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Algebra Lineal II´
Grado en Matem´aticas
Primera entrega de problemas - Resoluci´on
- Dar dos vectores de R
4 linealmente independientes y la matriz de una m´etrica
eucl´ıdea (con un m´aximo de dos ceros).
a) Dar la ecuaci´on (o ecuaciones) impl´ıcita(s) de la subvariedad con espacio
director generado por los dos vectores y que pasa por el punto (1,-1,1,0).
b) Calcular la subvariedad que contiene a la de apartado anterior y al eje
x = y = z = 0.
c) Calcular el punto de corte de la subvariedad del apartado a) con cada uno
de los ejes coordenados. Hacer dos parejas con dichos puntos (si faltan
puntos a˜nadir hasta hacer dos parejas) y obtener la recta que determina
cada pareja. Calcular la distancia entre ambas rectas.
Sean dos vectores e 1 = (1, − 2 , 1 , 1), e 2 = (1, 0 , 2 , 3) ∈ R
4 , que se comprueba f´acilmente
que son linealmente independientes, y sea T 2 la m´etrica que respecto de la base can´onica
tiene por matriz asociada
G =
Es f´acil ver que la matriz, y por tanto la m´etrica, es sim´etrica. Por otro lado, si se calculan
los menores principales de G
puesto que todos son mayores que 0, la m´etrica es definida positiva, y por tanto es eucl´ıdea.
a)
La subvariedad af´ın buscada ser´a de la forma:
A = (1, − 1 , 1 , 0) + 〈(1, − 2 , 1 , 1), (1, 0 , 2 , 3)〉 = P + H.
Calculemos primero una base del incidente de H, teniendo en cuenta que su dimensi´on
es
dimH
o = dimR
4 − dimH = 4 − 2 = 2.
Sea ˜ω una forma lineal del subespacio incidente, de la forma ˜ω = α 1 ω 1 + α 2 ω 2 + α 3 ω 3 +
α 4 ω 4 , entonces ha de ser:
(α 1 ω 1 + α 2 ω 2 + α 3 ω 3 + α 4 ω 4 )(1, − 2 , 1 , 1) = 0
(α 1 ω 1 + α 2 ω 2 + α 3 ω 3 + α 4 ω 4 )(1, 0 , 2 , 3) = 0
y por tanto
α 1 − 2 α 2 + α 3 + α 4 = 0
α 1 + 2α 3 + 3α 4 = 0
Despejando en la segunda ecuaci´on α 1 , queda:
α 1 = − 2 α 3 − 3 α 4
y sustituyendo en la primera ecuaci´on:
− 2 α 3 − 3 α 4 − 2 α 2 + α 3 + α 4 = 0
− 2 α 2 − α 3 − 2 α 4 = 0
luego:
α 2 = −
α 3 − α 4.
Por tanto cualquier elemento del incidente tendr´a coordenadas de la forma:
(− 2 α 3 − 3 α 4 ,
α 3 − α 4 , α 3 , α 4 ) = α 3 (− 2 ,
, 1 , 0) + α 4 (− 3 , − 1 , 0 , 1).
Luego
H
o = 〈(− 2 ,
Para obtener las ecuaciones impl´ıcitas de la subvariedad af´ın se aplican las formas
lineales de una base al vector (x − 1 , y + 1, z − 1 , t), de modo que se tiene
π =
(− 2 ω 1 −
1 2
ω 2 + ω 3 )(x − 1 , y + 1, z − 1 , t) = 0
(− 3 ω 1 − ω 2 + ω 4 )(x − 1 , y + 1, z − 1 , t) = 0
Operando:
π =
−2(x − 1) −
1 2
(y + 1) + (z − 1) = 0
−3(x − 1) − (y + 1) + t = 0
=⇒ π =
− 2 x −
1 2
y + z +
1 2
− 3 x − y + t + 2 = 0
b)
Sea T la subvariedad que consiste en el eje de coordenadas ( x = y = z = 0 ):
T = (0, 0 , 0 , 0) + 〈(0, 0 , 0 , 1)〉 = P 2 + H 2
y sea A = P +H la subvariedad del apartado anterior. Sea P P 2 = (1, − 1 , 1 , 0)−(0, 0 , 0 , 0).
