km Consecuente → 48 km
Razón Geométrica
5 × (12 km) 4 × (12 km)
=^5
valor de la razón
Interpretación:
- Los espacios recorridos por Beto y Víctor son entre sí como 5 es a 4.
- Los espacios recorridos por Beto y Víctor son proporcionales a 5 y 4.
- Por cada 5 km que recorre Beto, Víctor recorre 4 km.
En general: Sean a y b dos cantidades.
Razón
Aritmética
a – b = r
Geometría
a = k b
Donde: a: antecedente b: consecuente r y K valores de las razones
1. Serie de razones geométricas
equivalentes
Se llama así al conjunto de razones geo- metricas que en común van a tener un mismo valor.
a 1 = = = ... = =
a 2 a 3 a n (^) k b 1 b 2 b 3 b n
DEsaRRollo DEl tEma
24 años – 18 años = 6 años
Razón aritmética
Antecedente Consecuente
razones
Integral turno mañana 2014 - III/ aritmetica^2
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones y Magnitudes Proporcionales
valor a la constante de proporcionalidad ele- vado al número de razones que tiene la serie. Es de forma:
1 2 3 n 2 3 4 n 1
a a a a k a a a a (^) +
en la que se cumple que:
1 n n 1
a k a (^) +
Nota: La razón geometrica es la más usada en los ejercicios, por eso si en un ejercicio no se menciona el tipo de razón se sobreentiende que es la razón geométrica.
En donde se cumplen las siguientes relaciones:
- 1 2 3 n 1 2 3 n
a a a ... a k b b b ...b
- (^1 2 3) n n 1 2 3 n
a. a. a. ... .a k b .b .b. ... .b
Además:
1 1 2 2 3 3 n n 1 1 2 2 3 3 n n
a b a b a b a b (^) k 1 a b a b a b a b k 1
2. Serie de razones continuas
equivalente.
Es aquella serie de razones geométricas equi- valentes en la que se cumple que el valor de la razón geométrica formada por el primer an- tecedente y el ultimo consecuente tiene como
magnitudes proporcionales
i. definición Dadas dos magnitudes y un conjunto de valores o cantidades correspondientes a éstas, de modo tal que exista una cierta relación de dependencia entre ellas, entonces son proporcionales cuando multiplicando o dividiendo un valor cualquiera de uno de los conjuntos, por un cierto número, su correspondiente en el otro conjunto queda mul- tiplicado o dividido (o viceversa) por el mismo número.
A. Magnitudes directamente proporcio-
nales
Dadas dos magnitudes y parejas de valores correspondientes a ellas, se consideran como magnitudes directamente proporcionales cuando el cociente de sus cantidades corres- pondientes permanezca constante. Consideremos dos magnitudes A y B con pa- rejas de valores correspondientes:
A a 1 a 2 a 3 ...^ a n B b 2 b 2 b 3 ... b n
Si se cumple que:
1 2 3 n 1 2 3 n
a a a a
... Cte
b b b b
Entonces las magnitudes A y B serán directa- mente proporcionales; esto se acostumbra a denotar como:
A. D. P. B ↔ A B
= Cte
Representación gráfica:
B
A
b (^) n
a 1 a 2 a 3 an
b 3
b 2
b 1
B. Magnitudes inversamente propor-
cionales
Dadas dos magnitudes y parejas de va- lores correspondientes a ellas, se consi- deran como magnitudes inversamente proporcionales cuando el producto de sus cantidades correspondientes permanezca constante.
A a 1 a 2 a 3 ...^ a n B b 1 b 2 b 3 ... b n
Si se cumple que: a 1. b 1 = a 2. b 2 = a 3. b 3 = ......=a (^) n. b (^) n = Cte Entonces las magnitudes A y B serán in- versamente proporcionales; esto se acos- tumbra a denotar como: A.I.P.B ↔ A.B = Cte
Integral turno mañana 2014 - III/ aritmetica^4
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones y Magnitudes Proporcionales
Diferencia de edades: 2k = k = x – y = 3 k = 3 → 2k = 2(3)= Llenando el cuadro
persona A: persona B:
Presente
Hace "n" años
Dentro de "2años"
n 2n
del cuadro: n = 8 – 6 = 2 → 2n = 2(2)= 4 Relación de edades:
(^12) = 4 9 3
Errores más comunes
- Se debe tener cuidado al po- ner la relación de edades, en este problema respetaremos el orden "mayor sobre el menor" debido a que uno de los lados era de esa forma. - No aprovechar la diferencia de edades y agregar muchas va- riables.
Respuesta: C) 4/
problema 3 Juan, Luisa y Mary, fueron de campeonato. Juan llevó 2 sand- winchs, Luisa 3 sandwinchs y Mary se olvidó de llevar sus sand- winchs. Si los 3 se repartieron los sandwinchs en partes iguales y al final Mary pagó S/. 5. ¿Cuánto le pagó a Luisa?
