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Capítulo 2
VECTORES EN R
Considero más valiente al que conquista sus deseos, que al que conquista a sus enemigos, ya que la victoria más dura es la victoria sobre uno mismo. aristóteles
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la sesión, el estudiante reconoce al Plano Cartesiano como un Plano Vectorial y a los elementos llamados pares ordenados como vectores; realiza operaciones entre vectores
2.1. Producto Cartesiano
Sean los conjuntos A y B , se llama produc- to cartesiano de A y B , al conjunto de los pares ordenados (a, b), donde a pertenece al conjunto A, y b pertenece al conjunto B y se denotara por A × B , es decir:
A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B } Todos estos elementos o pares ordenados del producto cartesiano pueden ser representados en el plano de coordenadas cartesianas de ejes X e Y.
Ahora bien y respecto al tema de vecto- res, lo que llamamos pares ordenados será llamado vector bidimensional y el plano de coordenadas cartesianas será llamado plano vectorial bidimensional.
2.2. Vector Bidimensional
Un vector bidimensional es un par ordenado de números reales (x , y), donde x es llamada la primera componente y y es llamada la se- gunda componente.
2.3. Plano Vectorial Bidimen-
sional
Es el plano cartesiano conformado por di- versos pares ordenados, que ahora serán repre- sentados como radio vectores o vectores, según sea el caso.
2.4. Representación de un Vector como
segmento orientado
Un vector se representa como un segmento dirigido con origen o punto inicial y un extre- mo o punto terminal. Así también, todo vec- tor presenta una magnitud , una dirección y un sentido y puede estar presente en cual- quier parte del plano vectorial.
Notación−−→ : AB = ( 5 , 3 ): es un vector del cual se conoce el origen y el nal. −→a = (− 1 , 5): es un vector del cual no se conoce
ni el origen ni el nal. a = ( 3 , 5 ): es un radio vector, que a su vez puede ser considerado un punto en el plano carte- siano. Los radio vectores tienen un punto de origen en el centro del plano vectorial.
2.5. Magnitud, norma o módulo de un
Vector
La magnitud o módulo de un vector −→v es un número real no negativo asociado a dicho vector y representado por ‖ −→v ‖.
−→v = (v 1 , v 2 ) =⇒‖ −→v ‖= √v 2 1 +^ v 2 2
2.6. Vector Unitario
Se llama vector unitario, al vector cuyo mó- dulo es la unidad, es decir: −→v es un vector uni- tario si y solo si‖ −→v ‖=
v^21 + v 22 = 1
Teorema. Dado un vector −→v 6 = 0 , entonces el vector −→u =
−→v ‖−→v ‖ es un vector unitario.
2.7. Vectores Canónicos
Son vectores de módulo 1 que están presen- tes y son paralelos al eje X (eje de las abscisas) y al eje Y (eje de las ordenadas) y se denotan como ˆi = ( 1 , 0 ); ˆj ( 0 , 1 ) respectivamente.
Todo vector puede ser expresado en función de sus vectores canónicos Ejemplo 9. Dados los puntos o radio vectores P = ( 1 , − 8 ); Q = (− 3 , 5 ). Determine el módu- lo del vector −→v =
P Q , su correspondiente vec- tor unitario y exprese el vector y su vector uni- tario en su forma canónica. Solución. :
2.8. Operaciones con Vectores
2.8.1. Igualdad de Vectores
Dos vectores −→a = (a 1 , a 2 );
b = (b 1 , b 2 ) son iguales si y solo si sus componentes corres- pondientes toman los mismos valores; es decir: Si: −→a =
b ⇒(a 1 , a 2 ) = (b 1 , b 2 ) ⇐⇒a 1 = b 1 ∧ a 2 = b 2 Geométricamente (grá camente), dos vectores son iguales si tienen la misma magni- tud, dirección y sentido
Ejemplo 10. : Dados los vectores iguales −→a = (3x − 19 , 5 − 3y); −→ b = 4yˆi + (2x − 2 )ˆj Determine el vector unitario de
R = (x , 12y). Solución. :
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 3 Sesión 01
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
- Dados los vectores: A = ( 2 ; 5 ); B = ( 6 ; − 3 ) ; P = ( 3 ; 2 ); Q = (− 2 ; − 3 ).
Gra que A; B; P ; Q;
AB;
QP y −
AB
Solución. :
- Halle el perímetro de la gura formada por la unión de los puntos o radio vecto- res A = (− 3 , 5 ) ; B = ( 2 , 6 ); C = ( 5 , 2 ) ;D = ( 1 , − 3 ) y E = (− 2 , − 4 ).
