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Algebra Lineal II -´ 10 Grado en Matem´aticas Universidad de Salamanca
Polaridad de una M´etrica Eucl´ıdea
Sea (E, g) un espacio eucl´ıdeo, es decir, E es un espacio vectorial sobre R y g es una m´etrica eucl´ıdea. Para cada vector e ∈ E podemos considerar la forma lineal ieg ∈ E∗^ definida como ieg(e′) = g(e, e′). Vamos a comprobar que ieg ∈ E∗, para lo que debemos ver si ieg(e 1 + λe 2 ) ?? = ieg(e 1 ) + λieg(e 2 ). Ahora bien, como g es una aplicaci´on bilineal, tenemos que ieg(e 1 + λe 2 ) = g(e, e 1 + λe 2 ) = g(e, e 1 ) + λg(e, e 2 ) = ieg(e 1 ) + λieg(e 2 ). Observaci´on.- Usando terminolog´ıa de tensores se tiene que ieg es la contracci´on interior de g ∈ T 2 (E) por el vector e. Por ello, ieg ∈ T 1 (E) = E∗.
Definici´on. Se denomina polaridad asociada a la m´etrica eucl´ıdea g a la siguiente aplicaci´on: ϕg : E −→ E∗ e 7 −→ ieg.
Teorema (Polaridad). La polaridad asociada a una m´etrica eucl´ıdea es un isomor- fismo de espacios vectoriales.
Demostraci´on. Para demostrar que ϕg es un isomorfismo de espacios vectoriales debemos comprobar que es una aplicaci´on lineal, que es inyectiva y que es epiyectiva.
ϕg es una aplicaci´on lineal. Para ello debemos comprobar si ϕg(e 1 + λe 2 ) =?? ϕg(e 1 ) + λϕg(e 2 ). Como ϕg(e) ∈ E∗, para comprobar lo anterior debemos ver que ambas partes de la igualdad coinciden al aplicarlas a cualquier vector e′^ ∈ E. As´ı deducimos que ϕg es una aplicaci´on lineal de las siguientes igualdades:
ϕg(e 1 + λe 2 )(e′) = ie 1 +λe 2 g(e′) = g(e 1 + λe 2 , e′) = g(e 1 , e′) + λg(e 2 , e′) = ie 1 g(e′) + λie 2 g(e′) = ϕg(e 1 ) + λϕg(e 2 ). 1
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ϕg es inyectiva. Por ser ϕg una aplicaci´on lineal, para probar que es inyectiva es suficiente con comprobar que Ker ϕg = { 0 }. Ahora bien, para cada vector e ∈ Ker ϕg, se tiene que ϕg(e) = 0 ∈ E∗, por lo que ϕg(e) ser´ıa la forma lineal nula. En particular ϕg(e) = g(e, e) = 0 y como g es una m´etrica eucl´ıdea es definida positiva, lo que implica que e = 0, de donde deducimos que el n´ucleo de ϕg es el elemento neutro y se concluye que ϕg es inyectiva. ϕg es epiyectiva. Como Ker ϕg = { 0 } se tiene que dim Ker ϕg = 0 y por lo tanto dim Im ϕg = dim E = dim E∗^. Luego Im ϕg = E∗, de donde se deduce que ϕg es epiyectiva.
Definici´on. En un espacio eucl´ıdeo (E, g) se dice que dos vectores e, e′^ ∈ E son perpendiculares cuando g(e, e′) = 0.
Definici´on. Dado un subespacio vectorial H ⊆ E se denomina subespacio ortogonal a H, que se denota por H⊥, al conjunto de los vectores de E que sean perpendiculares a todos los vectores de H.
Lema. Para todo subespacio vectorial H ⊆ E, se verifica que H⊥^ es tambi´en un subespacio vectorial de E.
Demostraci´on. Dados dos vectores e 1 , e 2 ∈ H⊥^ y un escalar λ ∈ R, debemos probar que e 1 + λe 2 ∈ H⊥. Esto equivale a probar que g(e 1 + λe 2 , h) = 0 para todo h ∈ H. Ahora bien, como g(e 1 , h) = 0 y g(e 2 , h) = 0 y g es bilineal, se tiene que g(e 1 + λe 2 , h) = g(e 1 , h) + λg(e 2 , h) = 0 ,
de donde se concluye.
Proposici´on. Para todo subespacio vectorial H ⊆ E se verifica que
ϕg(H⊥) = H◦^ ,
donde H◦^ es el incidente de H y ϕg es el isomorfismo de polaridad asociado a la m´etrica eucl´ıdea g.
Demostraci´on. El resultado es consecuencia directa de las siguientes igualdades:
ϕg(H⊥) = {ieg ∈ E∗^ con e ∈ H⊥, esto es ieg(h) = 0 para todo h ∈ H} = {ω ∈ E∗^ tal que ω(h) = 0 para todo h ∈ H} = H◦^.
