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CALCULO II

SEMANA 1 Universidad Nacional Mayor de San Marcos FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA SEMESTRE 2024 - 0 GONZALES CHAVEZ,MAXIMO GERARDO

SEMANA 1:

CONTENIDO: MOTIVACION DEL CALCULO INTEGRAL ANTIDERIVADA Y SUS PROPIEDADES: Integrales inmediatas. Técnicas de integración: método del cambio de variable e integración por partes. LOGRO: Reconocer los diferentes métodos de integración Reconocer algunas de las aplicaciones

Ejercicio 1

Se desea construir cajas metálicas sin tapa de volumen máximo con laminas cuadradas cuyo lado mide 12 cm. Se recorta en las esquinas cuadrados iguales y se levantan hacia arriba como muestra la figura. Determine la longitud del corte de la lamina.

Solución

Longitud del corte en la esquina: 𝑥 Volumen de la caja: 𝑥(^12 −^ 2𝑥) 2 𝑓 𝑥 = 4𝑥 3 − 48 𝑥 2

• 144𝑥 Hacemos la razón de cambio instantánea con ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑥 → 0 lim ∆𝑥→ 0 ∆𝑦 ∆𝑥 = 12 𝑥 2 − 96𝑥 + 144 Para volumen máximo 12 𝑥 2 − 96𝑥 + 144 = 0 (𝑥 − 6 )(𝑥 − 2 ) = 0 → 𝑥 = 6 , 𝑥 = 2 𝑓 6 = 0 , 𝑓 2 = 128 Por tanto, longitud del corte es 2 cm.

Ejercicio 2

Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m, este aumenta a una rapidez de 50 m/s. ¿A qué rapidez aumenta el área del círculo formado por dicha onda?

Solución

Área del círculo: (^) 𝐴 = 𝜋𝑟 2 La razón de cambio de 𝐴 con respecto al tiempo 𝑡 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 2 𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑡 Tenemos 𝑟 = 𝑟 𝑡 = 3 m, 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 50 m/s 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 2 𝜋( 3 )( 50 ) m 2 /s 𝑑𝐴 𝑑𝑡 ≈ 9 , 4248 m 2 /s La rapidez que aumenta el área del círculo es 9 , 4248 m 2 /s

Ejercicio 5

Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0,03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?

Solución

El 0,03% de 20 cm es 0 ,03%^20 =^0 ,^006 𝐴 𝑙 = 𝑙 2 , 𝑙 = 20 y 𝑑𝑙 = − 0 , 006 ∆𝐴 ≈ 2 𝑙. 𝑑𝑙 = 2 ( 20 )(− 0 , 006 ) Por tanto su área disminuirá en 0 ,06% ∆𝐴 ≈ − 0 , 24 Porcentaje = 0 , 24 202

. 100% Porcentaje = 0 .06%

Ejercicio 6

Utilizando diferenciales encuentre el valor aproximado de 3 64 , 8

Solución

Sea la función definida por 𝑓(𝑥)^ =^ 3 𝑥 Tomemos 𝑥 = 64 y ∆𝑥 = 0 , 8 Además Por tanto, 3 64 , 8 ≈ 4 , 01664 𝑓 64 + 0 , 8 ≈ 𝑓 64 + 𝑓´ 64. 0 , 8 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 𝑓´(𝑥) = 1 3 3 𝑥 2 → 𝑓 64 = 3 64 = 4 → 𝑓´ 64 = 1 3 3 64 2 = 0 , 0208 𝑓 64 + 0 , 8 ≈ 4 + 0 , 0208. 0 , 8 𝑓 64 , 8 ≈ 4 , 01664

GENERALIZANDO SOLUCION Sea la funcion 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝒂, 𝒂 𝟐 𝒇 ′ 𝒙 = 𝟐𝒙 **_, hallaremos la ecuación de la recta tangente en

1. La pendiente de la recta tangente en , es la derivada evaluada en x=a_** → 𝒇 ′ 𝒂 = 𝟐𝒂 2) La ecuación de la recta tangente en 𝒆𝒔 𝒚 = 𝟐𝒂𝒙 − 𝒂 𝟐 𝒂, 𝒂 𝟐 𝒂, 𝒂 𝟐 Pregunta : 3) Observamos que la ecuación de la recta tangente en (^) 𝒂, 𝒂 𝟐 pasa también por 𝟎, −𝒂 𝟐

¿Se podrá hallar todas las ecuaciones de las curvas, donde la

recta tangente en (a,b) de la curva ,también pasa por (0,-b)?

¿Habrá mas ecuaciones que tengan esa cualidad?

