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INTRODUCCI”N A LA ESTADÕSTICA
Curso 2016/ Problemas del Tema 3
1.- Se va a instalar una nueva m·quina. Llamaremos A al suceso ìla nueva m·quina tardar· 4 meses o m·s en sufrir una averÌaî, B al suceso ìla nueva m·quina sufrir· una averÌa en menos de 6 mesesî y C al suceso ìel tiempo (en meses) que tardar· la nueva m·quina en sufrir una averÌa est· en el intervalo [5; 8]î. a) øCu·l es el suceso complementario de A? b) øCu·l es el suceso intersecciÛn de A y B? c) øCu·l es el suceso uniÛn de A y B? d) øSon A y B colectivamente exhaustivos? øSon A y B mutuamente ex- cluyentes? e) Determina el suceso B \ C: f) Determina el suceso (A \ B) [ C: g) øSon A; B y C colectivamente exhaustivos? øSon A; B y C mutuamente excluyentes?
2.- Un director de tesorerÌa est· estudiando si conviene invertir en el capital de una empresa de asistencia sanitaria. La valoraciÛn de probabilidades del director sobre la tasa de rentabilidad (porcentual) de esta inversiÛn durante el prÛximo aÒo es la siguiente: con probabilidad 0 : 05 la rentabilidad ser· igual o inferior a 10 ; con probabilidad 0 : 15 la rentabilidad estar· en el intervalo ( 10 ; 0]; con probabilidad 0 : 30 la rentabilidad estar· en el intervalo (0; 10]; con probabilidad 0 : 35 la rentabi- lidad estar· en el intervalo (10; 20]. Llamaremos A al suceso ìla rentabilidad ser· igual o inferior a 10 îy B al suceso ìla rentabilidad ser· positivaî. a) Calcula la probabilidad de que la rentabilidad sea superior al 20%. b) Calcula la probabilidad del suceso A. c) Calcula la probabilidad del suceso B: d) Describe el complementario del suceso A y calcula su probabilidad. e) Describe el complementario del suceso B y calcula su probabilidad. f) Describe el suceso A \ B y calcula su probabilidad. g) Describe el suceso A [ B y calcula su probabilidad. h) øSon los sucesos A y B mutuamente excluyentes? øSon los sucesos A y B colectivamente exhaustivos?
3.- En unos grandes almacenes trabajan 50 empleados. La direcciÛn de recursos humanos ha indicado que 30 de estos empleados hablan inglÈs. a) Seleccionamos al azar dos empleados de estos grandes almacenes. øCu·l es la probabilidad de que los dos empleados seleccionados hablen inglÈs? b) Seleccionamos al azar tres empleados de estos grandes almacenes. øCu·l es la probabilidad de que uno de los tres empleados seleccionados hable inglÈs y los otros dos no lo hablen? c) Seleccionamos al azar cinco empleados de estos grandes almacenes. øCu·l es la probabilidad de que dos de los cinco empleados seleccionados hablen inglÈs y los otros tres no lo hablen?
4.- La primera fase de una competiciÛn deportiva la disputar·n 24 equipos; se sabe que cuatro de estos equipos son espaÒoles y el resto son extranjeros. Al tÈrmino de la primera fase, los 4 mejores equipos se clasiÖcar·n para la fase Önal; en la fase Önal se determinar·n el campeÛn, el subcampeÛn, el tercero y el cuarto. No tenemos ninguna informaciÛn sobre la calidad de los 24 equipos participantes. a) øCu·l es la probabilidad de que en la fase Önal haya dos equipos espaÒoles y dos equipos extranjeros? b) øCu·l es la probabilidad de que el campeÛn, el subcampeÛn y el tercero sean equipos espaÒoles, y el cuarto sea un equipo extranjero?