Solución. :
- Determine el o los valores que pueda to- mar el vector
b = (b 1 ; b 2 ), si se tiene que: ‖
b ‖ =
5 ; b 1 = b 2 + 1.
Solución. :
R.: (2, 1) ; (− 1 , −2)
- Sean los vectores: −→a = ( 3 + m; b − 2 ); −→ b = ( 6 ; 4 ) ; P = ( 2 , b); Q = (3m, 2 ). Si −→a + P =
b − 2
QP. Determine m − b
Solución. :
R.: − 1910
- Determine el valor de −→x en:
2 −→x − 3 ( 1 , − 2 ) = 5 (− 1 , 3 ) − −→x Solución. :
R.:
- Si los vértices de un triángulo son: A = (− 1 ; − 3 ) , B = (− 5 ; 1 ) y C = ( 1 ; 3 ). Compruebe, usando vecto- res, si se trata de un triángulo isósceles.
Solución. :
R.: S´ı
- Los puntos A = ( 2 ; 1 ), B = ( 4 ; − 1 ), C = (− 1 ; 1 ) y D son los vértices conse- cutivos de un paralelogramo. Hallar las coordenadas del punto D. Solución. :
R.: D (−3; 3)
- Los vectores −→a ;
b ; −→c ∈ R^2 , cumplen que:−→a + 2
b = −→c y −→a − 3
b = 2−→c. Siendo −→a un vector unitario, determine la norma de
b + −→c (Sug. Exprese
b y −→c en función del vec- tor −→a )
Solución. :
R.: 47
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREAS DOMICILIARIA
- Dados A = ( 3 , − 4 ); B = ( 8 , − 1 ); C = (− 2 , 5 ) Gra que:
AC;
CB y −
BA
- Determine el o los valores que pueda tomar el vector −→c = (c 1 ; c 2 ), si se tiene que: ‖−→c ‖ = 2
5 ; c 2 = c 1 + 2.
- Si los vértices de un triángulo son: (− 2 ; − 1 ) , ( 2 ; 2 ) y ( 5 ; − 2 ). Compruebe usando vectores si se trata de un triángulo isósceles, equilatero o triángulo rectángulo.
- Si los vértices consecutivos de un cuadrilátero son: A(− 6 ; 2 ) , B( 3 ; 5 ); C ( 8 ; 1 ); D(− 1 ; − 2 ). Compruebe usando vectores si se trata de un paralelogramo
- Dados a = ( 3 , − 4 ); b = ( 8 , − 1 ); c = (− 2 , 5 ) Hallar: v = 2 (a + c) + 13 (b − 2c)
- Dados los vectores: −→a = 5i + 2j ;
b = −3i + 4j y −→c = (7, 4). Determine el vector −→x , si: 2 −→x + 5 −→a − 3
b = 4 −→c
- Dados los puntos A = ( 2 , 1 ), B = ( 3 , 2 ) y C = (− 4 , − 1 ). Determine la longitud de
BD,
sabiendo que el punto D está de nido por la relación:
DC =
AB
- Los cuatro vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (− 1 ; 3 ), B , C = ( 7 ; 4 ) y D, siendo M = ( 1 , 2 ) el punto medio del lado AB. Hallar B y D.
- Si (3x − 5y; − 8 − x ) = ( 26 ; x + 3y). Determine xy
- Sean los vectores: −→a = (2x + y − 3 ; 5y − x − 8 ) y
b = (x + 3y − 11 ; 2x + 3y + 4 ). Si −→a = −→ b ,determine el valor de S = 4x + 5y
- Sean los vectores: −→a = 3i ;
b = ˆi − 2ˆj ; P = ( 2 ; 3 ) ; Q = ( 10 , − 7 );. Determinar el módulo de M =
∥^3
b −
P Q
∥−→a^ +^
QP
- Dados los vectores: −→a = 2i + 2j ;
b = −3i + 4j y −→c = (0, 4). Determine el módulo de −→x , si: 2 −→x + 5 (−→a − −→c ) = 4 −→ b
Respuesta: 2: (− 4 , − 2 ); ( 2 , 4 ) 3: Isósceles y Triángulo Rectángulo 4: Sí 5 ( 6 , − 53 ) 6: (− 3 , 9 ) 7:
8: B ( 3 , 1 ); D( 3 , 6 )
