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Cap´ıtulo IV
El Espacio Dual
Fijemos en todo este cap´ıtulo un cuerpo k.
1 El Espacio Dual
Definici´on 1.1 Dado un espacio vectorial E, llamaremos espacio dual de E al k-espacio vectorial E∗^ = Homk(E, k). Los vectores de E∗^ se denominan formas lineales sobre E.
Proposici´on 1.2 Sea E un espacio vectorial. Se satisfacen:
(i) Toda forma lineal no nula sobre E es epiyectiva. (ii) Si E es de dimensi´on finita, entonces E∗^ tambi´en es de dimensi´on finita y dim E∗^ = dim E. (iii) Dado un vector no nulo e ∈ E, existe ω ∈ E∗^ tal que ω(e) 6 = 0.
Demostraci´on. Para probar (i) basta tener en cuenta que los ´unicos subespacios vectoriales de k son 0 y k, y (ii) se sigue de III.2.4. (iii) Sea e un vector no nulo de E y sea E′^ un subespacio de E tal que E = E′^ ⊕ 〈e〉; si definimos el isomorfismo f : k → 〈e〉 λ 7 → λe
y consideramos la proyecci´on de E sobre 〈e〉 paralelamente a E′, p : E → 〈e〉, entonces ω = f −^1 ◦p es una forma lineal sobre E que satisface ω(e) = 1.
1.3 Sea E un espacio vectorial de dimensi´on finita n y sea B = {e 1 ,... , en} una base suya. Dados μ 1 ,... , μn ∈ k existe una ´unica forma lineal ω : E → k tal que
44 Cap´ıtulo IV. El Espacio Dual
ω(e 1 ) = μ 1 ,... , ω(en) = μn
(v´ease el ejercicio II.2.7); sea entonces, para cada i ∈ { 1 ,... , n}, ωi la forma lineal que queda totalmente determinada por las condiciones
ωi(ej ) = δij =
{ 0 , si i 6 = j , 1 , si i = j.
Veamos que {ω 1 ,... , ωn} es una base de E∗, para lo cual ser´a suficiente comprobar que es libre: si α 1 ω 1 + · · · + αnωn = 0 (α 1 ,... , αn ∈ k ), entonces dado j ∈ { 1 ,... , n} tenemos
0 = (α 1 ω 1 + · · · + αnωn)(ej ) = α 1 ω 1 (ej ) + · · · + αnωn(ej ) = αj ωj (ej ) = αj.
Definici´on 1.4 La base {ω 1 ,... , ωn} de E∗^ obtenida en 1.3 a partir de {e 1 ,... , en} se denom- ina base dual de la base {e 1 ,... , en}.
Observaci´on 1.5 Con la notaci´on de 1.3, las coordenadas de una forma lineal ω ∈ E∗^ en la base {ω 1 ,... , ωn} son (ω(e 1 ),... , ω(en)), es decir, se satisface la igualdad
ω = ω(e 1 ) ω 1 + · · · + ω(en) ωn.
Efectivamente, si ω = α 1 ω 1 + · · · + αnωn, entonces tenemos ω(ej ) = (α 1 ω 1 + · · · + αnωn)(ej ) = α 1 ω 1 (ej ) + · · · + αnωn(ej ) = αj ωj (ej ) = αj.
1.6 Sea E un espacio vectorial (no necesariamente de dimensi´on finita). Cada vector e ∈ E define una aplicaci´on de E∗^ en k, que denotaremos φ(e), de la siguiente forma:
φ(e) : E∗^ → k ω 7 → φ(e)(ω) := ω(e) ,
es decir, φ(e) es la aplicaci´on “ tomar valor en e ”; es f´acil demostrar que φ(e) es lineal (com- pru´ebese), esto es, φ(e) ∈ Homk(E∗, k). Si denotamos por E∗∗^ al espacio dual del espacio dual de E, llamado espacio bidual de E (E∗∗^ = Homk(E∗, k)), tenemos entonces la aplicaci´on
φ : E → E∗∗ e 7 → φ(e) ,
y se satisface el siguiente importante resultado:
Teorema 1.7 (Teorema de reflexividad) Con la notaci´on de 1.6, la aplicaci´on φ es un monomorfismo. Como consecuencia se sigue que si E es de dimensi´on finita, entonces φ es un isomorfismo.
Demostraci´on. La demostraci´on de que φ es lineal es sencilla; veamos, por ejemplo, que es morfismo de grupos: Dados vectores e, v ∈ E, cualquiera que sea ω ∈ E∗^ tenemos
φ(e + v)(ω) = ω(e + v) = ω(e) + ω(v) = φ(e)(ω) + φ(v)(ω) = (φ(e) + φ(v))(ω) ,
46 Cap´ıtulo IV. El Espacio Dual
2.2 Sea E un espacio vectorial. Si G es un subespacio de E∗, seg´un la definici´on 2.1 el incidente de G ser´a el siguiente subespacio vectorial de E∗∗:
G◦^ = {f ∈ E∗∗^ : f (ω) = 0 para todo ω ∈ G} ,
y si E tiene dimensi´on finita tenemos que
G◦^ = {e ∈ E : e(ω) = 0 para todo ω ∈ G} ,
es un subespacio de E. Por tanto, cuando E es de dimensi´on finita (¡y s´olo cuando E es de dimensi´on finita!) el incidente de un subespacio de E∗^ es un subespacio de E.