Nivel intermedio
A) S/. 4 B) S/. 2 C) S/. 5 D) S/. 3 E) S/ 10
Resolución Notese que en total tienen 5 sanwinchs y van a comer en par- tes iguales pero 5 no tiene tercia, entonces haremos que cada sand- winch tenga 3 partes.
J 2
L 3
M 0
Tot 5
Sandwinsa partes# de partes quecome c/u
partes que c/u
2x3= 3x3=9 6 = 5 = 9 = 5 = 4 5x3=
Juan dio como 1, mientras que Luisa dio como 4. Juan: m + 4m = 5m = S/. Luisa: 4m m = 1 Luisa recibió: 4m=4(1) = S/. Errores mas comunes:
- No buscar trabajar con una cantidad que tenga tercia ya que iba a a comer en 3 partes iguales.
- Trabajar con fracciones que hacen mas dificil desarrollo del problema.
Respuesta: AS/.
EJERCICIos DE ClasE
nivel i
- En un salón de clase el número de varones, es al número de mujeres como 3 es a 5. Si se considera al profesor y una alumna menos, la nueva relación será 2/3, hallar cuántas alumnas hay en el salón. A) 25 B) 15 C) 20 D) 30 E) 24
- Las edades de Juan y Norma son 32 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6? A) 10 B) 24 C) 15 D) 12 E) 20
- El área cubierta por la pintura es proporcional al número
de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m^2 se necesitan 25 galones, ¿qué área se pintará con 15 galones? A) 80 m^2 B) 100 C) 120 D) 150 E) 144
nivel ii
- En la siguiente gráfica, la línea "OA" representa proporcionalidad directa y la curva "AB" representa proporcionalidad inversa. Hallar los valores de "a" y "b". M A
B
4 P
b
a
A) 15 y 10 B) 12 y 9 C) 10 y 12 D) 15 y 9 E) 9 y 25
- Si "A" es D.P. a "B" e I.P. a raíz de C y en un determinado momento "A" vale 720, ¿qué valor tomará "A", si "B" aumenta en un 80% y "C" disminuye en un 36%? A) 1400 B) 2400 C) 1620 D) 1500 E) 1800
- El precio de una piedra preciosa es directamente proporcional al cubo de su peso. Si se tiene una de estas piedras, cuyo precio es de S/.375 y se parte en dos pedazos uno de los cuales es 1/4 del otro, ¿qué pérdida de valor sufrió la piedra? A) 200 B) 100 C) 180 D) 250 E) 195
Integral turno mañana 2014 - III/ aritmetica^5
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones y Magnitudes Proporcionales
- En un bidón se tienen 72 litros de una mezcla de alcohol y agua, en la relación de 5 a 3, respectivamente. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar para que la relación sea de 9 a 10? A) 22 B) 18 C) 23 D) 25 E) 27
- Una magnitud A es DP a B y C e IP a D^2. ¿Qué variación experimenta A cuando B se duplica, C aumenta en su doble y D se reduce a su mitad? A) Aumenta 30 veces su valor. B) Aumenta 23 veces su valor. C) Se reduce 1/ D) Se duplica. E) Aumenta 24 veces su valor
- Dos ciclistas se desplazan con la misma velocidad hacia la metA) Las distancias que les falta recorrer están en la relación de 2 a 5, aunque luego de recorrer 30.m la relación es de 4 a 11. ¿Cuánto le falta al primero para llegar a la meta? A) 480 B) 485 C) 495 D) 500 E) 180
- Lo que cobra y gasta un profesor suman 600. Lo que gasta y lo que cobra están en
relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? A) 16 B) 24 C) 32 D) 15 E) 30
- En una reunión social, se observó en un determinado momento que el número de varones y el número de mujeres estaban en la relación de 7 a 8, mientras los que bailaban y no bailaban fueron unos tantos como otros. Si hubo en ese momento 51 mujeres que no bailaban. ¿Cuántos varones no estaban bailando? A) 45 B) 51 C) 39 D) 26 E) 48
- La relación de las edades de 2 personas es 3/5. Si hace "n" años, la relación de sus edades era como 1 es a 2 y dentro de "m" años será como 8 es a 13. Calcular en qué relación se encuentran: n y m. A) 2/3 B) 5/1 C) 7/ D) 1/3 E) 5/
- Dos cirios de igual calidad y diámetro, difieren en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado, la longitud de
uno es el cuádruplo de la del otro y media hora después, se termina el más pequeño. Si el mayor dura 4 horas, su longitud era: A) 24 B) 28 C) 32 D) 30 E) 40
nivel iii
- Según la Ley de Boyle, la presión es inversamente proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en 40%? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
- Si en 120 kilos de aceite compuesto comestible hay 115 kilos de aceite de soya y el resto de aceite puro de pescado; ¿cuántos kilos de aceite de soya se deberá agregar a estos 120 kilos para que por cada 5 kilos de la mezcla se tenga 1/8 de kilo de aceite puro de pescado? A) 20 B) 40 C) 80 D) 120 E) 195
Integral Turno Mañana Regular 2014 - I I I /Aritmética^2
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 2
Reparto proporcional y Regla de Tres
Reemplazando en I: 3k = 648 k = 216 Partes: a = 2(216) = 432 b = 1(216) = 216
II. REGLA DE TRES Es un método aritmético, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de magnitudes proporcionales. Es de suma importancia aprender a identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales (D.P.), o inversamente proporcionales (l.P.)