5.- Una compaÒÌa mutualista tiene 15 fondos de inversiÛn en el mercado europeo y 25 en el mercado americano. a) Un cliente decide invertir en 5 fondos de esta compaÒÌa, seleccionados aleatoriamente entre los 40 disponibles. Llamemos A al suceso ìexactamente cuatro de los cinco fondos de inversiÛn seleccionados por el cliente son europeosîy llamemos B al suceso ìexactamente cuatro de los cinco fondos de inversiÛn seleccionados por el cliente son americanos.î a1) Calcula P (A \ B): a2) Calcula P (A [ B): b) Otro cliente decide invertir en 3 fondos europeos de esta compaÒÌa, se- leccionados aleatoriamente entre los 15 disponibles, y en 4 fondos americanos de esta compaÒÌa, seleccionados aleatoriamente entre los 25 disponibles. Sin saberlo el cliente, 6 de los 15 fondos europeos y 12 de los 25 fondos americanos tendr·n rendimientos extraordinariamente altos el aÒo prÛximo. Calcula la probabilidad de que los 7 fondos en que ha invertido este cliente tengan rendimientos extraordina- riamente altos el aÒo prÛximo, e indica si esta probabilidad es superior al 1%.
6.- El temario del primer ejercicio de una oposiciÛn consta de 20 temas. En el examen de este primer ejercicio, se seleccionan por sorteo dos temas del temario; el opositor solo debe responder a uno de ellos, y puede elegir a cu·l responde. a) Si un opositor se sabe 4 temas del temario, øcu·l es la probabilidad de que suspenda el primer ejercicio de la oposiciÛn? b) øCu·l es el n˙mero mÌnimo de temas que tendrÌa que estudiarse el opositor para que la probabilidad de que apruebe el primer ejercicio de la oposiciÛn sea superior al 50%?
7.- En un ediÖcio viven 45 personas: 30 adultos y 15 menores. Para hacer un estudio demogr·Öco, un investigador forma un primer grupo seleccionando al azar a 3 personas que viven en ese ediÖcio y, a continuaciÛn, forma un segundo grupo seleccionando al azar otras 3 personas entre las 42 restantes que viven en ese ediÖcio. a) øCu·l es la probabilidad de que en el primer grupo haya al menos un menor? b) Utilizando la regla del producto, calcula la probabilidad de que tanto el primer grupo como el segundo grupo estÈn formados por dos adultos y un menor.
8.- En una poblaciÛn, se sabe que el 70% de los hogares tiene contratada tarifa plana (para acceder a internet), y que el 25% de los hogares hace compras por
proveedor y la calidad):
Calidad del suministro Aceptable Defectuoso Proveedor 1 0 : 30 0 : 05 Proveedor 2 0 : 27 0 : 02 Proveedor 3 0 : 33 0 : 03
a) øCu·l es la probabilidad de que un suministro sea defectuoso? b) Si se sabe que un suministro es defectuoso, øcu·l es la probabilidad de que haya sido enviado por el proveedor 1? c) Si se sabe que un suministro NO ha sido enviado por el proveedor 1, øcu·l es la probabilidad de que sea defectuoso? d) øSon independientes los sucesos A =ìel suministro es defectuosoîy B =ìel suministro ha sido enviado por el proveedor 1 o por el proveedor 2î?
11.- En una agencia de viajes, se sabe que el 60% de sus clientes realiza un viaje al aÒo, el 30% realiza dos viajes al aÒo, y el 10% restante realiza tres viajes o m·s al aÒo. Se sabe tambiÈn que un 40% de clientes tiene hijos y realiza un viaje al aÒo, que un 15% tiene hijos y realiza dos viajes al aÒo, y que un 1% tiene hijos y realiza tres viajes o m·s al aÒo. Se selecciona al azar a un cliente de esta agencia de viajes. a) Sea A el suceso ìel cliente seleccionado no tiene hijosî y B el suceso ìel cliente seleccionado realiza menos de tres viajes al aÒoî. a1) Calcula la probabilidad de A \ B: a2) Calcula la probabilidad de A [ B: a3) øSon A y B independientes? Indica quÈ signiÖca la respuesta en este caso. b) Si sabemos que el cliente seleccionado realiza dos o m·s viajes al aÒo, øcu·l es la probabilidad de que no tenga hijos?