Entonces, la m´ınima subvariedad que contiene a las dos ser´a:
C = P 2 + (H + H 2 + 〈P P 2 〉) = (0, 0 , 0 , 0) + 〈(1, − 2 , 1 , 1), (1, 0 , 2 , 3), (0, 0 , 0 , 1), (1, − 1 , 1 , 0)〉
Comprobemos si los 4 vectores que generan el espacio director de C son linealmente
independientes, si lo fueran, la matriz formada por ellos cuatro tendr´ıa rango 4, luego el
determinante formado por ellos ser´ıa distinto de 0. En efecto:
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 1 1
As´ı pues C tiene dimensi´on 4, la misma que la del espacio ambiente, y por tanto C = R
4 .
c)
Sea A la subvariedad del apartado a), cuyas ecuaciones impl´ıcitas son:
π =
− 2 x −
1 2
y + z +
1 2
− 3 x − y + t + 2 = 0
T =
x = 0
y = 0
z = 0
t = λ
←− Son las ecuaciones param´etricas de T.
Sustituyendo los valores de x, y, z, t, en las ecuaciones del plano π tenemos:
{ 1 2
t = − 2
Por tanto, no hay corte con el eje T.
Puesto que no hay puntos de corte se eligen 4, se toman por ejemplo uno en cada eje:
P 1 = (1, 0 , 0 , 0), P 2 = (0, 1 , 0 , 0), P 3 = (0, 0 , 1 , 0), P 4 = (0, 0 , 0 , 1). Y se emparejan para
formar dos rectas, r determinada por los puntos P 1 y P 4 y s determinada por los puntos
P 2 y P 3.
Calculamos los vectores directores de cada una de ellas:
vr = (1, 0 , 0 , 0) − (0, 0 , 0 , 1) = (1, 0 , 0 , −1)
vs = (0, 1 , 0 , 0) − (0, 0 , 1 , 0) = (0, 1 , − 1 , 0)
As´ı pues se tienen las rectas
r = (0, 0 , 0 , 1) + 〈(1, 0 , 0 , −1)〉
s = (0, 0 , 1 , 0) + 〈(0, 1 , − 1 , 0)〉
Antes de calcular su distancia determinamos su posici´on relativa, pues si tienen puntos
en com´un la distancia es 0, y si no, en funci´on de si son paralelas o se cruzan, la distancia
se puede calcular de una u otra manera.
Por un lado se ve f´acilmente que vr, vs son linealmente independientes, por tanto sus
subespacios directores, de la misma dimensi´on, no coinciden, y las rectas no son paralelas.
Por otro lado, la m´ınima subvariedad que contiene a r y s tiene por subespacio director
y se comprueba f´acilmente que dicho subespacio (y por tanto la m´ınima subvariedad que
contiene a las rectas) tiene dimensi´on 3.
As´ı pues, las rectas se cruzan.
Para calcular la distancia entre las rectas se buscan dos puntos cuya distancia sea igual
a la que hay entre ambas rectas y se calcula la distancia entre ambos puntos. Para buscar
dichos puntos se pueden utilizar, entre otras, dos estrategias:
Primer m´etodo:
Se calcula un plano π que contiene a r y es paralelo a s. Entonces la distancia entre
las rectas ser´a la que hay entre cualquier punto de s y su proyecci´on ortogonal sobre el
plano π. N´otese que este m´etodo es equivalente a calcular el plano π mencionado y otro
plano π
′ que contiene a s y es paralelo a r, y por tanto paralelo al plano π, y calcular la
distancia entre ambos planos.
El plano π que contiene a r y es paralelo a s viene dado por
π = (0, 0 , 0 , 1) + 〈(1, 0 , 0 , −1), (0, 1 , − 1 , 0)〉
cuyas ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas respectivamente ser´an
π ≡
x = λ
y = μ
z = −μ
t = 1 − λ
x + t − 1 = 0
y + z = 0
Tomemos un punto de s, por ejemplo (0, 0 , 1 , 0). Su proyecci´on ortogonal sobre π
vendr´a dada por la intersecci´on de π con el plano ortogonal a π y que pasa por el punto
que acabamos de fijar. Para ello, tenemos que calcular el subespacio ortogonal al espacio
director de π,
⊥
ortogonalidad que por supuesto se define respecto de la m´etrica T 2 que se ha dado al
comienzo del problema.