Regla de tres
Simple Directa Inversa Compuesta Analiza las siguientes parejas de magnitudes y deduce si son directamente proporcionales (D.P.) o inversamente proporcionales (I.P.): Trabajo ..... Tiempo Número de trabajadores ..... Tiempo Velocidad ..... Tiempo Espacio ..... Tiempo Eficiencia ..... Tiempo Tiempo ..... Obra Obra .... Número de obreros Precio de un artículo .... Número de artículos a comprar
A. Regla de tres simple
Es el procedimiento de cálculo que permite hallar un cuarto valor, cuando se conocen tres valores correspondientes a dos magnitudes.
1. Regla de tres simple directa Ejemplo: Con 36 trabajadores se pueden sembrar 600 m^2 de terreno. ¿Cuántos trabajadores serán necesarios para sembrar 800 m^2?
trabajadores obra
600 36 ×^800 =^ 600. x 800 48 =^ x
x
2. Regla de tres simple inversa Ejemplo: La maquinaria de la fábrica "A" tiene una eficiencia del 80% y así cumple con su nivel de producción en 45 días. Si su efi- ciencia fuera del 90%. ¿En cuántos días cumplirían con su nivel de producción? eficiencia tiempo 45 80 ×^45 =^ 90. x x^40 =^ x
B. Regla de tres compuesta
Se le reconoce porque intervienen más de dos magnitudes.
Ejemplo: Doce costureras han confeccionado 480 po- los durante 25 días trabajando 8 horas al día. ¿Cuántos días utilizarán 10 costureras para confeccionar 360 polos trabajando 6 horas diarias? (# costureras).(#días)(h/d) (# polos) =^ Cte 12.25.8 10.x. 480^ = 360 x = 30 días
Problema 1
Se reparte N D.P. a los números
32 , 72 y 162 ; observando
que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de N más
- Hallar N. A) 5250 B) 5491 C) 5620 D) 5800 D) 5000
Resolución
N
A:
B:
C:
= 4k = 6k = 9k
N = 19k... (1)
Dato:
MG:^3 4k.6k.9k =^4 19
N + 578
6k =^4 19 (19k) + 578 ⇒ k = 289
En (1): N = 5491
Respuesta: B) 5491
Problema 2 Juan es el doble de rápido que Pedro, pero la tercera parte que Luis. Si Luis y Pedro hacen una obra en 27 días, ¿en cuántos días harán la misma obra los 3 juntos?
A) 16 B) 19 C) 21
D) 29 D) 30
Resolución Si: Pedro: 1 "obrero" ⇒ Juan: 2 "obreros"
Juntos
y Luis: 3 "obreros" 9 obreros
Luego: L + P: 7 "obreros" 27 días Juntos: 9 "obreros" x días 9x = 7.27 ⇒ x = 21
Respuesta: C) 21
PROBLEMAS RESUELTOS
Integral Turno Mañana Regular 2014 - I I I /Aritmética^3
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 2
Reparto proporcional y Regla de Tres
Problema 3 Una guarnición de 400 soldados sitiados en un fuerte, tiene víveres para 180 días y se consume 900 gr por hombre y por día. Si se recibe en refuerzo de 100 soldados pero no recibirán víveres antes de 240 días, ¿cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los ví- veres puedan alcanzarles?
