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Universidad Autónoma de Madrid
Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas.
Matemáticas. Primero de Biología. Segundo Parcial. 16 de diciembre de 2016.
SOLUCIONES
- (2,5 puntos) Dada la función f (x) = xex, se pide: a)(0.75 puntos) Si p(x) denota el polinomio de Taylor de grado 3 en x = 0, calcula ∫ (^1)
− 1
p(x)dx.
b) (0.75 puntos) Utilizando la regla del trapecio con cuatro subintervalos calcular el valor aproximado de la integral (^) ∫ 1
− 1
f (x) dx.
c) (1 punto) Halla el valor exacto de la integral ∫ (^1)
− 1
f (x) dx.
(a) f (0) = 0
f ′(x) = ex^ + x ex^ −→ f ′(0) = 1
f ′′(x) = 2ex^ + x ex^ −→ f ′′(0) = 2
f ′′′(x) = 3ex^ + x ex^ −→ f ′′′(0) = 3
de modo que el polinomio buscado es
p(x) = x + x^2 +
x^3 2
Si lo integramos, resulta
∫ (^1)
− 1
p(x) dx =
[
x^2 2
x^3 3
x^4 4
] 1
− 1
(b) Usando la regla del trapecio con cuatro subintervalos obtenemos
∫ (^1)
− 1
f (x) dx ≈
e
e
e + e) ≈ 0 ′ 84.
(c) La integral indefinida, que nos proporcionará una primitiva de la función, se puede hacer integrando por partes: (^) ∫
f (x) dx = x ex^ −
ex^ dx = x ex^ − ex.
Y la integral definida buscada se calcula ahora aplicando la regla de Barrow:
∫ (^1)
− 1
f (x) dx =
[
x ex^ − ex
] 1
e
- (2,5 puntos) En una determinada población, se sabe que la cantidad de habitantes crece a un ritmo del 4 % anual. a) (0.5 puntos) Si en el instante actual la población (medida en miles de habitantes) es de P 0 = 100, determinar cuál será la población total al cabo de 5 años, P 5.
P 5 = P 0
= 121, 665 miles de habitantes.
b) (0.5 puntos) Debido a que el emplazamiento de la ciudad está en un lugar acotado entre unas colinas y el mar, estudios urbanísticos han demostrado que la población máxima que se puede albergar en la ciudad es de 200 miles de habitantes. Hallar cuántos años se tardaría en alcanzar ese límite, si se mantiene constante el nivel de crecimiento del 4 % anual. Si denotamos por N el año en el que se alcanza el límite, deberemos tener:
200 = PN = P 0
)N
)N
Es decir:
2 =
)N
Tomando logaritmos:
log(2) = log
)N )
= N log
de modo que N = log(2)/log(1, 04) ≈ 17 , 67.
Por tanto, se alcanzará el tope algo antes de llegar al año 18. c) (0.5 puntos) Estudios demográficos posteriores demostraron que el crecimiento se mantuvo al 4 % anual durante los 5 primeros años, pero pasó al 2 % anual en los 5 años siguientes. Hallar la población en el año P 10. Con el crecimiento del 4 % anual durante los 5 primeros años la población ha alcanzado un tamaño P 5 = 121, 665 , tal como se calculó en el apartado a). En los 5 años siguientes, el crecimiento se reduce al 2 % anual, por lo que la evolución de la población a lo largo de esos 5 años será:
P 10 = P 5
= 134, 328 miles de habitantes.
d) (1 punto) A partir del año 10, la población comenzó a disminuir a una tasa constante del α % anual, de manera que al llegar al año 20, volvía a ser de 100 mil habitantes. Hallar el porcentaje de decrecimiento α. Del año 10 al 20 han transcurrido 10 años, y la población de partida en el año 10, tal como hemos calculado antes, es de P 10 = 134, 328. Si decrece con una tasa anual α %, la evolución en los 10 años siguientes será:
P 20 = P 10 ·
α 100
Por tanto,
100 = 134, 328 ·
α 100
es decir 100 134 , 328
α 100
y despejando:
α 100
de modo que α = 2, 9 %.