Los vectores que pertenezcan a dicho subespacio ortogonal han de verificar
T 2 ((1, 0 , 0 , −1), (x, y, z, t)) = (1, 0 , 0 , −1)G(x, y, z, t)
t = 0
T 2 ((0, 1 , − 1 , 0), (x, y, z, t)) = (0, 1 , − 1 , 0)G(x, y, z, t)
t = 0
que en coordenadas es
x
y
z
t
x
y
z
t
= z − 2 t = 0
x
y
z
t
x
y
z
t
= y − z + t = 0
Estas son las ecuaciones impl´´ ıcitas del plano ortogonal a π que pasa por el origen. A partir
de ellas se pueden obtener las ecuaciones el plano ortogonal a π que pasa por el punto
que fijamos previamente, (0, 0 , 1 , 0),
z − 2 t − 1 = 0
y − z + t + 1 = 0
El punto de corte de este plano con el plano π viene dado por el vector (x, y, z, t) cuyas
coordenadas verifican las ecuaciones de ambos planos, y por tanto se obtienen como
soluci´on del sistema de ecuaciones
z − 2 t − 1 = 0
y − z + t + 1 = 0
x + t − 1 = 0
y + z = 0
El punto soluci´on es el (
4 3
1 3
1 3
1 3
). Finalmente lo que debemos hacer es calcular la
distancia entre dicho punto y el punto (0, 0 , 1 , 0) ∈ s que habiamos fijado.
2.α Dados los vectores (a 1 , a 2 , a 3 ), (b 1 , b 2 , b 3 ) y el punto (p 1 , p 2 , p 3 ) demostrar que el
plano que determinan estos objetos tiene por ecuaci´on impl´ıcita
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x − p 1 y − p 2 z − p 3
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
¿Puede decirse algo en R
4 para los vectores (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ), (b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) y el
punto (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 )?. Justifica tu respuesta.
Podemos suponer que los dos vectores (a 1 , a 2 , a 3 ), (b 1 , b 2 , b 3 ) son linealmente indepen-
dientes, de otro modo el determinante ser´ıa id´enticamente cero. Adem´as, nos indican
expl´ıcitamente que los vectores determinan un plano.
Un punto (x, y, z) pertenece a la subvariedad determinada por los datos si y s´olo si
(x, y, z) = (p 1 , p 2 , p 3 ) + λ(a 1 , a 2 , a 3 ) + μ(b 1 , b 2 , b 3 )
o equivalentemente, si y s´olo si (x − p 1 , y − p 2 , z − p 3 ) es linealmente dependiente con los
dos vectores, si y s´olo si (y ´esta ´ultima equivalencia se tiene por el hecho de que los dos
vectores sean linealmente independientes, si no, s´olo se tendr´ıa implicaci´on en un sentido)
el determinante ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x − p 1 y − p 2 z − p 3
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
que da una expresi´on en t´erminos de x, y, z, es igual a 0. Por tanto se tiene una ecuaci´on
que identifica exactamente los puntos (x, y, z) de la subvariedad, la ecuaci´on impl´ıcita.
En R
4 siguiendo el mismo razonamiento se tiene que un punto (x, y, z, t) pertenece a la
subvariedad determinada por el punto y los vectores si y s´olo si (x−p 1 , y −p 2 , z −p 3 , t−p 4 )
es linealmente dependiente con los dos vectores, si y s´olo si la matriz
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x − p 1 y − p 2 z − p 3 t − p 4
a 1 a 2 a 3 a 4
b 1 b 2 b 3 b 4
tiene rango 2, es decir, si y s´olo si los menores de orden 3 de la matriz son 0. Cada uno de
esos cuatro menores da una ecuaci´on que han de verificar los puntos de la subvariedad.
Puesto que la subvariedad es de dimensi´on 2 se precisan 2 ecuaciones impl´ıcitas para
determinarla. As´ı pues bastar´ıa tomar dos ecuaciones linealmente independientes de entre
las que nos dan los cuatro menores.
2.β Dados los vectores (a 1 , a 2 , a 3 ), (b 1 , b 2 , b 3 ) demostrar que el subespacio incidente
al generado por dichos vectores est´a generado por la forma lineal
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ω 1 ω 2 ω 3
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
siendo {ω 1 , ω 2 , ω 3 } la base dual de la base can´onica.