A) 460
B) 480
C) 500
D) 540
E) 600
Resolución obreros tiempo obra
400 soldados 180 d 900g/d víveres 500 soldados 24 d xg/d víveres
Por proporcionalidad 1° serie 2° serie (180.900).400 (240.x). (víveres) (víveres)
Simplificando: 540 = x
Respuesta: D) 540
PROBLEMAS CLASE
NIVEL I
- Se ha repartido cierta cantidad entre 3 personas en partes proporcionales a los números 3; 4 y 5. Sabiendo que la tercera persona ha recibido S/.600 más que la primera. ¿Cuánto dinero se distribuyó? A) 3600 B) 3000 C) 2400 D) 1200 E) 1800
- Al repartir N DP 5; 8; 6 e IP a 12; 6 y 10 respectivamente, la diferencia entre la segunda y la tercera parte es 176. Hallar: N A) 526 B) 246 C) 324 D) 564 E) 546
- Tres personas forman una sociedad aportando cada uno de ellos igual capital. El primero de ellos lo impuso durante un año, el segundo durante 8 meses y el tercero durante un semestre. Al final se obtiene un beneficio de S/. 1950. ¿Cuánto ganó el que aportó su capital durante mayor tiempo? A) S/. 900 B) S/. 600 C) S/. 750 D) S/. 720 E) S/. 800
NIVEL II
- En un fuerte hay 1500 hombres provistos de víveres para 6 meses. ¿Cuántos habrá que despedir, para que los víveres duren dos meses más, dando a cada hombre la misma ración?
A) 360 B) 375
C) 340 D) 350
E) 325
- Si 10 obreros pueden hacer un trabajo en 24 días, ¿Cuántos obreros, que tengan un rendimiento igual a la mitad, se necesitarán para hacer un trabajo 7 veces mayor en un tiempo 1/6 del anterior? A) 640 B) 500 C) 900 D) 840 E) 960
- Marina inicia un negocio con $600; 6 meses después se asocia con Fernando quien aporta $ 480 a la sociedad. Si después de 18 meses de asociados, se reparten una ganancia de $ 1520. ¿Cuánto le corresponde a Marina? A) $ 950 B) $ 570 C) $ 600 D) $ 920 E) $ 850
- Dos individuos emprenden un negocio por 1 año. El primero empieza con $ 500 y 7 meses después añade $ 200. El segundo empieza con $ 600 y 3 meses después añade $ 300. ¿Cuánto corresponde, al segundo, de un beneficio de $3380? A) $ 1400 B) $ 1980 C) $ 1600 D) $ 1440 E) $ 1680
- Se reparte N en forma DP a los números 3; 4 y 5 y luego se reparte N en forma DP a los consecutivos de dichos
números con lo cual una de las partes varía en 80. Calcule la segunda parte. A) 1360 B) 1600 C) 1200 D) 960 E) 1800
- Cuando se instaló agua a una población, correspondió a cada habitante 60 litros de agua por día. Ahora que la población ha aumentado en 40 habitantes, corresponde a cada uno de ellos 58 litros de agua por día. Hallar la población actual. A) 1000 B) 1160 C) 1200 D) 900 E) 1260
- Si 9 hombres hacen una obra de 15 m. de ancho por 16 pies de alto en 8 días trabajando 10 horas diarias. ¿En cuánto deberá variar el ancho de la obra para que 10 hombres, de 20% de rendimiento menos que los anteriores, hagan una obra que es de doble dificultad que la anterior y de 20 pies de alto, si demoran 5 días trabajando 6 horas diarias? A) Disminuye en 12 m B) Disminuye en 10 m C) Disminuye en 13 m D) Aumenta en 10 m E) Aumenta en 12 m
- 2 hombres y 8 muchachos pueden hacer una obra en 15 días, mientras que un hombre y 2 muchachos hacen la misma obra en 45 días. Un solo muchacho, ¿en qué tiempo haría la misma obra?
Integral Turno Mañana Regular 2014 - I I I / Aritmetica Tema 3^1
Aritmética
ITMNIII2A
TEMA: 3
Repaso 1
DESARROLLO DEL TEMA
I. RAZÓN Comparación de 2 cantidades:
A. Razón Aritmetica
Comparación por diferencia: a – b = r
B. Razón Geométrica
Comparación por cociente a (^) = k b
II. MAGNITUDES PROPORCIONALES
DP
Si ambas aumentan o ambas disminuyen a la vez en la misma proporción.
A
B
m n
p
q
A DP B
o A cte B A B
m n p q
α
Propiedades
1 2 3 n 1 2 3 n
1 2 3 n 1 2 3 n
1 2 3 n 1 2 3 n
a a a a Si : k b b b b
a a a ... a k b b b ... b
a. a. a ... a k b .b .b ...b
n
cantidad de razones
IP
Si aumenta y otra disminuye en la misma proporción:
A
B
m n
p
q
A IP B
A. B Cte A 1 B
m. q np
α
Además:
2 2 3 3
A DP B
Si : A IP C A. C Cte B. D A DP D
III. REPARTO PROPORCIONAL
A. Reparto Directo
Ejemplo: Reparto 750 en forma D.P. a 6; 7 y 12. Resolución: Partes: a, b y c. Datos: a + b + c = 750 ... (1) y a 6
= b 7
c 12
= k
→ a = 6 k; b = 7k; c = 12k
B. Reparto Inverso
A I.P. B < > A.D. P.
B
Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P a 2,3,6 y 10.