HALLAR LA CURVA, DONDE LA RECTA TANGENTE

EN (a,b),TAMBIÉN PASA POR (0,-b)

SOLUCION 2)Sea la ecuacion 𝒚^ =^ 𝒇^ 𝒙^ 𝒎^ =^ 𝒇 ′ 𝒂 **_1) La pendiente de la recta tangente

3. Igualando las pendientes_** 𝒄𝒐𝒎𝒐^ 𝒃^ =^ 𝒇(𝒂) Tendremos la ecuacion que pasa por (a,b) y (0,-b) (^) 𝒎 = 𝟐𝒃 𝒂 la pendiente de la recta tangente en (a,b) es 𝒎 = 𝟐𝒃 𝒂 = 𝒇 ′ 𝒂 𝟐𝒇(𝒂) 𝒂 = 𝒇 ′ 𝒂 , acomodamos^ 𝒇(𝒂) = 𝒂𝒇 ′ 𝒂 𝟐 → 𝒇(𝒙 )= 𝒙 𝟐 La curva pedida, esta relacionada con la derivada y la abcisa del punto de contacto ¿La respuesta es la ecuación de una parabola? 𝒐´ 𝒇(𝒂) 𝟐𝒂 = 𝒇 ′ 𝒂 𝒇(𝒙 )= 𝟐𝒙 𝟐 𝒇(𝒙 )= −𝟐𝒙 𝟐 𝒇(𝒙 )= 𝟔𝒙 𝟐 ¿Cuántas respuestas hay?

SOLUCION

2)Ademas 𝒚^ =^ 𝒇^ 𝒙^ en^ 𝒎^ =^ 𝒇

′ 𝒙 **_1) La pendiente de la recta tangente

3. Igualando las pendientes Tenemos que pasa por (x,f(x)) y (x/2, 0)_** (^) es 𝒎 = 𝟐𝒇(𝒙) 𝒙 la pendiente de la recta tangente de (x , f(x)) es 𝒎 = 𝟐𝒇(𝒙) 𝒙 = 𝒇 ′ 𝒙 𝟐𝒇(𝒙) 𝒙 = 𝒇 ′ 𝒙 𝟐 𝒙 = 𝒇 ′ 𝒙 𝒇(𝒙)

HALLAR LA ECUACION DE LA CURVA, DONDE LA RECTA

TANGENTE EN (x , f(x)), PASE POR (x/2,0)

Ecuacion diferencial

La naturaleza esta en constante cambio, el clima, los fenómenos sociales,

económicos, etc. La Pandemia fue un gran cambio GLOBAL. Todo cambio.

Las MATEMATICAS para expresar o estudiar ese CAMBIO, utiliza la expresión

Razón de cambio instantáneo, a secas se dice RAZON DE CAMBIO

de una variable respecto a otra. La Razón de cambio se utilizan en los modelos

MATEMATICOS, lo cual amplia la variedad de aplicaciones.

Términos utilizados en lugar de pendiente , derivada o razón de cambio:

1. Tasa de crecimiento una población (personas, animales, bacterias, etc.)

2. Variación o incremento del flujo de un líquido.

3. Velocidad y aceleración de un objeto que se mueve.

4. Tasa de interés, de inflación, de producción, etc.

6. En economía de dice marginal en lugar de razón de cambio o variacion

RAZON DE CAMBIO-DERIVADA

(La derivada se utilizó para calcular pendientes)

Ejemplo 1: se estima que dentro de 𝑥 meses la población de cierta comunidad será de 𝑃 𝑥 = 𝑥 2

• 10𝑥 + 6000 a) Que Razón de cambio tendra la población dentro de 20 meses? Solución: a)La Razón de cambio de la población es la derivada de la función población: 𝑃′ 𝑥 = 2 𝑥 + 10 Como 𝑃′ 20 = 2 20 + 10 = 50 , se sigue que dentro de 20 meses la población habrá crecido a razón de 50 personas por mes.

Es sencillo calcular la Razón de cambio, cuando se tiene como

dato la ecuacion

¿Cómo seria el enunciado, si nos dan como dato la razón de

cambio y se pida calcular la ecuación?

APLICACIONES Aplicación a las finanzas Suponga que usted deposita en el banco C 0 soles a una tasa de interés anual r, (expresada en su forma decimal), compuesto continuamente, entonces el capital acumulado C(t) en el tiempo t resulta de resolver el modelo: la solución para este modelo es Ejemplo: Si usted hace un depósito 1000 soles en su cuenta y gana una tasa de interés anual del 4 %, compuesto continuamente. ¿Cuál es su capital luego de 5 años?

Crecimiento Logístico La figura muestra el desarrollo de un pez en un experimento controlado. Como vemos, al principio el pez tiene un crecimiento exponencial, pero luego de un determinado momento, la concavidad en la curva de crecimiento va cambiando y no puede ser modelada por una función exponencial. Para obtener un modelo más preciso, los científicos establecieron lo siguiente: la solución para este modelo es Tamaño de soporte Tamaño inicial

Ejemplo: La población mundial en 1939 era aproximadamente 2. 3 × 10 9 habitantes y, en 2009 , se estimó en 6. 7 × 10 9 habitantes. Algunos especialistas consideran que la capacidad sustentable del planeta es de 11 × 10 9 habitantes, en condiciones de bienestar (es decir, sin desnutrición ni padecimientos por falta de recursos). Considere t = 0 en 1939 , P( 0 ) = 2. 3 × 10 9 y una capacidad sustentable de 11 × 10 9 . Suponiendo un crecimiento logístico de la población, encuentre una fórmula para P(t) con t≥ 0 , determine P en el año 2030 y el tiempo en el que habrá 10 × 10 9 habitantes. Crecimiento Logístico