UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA
EAP INGENIERÍA CIVIL
CALCULO III
EXAMEN PARCIAL
En cada pregunta, justifique su respuesta.
1. Ejercicio:
“En la figura, se muestra parte de dos
planos
𝑃1 𝑦 𝑃2
(rojo y azul, respectivamente).
Determine el volumen de la región que se
muestra en la figura que se encuentra en el
primer octante”.
a. (2p) Construir e indique dos planos 𝑃1 𝑦 𝑃2
para trabajar en el ejercicio según los
requisitos de la figura.
b. (0.5p) Indique la intersección entre los
planos 𝑃1 𝑦 𝑃2 indicados en (a).
c. (1.0p) Determine la región para la
integración.
d. (1.0p) Calcule la integral obtenida en (c).
2. (5 p) Encuentre un intervalo 𝐼 tal que cumple:
“
La distancia de los puntos
𝑃(𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑎𝜋)+𝑎;⟦𝑎⟧𝑎)
y
𝑄(0;3/2)
es menor de
1/2
donde
3/2 ∈ 𝐼
y
𝑎 ∈ 𝐼”
3. a. (2.5 p) Determine la ecuación de la superficie cónica 𝑆 tal que su vértice es V(0;0;2) y la
curva base es
𝛤:{𝑧2+𝑥2+ 𝑦2= 9
−𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
b. (1.0p) Sea el plano 𝑃3: 𝑧 − 2 = 0. Determine dos puntos 𝐴 y 𝐵 tal que pertenece a 𝑆 ∩ 𝑃3.
c. (1.5p) Encuentre una parametrización que una de 𝐴 a 𝑉 y que pase por 𝐵.
4. a. (1p) Determine una parametrización 𝛼 de una elipse tal que su centro 𝑄𝜖 𝑃4:𝑧 = 2.
b. (1.0p) Determine la curvatura de 𝛼 en un punto fijo 𝑀.
c. (3.0p) Demuestre que no existe lim
(𝑥;𝑦)→(1;1) (𝑥−1)3
𝑥2−2𝑥+𝑦.