Integral Turno Mañana Regular 2014 - I I I / Aritmetica^2
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 3
Repaso 1
PROBLEMAS CLASE
Resolución: Partes: Dato: a + b + c + d = 594 ... (I)
y a^ b^ c^ d (^1 30 1 30 1 30 ) 2 3 6 10 Nota : 30 MCM(2; 3; 6;10) Queda : a^ b^ c^ d k 15 10 5 3 a 15 k; b 10 k; c 5 k; d 3k
× × × ×
C. Reparto compuesto
Repartir 648 D.P a 4 y 6 e I.P. a y 9. Resolución: Partes : a y b Dato : a + b = 648 ... (I)
y
a b 4 1 6 1 3 9 a b a (^4 3 2 ) 3 3
× ×
× ×
= b 2
a b (^) k 2 1 a 2k; b k
a b 4 1 6 1 3 9 a b a (^4 3 2 ) 3 3
× ×
× ×
= b 2
a b (^) k 2 1 a 2k; b k
IV. REGLA DE TRES
DP IP Magnitud Magnitud Magnitud Magnitud "A" "B" "A" → "B" m p m → p n q n → q
→ m. q = n. q → m. p = n. q
Caso especial Obreros (Efic - Habilidad). tiempo (Horas - días) = Cte Obra (Dificultad - Longitud - Ancho)
NIVEL I
- Dos números están en la relación de 2 a 5, si se añade 175 a uno y 115 al otro se hacen iguales. ¿Cuál es la diferencia entre estos números? A) 24 B) 18 C) 30 D) 60 E) 40
- La razón aritmética de las edades de Frank y Aldo es 20 y su razón geométrica es 9/4. Hallar la edad de Frank. A) 20 años B) 45 C) 36 D) 16 E) 40
- La potencia de un circuito varía en forma D. P. con la resistencia del conductor eléctrico y con el cuadrado de la corriente. Si la corriente se reduce a su mitad y la resistencia se triplica, ¿qué sucede con la potencia?
A) Disminuye en 1/ B) Disminuye en 3/ C) Disminuye en 1/ D) Aumenta en 1/ E) No cambia
NIVEL II
- En una serie de razones geometricas equivalentes se tiene que: el primer y tercer antecedente son 18 y 33, y el segundo consecuente es 8. Si el producto de los 3 terminos restantes es 1584, hallar el segundo antecedente. A) 30 B) 18 C) 24 D) 36 E) 32
- La velocidad de un velero es proporcional a la velocidad del viento e inversamente proporcional al peso que lleva. Si cuando la velocidad del viento es de 15 km/h, el peso es de 100 kg y la velocidad
del velero es de 10 km/h, determinar la velocidad del viento en una tormenta, si el peso es de 80 kg y la velocidad del velero 20 km/h A) 20 km/h B) 21 C) 19 D) 24 E) 27
- Se mezclan 80 l de agua con 2 kg de azúcar. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar para que en cada 10 l, haya 1/6 de kg de azúcar. A) 40 l B) 60 l C) 20 l D) 80 l E) 10 l
- 16 obreros pueden hacer una obra en 38 días, ¿En cuántos días harán la obra si 5 de los obreros aumentan su rendimiento en un 60%? A) 32 B) 29 C) 30 D) 36 E) 28
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Aritmética Tema 4^1
Aritmética
ITMNIII2A
TEMA: 4
Divisibilidad
DESARROLLO DEL TEMA
I. DIVISIBILIDAD Se dice que un número es divisible por otro cuan- do el cociente de su división resulta siempre un número entero.
Sean a, b y c números enteros: b (^) "a es divisible entre b" c "b es divisor de a"
a 0
a = b.c → "a es múltiplo de b"
Ejemplo: 8 "40 es divisible entre 8" 5 "8 es divisor de 40"
40 = 8.5 → "40 es múltiplo de 8"
Observaciones: Sea "N" un número entero y positivo, entonces:
Primero: N N = 1(entero)
- ⇒ Todo número entero y positivo es múltiplo y divisor de sí mismo.
Segundo: N 1 = N(entero)
- ⇒ El 1 es divisor de cualquier número.
Tercero:^0 n
= 0(entero)
- ⇒ El cero es múltiplo de cualquier número entero y positivo.
Notación: n
o → se lee múltiplo de n.
Ejemplo: 11
o : se lee múltiplo de 11.
A. Representación general de los múlti-
plos de un número
Observemos los múltiplos de 7
o : 7
o ; …, – 14 , – 7, 0 , 7 , 14 , 21 , … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ …, 7 × – 2, 7 × – 1, 7 × 0, 7 × 1, 7 × 2, 7 × 3, …
Podemos notar lo siguiente: − La lista de múltiplos de siete es infinita. − Todos los múltiplos de siete tienen en co- mún el factor 7.