¿Puede decirse algo en R
4 para los vectores (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ), (b 1 , b 2 , b 3 , b 4 )?. Justi-
fica tu respuesta.
Podemos suponer que los dos vectores (a 1 , a 2 , a 3 ), (b 1 , b 2 , b 3 ) son linealmente indepen-
dientes, de otro modo el determinante, y por tanto la forma lineal, ser´ıa id´enticamente
cero. As´ı pues dichos vectores generan un subespacio de dimensi´on 2 y el subespacio inci-
dente a ´este ser´a de dimensi´on 1. Por tanto si la forma lineal que se obtiene del deteminante
se anula sobre los dos vectores (y por tanto sobre todo el subespacio que ´estos generan),
el subespacio generado por dicha forma estar´a contenido en el incidente al subespacio
generado por los vectores, y como ambos son de dimensi´on 1, los dos ser´an iguales.
As´ı pues, nos basta demostrar que la forma lineal que se obtiene del determinante se
anula sobre ambos vectores.
Calculamos la forma lineal: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ω 1 ω 2 ω 3
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
= (a 2 b 3 − a 3 b 2 )ω 1 + (a 3 b 1 − a 1 b 3 )ω 2 + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )ω 3
Aplicamos la forma lineal a los vectores y veamos si se anula independientemente de
los valores de las ai, bj , i, j ≤ 3:
((a 2 b 3 − a 3 b 2 )ω 1 + (a 3 b 1 − a 1 b 3 )ω 2 + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )ω 3 )(a 1 , a 2 , a 3 ) =
(a 2 b 3 − a 3 b 2 )a 1 + (a 3 b 1 − a 1 b 3 )a 2 + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )a 3 =
b 1 (a 3 a 2 − a 2 a 3 ) + b 2 (a 1 a 3 − a 3 a 1 ) + b 3 (a 2 a 1 − a 1 a 2 ) = 0
((a 2 b 3 − a 3 b 2 )ω 1 + (a 3 b 1 − a 1 b 3 )ω 2 + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )ω 3 )(b 1 , b 2 , b 3 ) =
(a 2 b 3 − a 3 b 2 )b 1 + (a 3 b 1 − a 1 b 3 )b 2 + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )b 3 =
a 1 (b 2 b 3 − b 3 b 2 ) + a 2 (b 3 b 1 − b 1 b 3 ) + a 3 (b 1 b 2 − b 2 b 1 ) = 0
En R
4 , del mismo modo que antes, podemos suponer que los dos vectores (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ),
(b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) son linealmente independientes, por lo que el espacio que generan es de
dimensi´on 2 y su incidente ser´a en este caso tambi´en de dimensi´on 2.
Por otro lado, n´otese que en la matriz
ω 1 ω 2 ω 3 ω 4
a 1 a 2 a 3 a 4
b 1 b 2 b 3 b 4
los menores de orden m´aximo dan como resultado formas lineales que dependen de 3 de
las formas lineales de la base ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4. N´otese que la forma lineal λiωi + λj ωj + λkωk
se anula sobre el vector (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ), respectivamente (b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ), si y s´olo si en R
3
la forma lineal λiωi + λj ωj + λkωk se anula sobre el vector (ai, aj , ak), respectivamente
(bi, bj , bk) (ωi, ωj , ωk forman base en (R
3 )
∗ , dual a aquella respecto de la que se toman
las coordenadas de (ai, aj , ak), (bi, bj , bk)). Por lo visto en el apartado anterior esto es
equivalente a que los coeficientes λi, λj , λk de dicha forma lineal se obtengan mediante el
determinante (^) ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
ωi ωj ωk
ai aj ak
bi bj bk
y ´estos, para los distintos ´ındices i, j, k, son precisamente los determinantes de los menores
de orden m´aximo de la matriz. Los cuatro menores dan cuatro formas lineales que se
anulan sobre los dos vectores, y por tanto est´an en su incidente, y por ser los dos vectores
linealmente independientes al menos hay una pareja de formas lineales que son linealmente
independientes y que por tanto generan todo el subespacio incidente.
Del mismo modo podr´ıa razonarse para R
n con n arbitrario.
