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FUNCIONES TRASCENDENTES:
EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS
En las matemáticas el arte de proponer una pregunta debe tener un valor más alto que resolverlo. georg cantor
LOGRO DE LA SESIÓN: Al nalizar la sesión, el estudiante identi ca las funciones exponenciales y logarítmicas; determina el dominio, rango y gra ca
1.5. Función Exponencial
Una función exponencial de base a es aque- lla cuya regla de correspondencia es f (x ) = ax donde la base a > 0 ; a 6 = 1 y x ∈ R
La funciones exponenciales presentan dos casos: Dada f (x ) = ax^ ; a > 1 , entonces su grá ca es creciente:
Dom(f ) = 〈−∞; +∞〉 y Ran(f ) = 〈0; +∞〉
Dada f (x ) = ax^ ; 0 < a < 1 , entonces su gra ca es decreciente
Dom(f ) = 〈−∞; +∞〉 y Ran(f ) = 〈0; +∞〉
Ejemplo 6. Gra que las funciones g(x) = 3x; h(x) = ( 13 )x; f (x ) = 2 (x^ −^2 )^ + 1
Solución. :
Propiedades:
ax^ +y^ = ax^ · ay ax^ −y^ = a x ay (ab)x^ = ax^ · by (ax^ )y^ = axy a−x^ = (^) a^1 x
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1.6. Función Logarítmica
Si a > 0 y a 6 = 1 , entonces la función f (x ) = loga x se llama la función logaritmo de base a, cuyo Df = 〈 0 ; +∞〉 y Ran(f ) =R La funciones logaritmo presentan dos casos:
Dada f (x ) = loga x ; a > 1 , entonces su grá- ca es creciente:
Dada f (x ) = loga x ; 0 < a < 1 , entonces su grá ca es decreciente:
Ejemplo 7. Gra que las funciones g(x) = log 3 (x) ; h(x) = log 1 3 (x) y f (x ) = log(x + 2)
Solución. :
La función logaritmo es la función inversa de la función exponencial y se cumple que:
y = loga x ⇐⇒ x = ay
Notación: Para loge(x) usamos la notación ln(x) (es decir, usamos el logaritmo neperiano)
Propiedades:
Para a, b, c ∈ R+^ y m, n, N ∈ R tenemos:
- loga(b) = N ↔ aN^ = b
- loga(1) = 0 y también loga(a) = 1
- loga(b) = loga(c) ↔ b = c
- loga(b.c) = loga(b) + loga(c)
- loga( bc ) = loga(b) − loga(c)
- loga(b)n^ = n. loga(b)
- logam (b) =
m loga(b)
- aloga^ x^ = x
- ln(ex^ ) = x
MATEMÁTICA PARA LA INGENIEROS I
TAREA DOMICILIARIA
- Determine el dominio de la función f (x ) = log(
x − 4 +
6 − x )
- Determine el dominio de la función f (x ) = log( x^ (^2) −3x + 2 x + 1 )
- Determine el dominio y grá co de la función f (x ) = ln |x |
- Determine el dominio de la función f (x ) = 10 x^2 + log( 1 − 2x )
- Determine el dominio, rango y grá ca de la función f (x ) = 6 − 3 x
- Determine el dominio, rango y grá co de la función f (x ) = ln |x − 3 |
- Determine el dominio, rango y grá co de la función f (x ) = |ln |x + 4 ||
- Determine el dominio de la función f (x ) = log(3x − 1 ) − (^) 2xx^ − −^37
- Determine el dominio de la función f (x ) = √log(3x^ −^1 ) x 2 +3x − 4
Respuestas: 1: Df =[4; 6] 2: Df = 〈−1; 1〉 ∪ 〈2; +∞〉 3: Df = 〈−∞; 0〉 ∪ 〈0; +∞〉 4: Df =
5: Df = R; Rf = 〈−∞; 6〉 6: Df = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈3; +∞〉 Rf = R 7: Df = 〈−∞; − 4 〉 ∪ 〈−4; +∞〉; Rf = [ 0 ; +∞〉 8: Df =
3 ;^
7 2
9: Df = 〈1; +∞〉