En general, todo múltiplo de siete es de la forma:
o = 7k con k ∈
Es decir, que para cada valor de "K" hay un múltiplo diferente.
K ... – 2 – 1 0 1 2 3 ...
7
o ... – 14 – 7 0 7 14 21 ...
En general:
n
o = nk donde:^ k^ ∈^
Ejemplo:
12
o = .........., 8
o = ..........
B. Números no divisibles
Ejemplos:
- Expresar 43 en función de 9
o . Por Defecto Por Exceso 9 9 4 5
43 = 9 × 4 + 7 43 = 9 × 5 – 7
sobran 7 faltan 2
o 9
o
- Expresar 59 en función de 8
o . 59 = ……………………… 59 = ……………………… 59 = ……………………… 59 = ………………………
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Aritmética^2
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 4
Divisibilidad
Propiedad: Si:
N =
N =
N =
A
o
B
o
C
o
r
r
r
residuos iguales
⇒N = MCM(A. B. C) + r
o
Ejemplos:
- Si: P = 4
o P = MCM( 4
o , 5, 6)
P = 5
o P = (^60)
o
P = 6
o
- Si: E = 8
o + 3 E = ...................... E = 10
o + 3 E = ...................... E = 15
o + 3
C. Operaciones con múltiplos
- n
o + n
o + n
o = n
o
Ejemplo: 12 + 24 + 30 = 66 ↓ ↓ ↓ 6
o 6
o 6
o
- n
o
- n
o = n
o
Ejemplo: 45 – 27 = 18 ↓ ↓ ↓ 9
o 9
o 9
o
- (^) k. n
o = n
o con k ∈
Ejemplo: 9. 10 = 90 ↓ ↓ ↓ 5
o 5
o 5
o
- (^) (n
o ) k^ = n
o con k ∈ +.
Ejemplo: 8^3 = 512 ↓ ↓ ( 4
o ) k^ = 4
o
(n
o + r 1 )(n
o + r 2 )(n
o + r 3 )..(n
o + r x ) = n
o + r 1 r 2 r 3 ...r x
Ejemplo:
( 7
o + 2)( 7
o + 3) = 7
o + 6
Teorema de Arquímedes:
Casos prácticos:
Caso 1. Si: 5a = 9
o
→ a = 9
o
Caso 2. (^) 18x = 45 o
2x = 5
o
→ x = 5
o
Simplifica
II. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son las características que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiten determinar si es di- visible o no a cierto módulo, y si no fuese divi- sible determinar cuál es el residuo de dividir el numeral entre el módulo sin necesidad de hallar el cociente.
A. Divisibilidad por 2
abcde = 2
o ⇔ e = 2
o .
es decir: e ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
B. Divisibilidad por 4
abcde = 4
o ⇔ de = 4
o
ó también: 2d + e = 4
o
C. Divisibilidad por 8
abcde = 8
o ⇔ cde = 8
o
ó también: 4c + 2d + e = 8
o
D. Divisibilidad por 3
abcde = 3
o ⇔ a + b + c + d + e = 3
o
E. Divisibilidad por 9
abcde = 9
o ⇔ a + b + c + d + e = 9
o
F. Divisibilidad por 5
abcde = 5
o ⇔ e = 5
o
es decir: e ∈ {0, 5}
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Aritmética^4
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 4
Divisibilidad
PROBLEMAS CLASE
NIVEL I
- El número de alumnos de la academia está com- prendido entre 400 y 900. Si salen de paseo en grupos de 5, de 6 o de 8, siempre sobra un alum- no. La academia está constituida por secciones que tienen la misma cantidad de alumnos el número de secciones es igual al mismo número de alum- nos por sección. Calcule cuantos alumnos tiene la academia e indique como respuesta la cifra de las decenas del número hallado. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8
- ¿Cuántos números de la forma abba son múltiplos de 18? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
- Si 6ab2 es múltiplo de 3 y 4, además ab es múltiplo de 11. Calcular a + b. A) 6 B) 8 C) 7 D) 10 E) 12
NIVEL II
- Efectúa y simplifica: H = 3( 8 + 4) – 2( 8 + 5) + 4( 8 + 2) A) 8 + 1 B) 8 + 2 C) 8 + 4 D) 8 + 5 E) 8 + 6
- Encuentra el primer número entero positivo, tal que sea divisible por 15; 17 y 36. A) 3060 B) 7120 C) 1020 D) 1530 E) 3600
- Del 1 al 500, ¿Cuántos son ... I. Múltiplos de 5? II. Múltiplos de 20? III. Múltiplos de 7? Dar la suma de los 3 resultados. A) 194 B) 195 C) 196 D) 198 E) 200
- ¿Cuál es el menor número entero positivo por el cual hay que multiplicar a 1210 para que sea múltiplo de 330? A) 2 B) 8 C) 16 D) 3 E) 11
- Si 4N se divide entre 11 el residuo es 5. ¿Cuál será el residuo de dividir N entre 11?