Teorema 2.3 Sean F , E 1 y E 2 subespacios de un espacio vectorial E. Se satisfacen:
(i) E◦^ = 0 y 0 ◦^ = E∗; (ii) E 1 ⊆ E 2 ⇒ E 2 ◦ ⊆ E 1 ◦ ; (iii) (E 1 + E 2 )◦^ = E 1 ◦ ∩ E◦ 2 ; (iv) si E es de dimensi´on finita, entonces F ◦◦^ = F ; (v) si E es de dimensi´on finita, entonces (E 1 ∩ E 2 )◦^ = E◦ 1 + E◦ 2.
Demostraci´on. Los apartados (i) y (ii) son inmediatos. (iii) Como E 1 ⊆ E 1 +E 2 y E 2 ⊆ E 1 +E 2 , de (ii) se sigue que (E 1 +E 2 )◦^ ⊆ E 1 ◦ y (E 1 +E 2 )◦^ ⊆ E 2 ◦ , luego (E 1 + E 2 )◦^ ⊆ E 1 ◦ ∩ E 2 ◦. Veamos la otra inclusi´on. Sea ω ∈ E◦ 1 ∩ E◦ 2 ; si e ∈ E 1 + E 2 existen e 1 ∈ E 1 y e 2 ∈ E 2 tales que e = e 1 + e 2 y por lo tanto ω(e) = ω(e 1 ) + ω(e 2 ) = 0, es decir, ω ∈ (E 1 + E 2 )◦. (iv) Es claro que F ⊆ F ◦◦^ (compru´ebese; basta aplicar la definici´on de incidente). Veamos ahora que todo vector de F ◦◦^ est´a en F , o lo que es equivalente, probemos que si un vector no est´a en F , entonces tampoco est´a en F ◦◦. Si e ∈ E es tal que e 6 ∈ F , entonces la clase ¯e de e en el espacio cociente E/F es no nula y por lo tanto existe una forma lineal ¯ω sobre E/F que no se anula sobre ¯e (v´ease 1.2 (iii)); si π : E → E/F es el morfismo de paso al cociente y definimos ω = ¯ω ◦π ∈ E∗, entonces, por una parte ω ∈ F ◦^ porque Ker π = F , y por otra parte ω(e) = ¯ω(¯e) 6 = 0; hemos encontrado un elemento de F ◦^ sobre el cual no se anula el vector e, es decir, e 6 ∈ F ◦◦. (v) Se deja como ejercicio (se sigue de (iii) y (iv)).
3 Morfismos Traspuestos
3.1 Sea f : E → F una aplicaci´on lineal. Para cada forma lineal ω ∈ F ∗^ la aplicaci´on composici´on ω◦f es una forma lineal sobre E, de modo que tenemos definida la siguiente aplicaci´on: f ∗^ : F ∗^ → E∗ ω 7 → f ∗(ω) := ω◦f ;
es f´acil probar (y se deja como ejercicio) que f ∗^ : F ∗ → E∗^ es una aplicaci´on lineal.
Definici´on 3.2 A la aplicaci´on lineal f ∗^ : F ∗ → E∗^ obtenida en 3.1 a partir f : E → F la llamaremos morfismo traspuesto (´o aplicaci´on traspuesta ) de f.
- Morfismos Traspuestos 47
Teorema 3.3 Sean E, F y G espacios vectoriales. Tenemos:
(i) Dados f 1 , f 2 ∈ Homk(E, F ) y dado λ ∈ k se satisfacen (f 1 + f 2 )∗^ = f 1 ∗ + f 2 ∗ y (λf 1 )∗^ = λf 1 ∗ ; es decir, es lineal la aplicaci´on
Homk(E, F ) → Homk(F ∗, E∗) f 7 → f ∗^.
(ii) Si IE es el endomorfismo identidad de E, entonces (IE )∗^ es el endomorfismo identidad de E∗: (IE )∗^ = IE∗. (iii) Si f ∈ Homk(E, F ) y g ∈ Homk(F, G), entonces (g◦f )∗^ = f ∗◦g∗. (iv) Si f ∈ Homk(E, F ) es un isomorfismo, entonces f ∗^ tambi´en es isomorfismo y se satisface (f ∗)−^1 = (f −^1 )∗.