- (2,5 puntos) Considera la función de de dos variables
f (x, y) = x^3 + 3x^2 − 9 x + y^3 − 12 y.
a) (0,5 puntos) Te sitúas en el punto (3, 1 , 16) de la gráfica y miras en la dirección del eje OX positivo. ¿Ves una subida o una bajada? b) (0,5 puntos) Halla la dirección de máximo crecimiento de f (x, y) en el punto (3, 1). c) (1,5 puntos) Calcula y clasifica los puntos críticos de f (x, y).
Solución: (a) Si estamos situados en el punto (3, 1 , 16) de la gráfica y miramos en la dirección del eje OX positivo, lo haremos en la dirección del vector (1, 0). Por lo tanto la variación de la función f (x, y) en esa dirección vendrá regida por la derivada parcial respecto de x en el punto (3, 1):
∂f ∂x
(x, y) = 3x^2 + 6x − 9 =⇒
∂f ∂x
(3, 1) = 36 > 0 =⇒ Vemos una subida
(b) La dirección de máximo crecimiento de f (x, y) en el punto (3, 1), viene dada por el gradiente de f (x, y) en el punto (3, 1):
∇f (x, y) =
∂f ∂x
(x, y),
∂f ∂y
(x, y)
= (3x^2 + 6x − 9 , 3 y^2 − 12) =⇒ ∇f (3, 1) = (36, −9).
(c) Un punto crítico (x 0 , y 0 ) de f (x, y) es aquel que cumple ∇f (x 0 , y 0 ) = (0, 0). Planteamos el sistema: { 3 x^2 + 6x − 9 = 0 =⇒ x = 1, − 3 , 3 y^2 − 12 = 0 =⇒ y = ± 2.
Así tenemos los puntos críticos:
(1, 2), (1, −2), (− 3 , 2) y (− 3 , −2).
Para clasificar los puntos críticos de f (x, y) vamos a aplicar el criterio del hessiano. Para ello tenemos que calcular las segundas derivadas parciales de F :
∂^2 f ∂x^2
(x, y) = 6x + 6
∂^2 f ∂x∂y
(x, y) =
∂^2 f ∂y∂x
(x, y) = 0
∂^2 f ∂y^2
(x, y) = 6y
=⇒ Hf (x, y) =
∂^2 f ∂x^2
(x, y)
∂^2 f ∂x∂y
(x, y)
∂^2 f ∂y∂x
(x, y)
∂^2 f ∂y^2
(x, y)
6 x + 6 0 0 6 y
Entonces tenemos:
(x 0 , y 0 ) (1, 2) (1, −2) (− 3 , 2) (− 3 , −2)
Hf (x 0 , y 0 )
Ahora podemos clasificar los puntos críticos utilizando cualquiera de las dos versiones del criterio del hessiano: Autovalores. Observamos que todas las matrices son diagonales, por lo que los autovalores son los elementos de la diagonal:
- (1, 2): 12 > 0 y 12 > 0 =⇒ (1, 2) es un mínimo local de f (x, y).
- (1, −2): 12 > 0 y − 12 < 0 =⇒ (1, −2) es un punto de silla de f (x, y).
- (− 3 , 2): − 12 < 0 y 12 > 0 =⇒ (− 3 , 2) es un punto de silla de f (x, y).
- (− 3 , −2): − 12 < 0 y − 12 < 0 =⇒ (− 3 , −2) es un máximo local de f (x, y).
Menores principales. Dado un punto crítico (x 0 , y 0 ) denotamos por a = ∂
(^2) f ∂x^2 (x^0 , y^0 )^ y^ h^ =^ det(Hf^ (x^0 , y^0 )):
- (1, 2): h = 144 > 0 y a = 12 > 0 =⇒ (1, 2) es un mínimo local de f (x, y).
- (1, −2): h = − 144 < 0 =⇒ (1, −2) es un punto de silla de f (x, y).
- (− 3 , 2): h = − 144 < =⇒ (− 3 , 2) es un punto de silla de f (x, y).
- (− 3 , −2): h = 144 y a = − 12 < 0 =⇒ (− 3 , −2) es un máximo local de f (x, y).