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 7
- Si un número de dos cifras, se divide entre 5 se obtiene 4 de residuo, pero si se dividiera entre 9 se obtendría 6 de residuo. ¿Cuántos números cumplen dicha condición? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) No existe
- Hallar el valor de a, si: 6547a9075 = 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x (2n – 1) A) 2 B) 9 C) 7 D) 9 E) 4
- Un depósito de licores recibió 6 barriles de cerve- za, cuyos contenidos eran: 15; 16; 18; 19; 20 y 31 litros; luego se presentaron dos clientes; uno com- pra tres barriles y el otro dos, con la particularidad de que el segundo compró el doble que es primero. Si no hubo que destapar ningún barril al momento de venderlos. ¿Cuál era la capacidad del barril que no se vendió? A) 16 litros B) 20 litros C) 18 litros D) 31 litros E) 18 litros
- En un colegio hay 56 alumnos y a todos les gusta el fút- bol. De los hinchas de la "U", la tercera parte vive cerca al nuevo estadio y la séptima parte tiene ya su propio palco. De los hinchas de "Alianza", los 3/5 son menores de edad y la cuarta parte postularán a la Católica. La sexta parte de los hinchas de "Cristal" son abstemios. El resto de los alumnos son hinchas del "Boys", pero son tan pocos que se cuentan con los dedos de una mano. ¿Cuántos hinchas tiene el "Boys"?. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
- Si: abc = 7 y ab = 8c hallar: (a + c) – b A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8
NIVEL III
- ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que sumados con sus tres cifras dan un múltiplo de 11? A) 60 B) 80 C) 72 D) 75 E) 100
- Si: mnp = 66(m – n + p) Calcular: m + n + p A) 9 B) 12 C) 15 D) 13 E) 11
Integral Turno Mañana Regular 2014 - III / Aritmética Tema 5^1
Aritmética
ITMNIII2A
TEMA: 5
Números Primos
DESARROLLO DEL TEMA
I. CONJUNTO NUMÉRICO DE
APLICACIÓN Z + Clasificación de los números enteros positivos como:
Luego:
Simples
Compuestos
A. Número primo absoluto
Son aquellos números que poseen solamente dos divisores diferentes que son: la unidad y él mismo.
Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...
Sus Divisores
Nota: A los números primos absolutos se les llama también números primos.
B. Número compuesto
Son aquellos números que poseen más de dos divisores. Ejemplo: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; ......
Sus Divisores
C. Números primos relativos o primos
entre sí
(PESI)
Dado un conjunto de dos o más números, se dice que son primos entre sí (PESI) cuando tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplo 1 : Sean los números 8 y 15.
Sus Divisores
Como la unidad es el único divisor común se afirma que 8 y 15 son PESI.
Ejemplo 2: Sean los números 10; 12 y 15
Sus Divisores
Como la unidad es el único divisor común, se afirma que 10; 12 y 15 son PESI.
Ejemplo 3: Sean los números 9; 12 y 15.
Sus Divisores
Como tienen dos divisores comunes, se afir- ma que 9; 12 y 15 NO SON PESI.
D. Propiedades
- La sucesión de los números primos es ilimitada, no existe aún fórmula alguna para determinar a todos los números pri- mos.
- Todos los números primos son impares, exceptuando el 2.
- Los únicos números primos que son nú- meros consecutivos son el 2 y 3.
- Todo número primo mayor que 2 es de la forma:
( 4
o + 1) o ( 4
o
- 1)
Integral Turno Mañana Regular 2014 - III / Aritmética^3
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 5
Números primos
PROBLEMAS RESUELTOS
En general:
CD (N) = CD primos (N) + CD compuestos (N) + 1
Además: Divisores propios de 30: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15
En general:
Divisor propio de N = Divisor de N menor que N
Nota:
- En algunos problemas, antes de hacer la descomposición canónica, se requiere hacer la descomposición polinómica.
- Si te piden calcular la cantidad de divisores cuadrados perfectos, conviene expresar las bases como números primos elevados al cuadrado.
- Para hallar rápidamente los divisores impares, elimina de la descomposición canónica el factor primo 2 con su respectivo exponente.
- Recuerda que los ceros ubicados a la derecha de un número provienen de las potencias de 10.