12.- Una entidad bancaria tiene cuatro sucursales, que llamaremos A, B, C y D. Se sabe que el 50% de empleados de la entidad trabajan en la sucursal A, el 10% trabajan en la sucursal B, el 35% trabajan en la sucursal C y el resto trabajan en la sucursal D; ning˙n empleado trabaja en dos sucursales a la vez. Se sabe adem·s que el 40% de los trabajadores de la sucursal A saben inglÈs, que el 30% de los trabajadores de la sucursal B saben inglÈs, que ning˙n trabajador de la sucursal C sabe inglÈs y que todos los trabajadores de la sucursal D saben inglÈs. Seleccionamos al azar un empleado de esta entidad bancaria. a) øCu·l es la probabilidad de que el empleado seleccionado hable inglÈs y trabaje en la sucursal A? b) øCu·l es la probabilidad de que el empleado seleccionado hable inglÈs o trabaje en la sucursal A? c) Si sabemos que el empleado seleccionado habla inglÈs, øcu·l es la probabi- lidad de que trabaje en la sucursal A o en la sucursal B? d) Llamemos E al suceso ìel empleado seleccionado trabaja en la sucursal A y habla inglÈsî y F al suceso ìel empleado seleccionado trabaja en la sucursal B y habla inglÈsî.
d1) øSon E y F sucesos mutuamente excluyentes? d2) øSon E y F sucesos independientes? e) Llamemos G al suceso ìel empleado seleccionado trabaja en la sucursal A o en la sucursal Dîy H al suceso ìel empleado seleccionado habla inglÈsî. e1) øSon G y H sucesos mutuamente excluyentes? e2) øSon G y H sucesos independientes?
13.- Un paÌs est· dividido en tres regiones, que llamaremos R 1 ; R 2 y R 3 : La poblaciÛn activa de la regiÛn R 1 la forman 4 millones de personas, la de la regiÛn R 2 la forman 6 millones de personas y la de la regiÛn R 3 la forman 10 millones de personas. En la regiÛn R 1 el 8% de la poblaciÛn activa est· en paro, en la regiÛn R 2 el 10% de la poblaciÛn activa est· en paro y en la regiÛn R 3 el 15% de la poblaciÛn activa est· en paro. Seleccionamos al azar una persona que forma parte de la poblaciÛn activa de este paÌs. a) øCu·l es la probabilidad de que la persona seleccionada estÈ en paro? b) Si sabemos que la persona seleccionada est· en paro, øcu·l es la probabilidad de que resida en la regiÛn R 3? c) El norte del paÌs lo forman las regiones R 1 y R 2. Si sabemos que la persona seleccionada no est· en paro, øcu·l es la probabilidad de que resida en el norte del paÌs?
14.- Se sabe que el 10% de los clientes que entran en un concesionario de coches acaban comprando un coche de ese concesionario. Este concesionario ofrece a cada cliente que entra la posibilidad de probar el coche en carretera durante la primera visita. Se ha comprobado que el 50% de los clientes aceptan probar el coche en la primera visita. TambiÈn se ha comprobado que el 80% de los clientes que acabaron comprando un coche del concesionario habÌan aceptado probar el coche en la primera visita. Hoy ha entrado un nuevo cliente en el concesionario, y ha aceptado probar el coche en la primera visita; øcu·l es la probabilidad de que acabe comprando un coche de este concesionario?
15.- El 20% de los clientes de un banco son morosos. Se sabe que, entre todos los clientes morosos de este banco, el 70% est·n en la lista nacional de clientes con mala reputaciÛn Önanciera. Se sabe tambiÈn que, entre todos los clientes de este banco, el 25% est·n en la lista nacional de clientes con mala reputaciÛn Önanciera. Seleccionamos al azar un cliente de este banco. a) Si sabemos que el cliente seleccionado est· en la lista nacional de clientes con mala reputaciÛn Önanciera, øcu·l es la probabilidad de que este cliente sea moroso? b) øSon independientes los sucesos ìel cliente seleccionado es morosoî y ìel cliente seleccionado est· en la lista nacional de clientes con mala reputaciÛn Ö- nancieraî? Indica quÈ signiÖca en este caso el resultado obtenido.
16.- El 5% de las ruedas producidas por una f·brica son defectuosas. La f·brica compra una m·quina que inspecciona las ruedas y las clasiÖca como defectuosas o no defectuosas. La probabilidad de que la m·quina no clasiÖque correctamente una rueda defectuosa es 0 : 04 ; y la probabilidad de que clasiÖque como defectuosa una rueda sin defectos es 0 : 02.