Problema 1 Al descomponer canónicamente el número 1 168 se obtuvo m.2 k. El valor de k + m es: Nivel fácil A) 75 B) 80 C) 76 D) 77 E) 85
Resolución Solo nos bastará con descomponer canónicamente 1168. 1168 584 292 146 73 1
⇒ 1 168 = 2 x 73 = m x 2
m = 73 k = 4 mk + = 77
4 k
Errores más comunes Por el apuro de la resolución del problema se suele equivocar en la descomposición canónica. Respuesta: D. 77
Problema 2 Sea S un conjunto que tiene como elementos solo a números primos, siendo además cada elemento igual a la suma de tres números primos consecutivos; ¿cuál sería el menor valor de uno de los elementos de S?
Nivel intermedio A) 13 B) 17 C) 19 D) 23 E) 85
Resolución Es necesario que conozcas al me- nos los números primos menores que 100. Condiciones: S = {a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;...} Donde: a n = p 1 + p 2 + p 3 = # primo
Con p 1 ; p 2 ; p 3 : 3 números primos consecutivos Analizando las posibilidades: #s primos = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;19; 23; ...} 2 + 3 + 5 = 10 ¡no es primo! 3 + 5 + 7 = 15 ¡no es primo! 5 + 7 + 11 = 23 ¡si es primo! ∴ 23 será el menor elemento de S.
Errores más comunes •No conocer los números primos. •No entender la pregunta.
Respuesta: D. 23 Problema 3 Siendo los conjuntos: +^ = {1; 2; 3; 4; ...........} P = {x/x ∈ +^ ∧ x tiene solo 2 divi- sores} f: +^ → P. f(n) = "n" ésimo número primo Entonces será cierto: Nivel difícil A) f(6) = 17
B) f(3) + f(7) = 23 C) f(5) = 13 D) f(f(4)) = 17 E) f(8) = 20
Resolución Solo analiza bien el problema; la función f tiene como dominio los naturales positivos y como rango al conjunto de los números primos. Vamos a enumerar las posiciones de los números primos.
Lugar valor
Analizando las alternativas:
A. f(6) = 17 ¡Falso!
B. f(3) + f(7) = 23 5 + 17 = 23 ¡Falso! C. f(5) = 13 ¡Falso! D. f(f(4)) = 17 f(7) = 17 ¡Verdadero! E. f(8) = 20 ¡Falso! Solo es correcta la alternativa "D".
Errores más comunes No interpretar bien el problema, no tener claro el concepto de funciones.
Respuesta: D. f(f(4)) = 17
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Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 5
Números primos
PROBLEMAS CLASE
NIVEL I
- Calcula la suma de cifras de "N", si: N = 2^9 × 3^2 × 5^8 × 7 × 13 A) 9 B) 12 C) 16 D) 18 E) 21
- ¿Cuántos divisores tiene el mayor capicúa menor que 2500? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16
- Calcula n + 1, si el número A = 4 n × 36 tiene 75 divisores. A) 7 B) 9 C) 11 D) 8 E) 12
NIVEL II
- Si los siguientes numerales 4a; 16 y 18 son PESI, calcu- la la suma de los valores que asume "a". A) 24 B) 16 C) 25 D) 18 E) 27
- ¿Cuál es el menor número por el cual hay que multiplicar a 72, de tal manera que el nue- vo número así obtenido tenga 16 divisores? A) 2 B) 12 C) 3 D) 18 E) 4 6. ¿Cuál es el menor perímetro que puede tener un rectán- gulo cuya área es 396 m^2 , sa- biendo que sus dimensiones, expresadas en metros, son números enteros? A) 80 B) 94 C) 90 D) 96 E) 106 7. Si el número "P" tiene ab0 di- visores compuestos. Calcula: a + b + n. Sabiendo que: P = 210 n– A) 12 B) 13 C) 10 D) 14 E) 11 8. Sabiendo que 35 n^ tiene a divisores. ¿Cuántos divisores tendrá? E = 33 n^ – 33 a A) 238 B) 298 C) 272 D) 294 E) 384 9. Si N = 14.10 n+1 .15 n^ tiene 18 divisores múltiplos de 21 pero no de 5. Calcula "n". A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) 6 10. ¿Cuántos rectángulos, cuyos lados medidos en cm son enteros, tienen un área de 504 cm^2? A) 10 B) 12 C) 24 D) 15 E) 30 11. ¿Cuántos divisores de más de una cifra tiene el número 3276? A) 28 B) 32 C) 33 D) 29 E) 30 12. Calcula el número de diviso- res de 4 680 que son pesi con 676. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 13. ¿Cuántos divisores no divi - sibles por 6 tiene el número: 48 × (75)^3? A) 72 B) 112 C) 175 D) 63 E) 78
NIVEL III
- Calcula a + b + c, si la des- composición canónica de abc tiene a sus cifras como facto- res primos. A) 14 B) 15 C) 12 D) 18 E) 10
- N = a^3. b^2. c a^ está descom- puesto canonicamente y ade- más tiene (^) cb divisores. Calcu- la a + b + c. A) 13 B) 15 C) 12 D) 14 E) 16