Demostraci´on. Los apartados (i) y (ii) son sencillos de probar y se dejan como ejercicio. (iii) Cualquiera que sea ω ∈ G∗^ tenemos,
(g◦f )∗(ω) = ω◦(g◦f ) = (ω◦g)◦f = f ∗(ω◦g) = f ∗(g∗(ω)) = (f ∗◦g∗)(ω) ,
lo cual prueba que las aplicaciones (g◦f )∗^ y f ∗◦g∗^ son iguales. (iv) Si f ∈ Homk(E, F ) es un isomorfismo tenemos
f ∗◦(f −^1 )∗^ = (f −^1 ◦f )∗^ = (IE )∗^ = IE∗ , (f −^1 )∗◦f ∗^ = (f ◦f −^1 )∗^ = (IF )∗^ = IF ∗ ,
por lo tanto f ∗^ y (f −^1 )∗^ son isomorfismo y cada uno inverso del otro.
Lema 3.4 Para toda aplicaci´on lineal g : E → G se satisfacen:
(i) Ker g∗^ = (Im g)◦; (ii) Im g∗^ = (Ker g)◦.
Demostraci´on. El apartado (i) es sencillo y se deja como ejercicio. (ii) Probemos en primer lugar la inclusi´on Im g∗ ⊇ (Ker g)◦, es decir, sea ω ∈ E∗^ tal que ω(Ker g) = 0 y veamos que existe ω 0 ∈ G∗^ satisfaciendo ω = ω 0 ◦g = g∗(ω 0 ). Consideremos un subespacio G′^ de G que sea suplementario de Im g : G = Im g ⊕ G′. Si ω 1 ∈ (Im g)∗^ y ω 2 ∈ G′∗, entonces la aplicaci´on
ω 0 : G = Im g ⊕ G′^ → k v = v 1 + v 2 7 → ω 0 (v) := ω 1 (v 1 ) + ω 2 (v 2 ) , (v 1 ∈ Im g , v 2 ∈ G′^ ) (3.1)
es lineal y por lo tanto ω 0 ∈ G∗. Tomemos ω 2 arbitrariamente y definamos ω 1 del siguiente modo: si g′^ : E → Im g es la aplicaci´on g con el codominio restringido a Im g, entonces g′^ es epiyectiva y basta tener en cuenta que ω(Ker g′) = ω(Ker g) = 0 para obtener que ω factoriza a trav´es de g′, es decir, existe ω 1 tal que ω = ω 1 ◦g′^ (v´ease I.8.36). Ahora, si definimos ω 0 como en (3.1) a partir de estas formas ω 1 y ω 2 , entonces es claro que ω 0 ∈ G∗^ es tal que ω = ω 0 ◦g. Por ´ultimo, la demostraci´on de la inclusi´on Im g∗ ⊆ (Ker g)◦^ es inmediata.
- Matrices Traspuestas 49
Demostraci´on. Si i : F → E es la inclusi´on natural de F en E y π : E → E/F es el morfismo de paso al cociente, entonces la sucesi´on de aplicaciones lineales
0 −→ (E/F )∗^ π
∗ −→ E∗^ i
∗ −→ F ∗ −→ 0
es exacta, y por lo tanto tenemos
F ◦^ = {ω ∈ E : ω(F ) = 0} = {ω ∈ E : ω(i(F )) = 0} = {ω ∈ E : i∗(ω) = 0} = Ker i∗^ = Im π∗^.
Como π∗^ es inyectiva, (E/F )∗^ es isomorfo a Im π∗, es decir, (E/F )∗ ≈ F ◦. Si E es de dimensi´on finita, entonces E/F tambi´en es de dimensi´on finita y obtenemos dim F ◦^ = dim((E/F )∗) = dim(E/F ) = dim E − dim F.
Nota 3.9 Obs´ervese que el isomorfismo F ◦^ ≈ (E/F )∗^ probado en 3.8 no es m´as que un caso particular de la propiedad universal probada en I.4.4.
Corolario 3.10 (Teorema del rango) Si T : E → F es una aplicaci´on lineal entre espacios vectoriales de dimensi´on finita, entonces T y T ∗^ tienen igual rango (v´ease II.2.11).
Demostraci´on. Denotemos por i : Ker T → E la inclusi´on natural de Ker T en E. Por una parte, aplicando la f´ormula de la dimensi´on a las aplicaciones T e i∗^ obtenemos
dim(Im T ) + dim(Ker T ) = dim E = dim(Im i∗) + dim(Ker i∗).
Por otra parte, aplicando el Teorema de Fr¨obenius obtenemos que la sucesi´on de aplicaciones
lineales F ∗^ T^
∗ −→ E∗^ i
∗ −→ (Ker T )∗ → 0 es exacta, es decir, i∗^ es epiyectiva y Ker i∗^ = Im T ∗, de lo que se siguen las igualdades
dim(Im i∗) = dim((Ker T )∗) = dim(Ker T ) , dim(Ker i∗) = dim(Im T ∗).
De todo lo dicho obtenemos dim(Im T ) = dim E − dim(Ker T ) = dim(Im T ∗), lo cual termina la demostraci´on.
4 Matrices Traspuestas
Definici´on 4.1 Llamaremos matriz traspuesta de una matriz A ∈ Mm×n(k), y la denotaremos At, a la matriz de Mn×m(k) que se obtiene de A cambiando filas por columnas, es decir,
At(i, j) := A(j, i) , i = 1,... , n , j = 1,... , m.
Es inmediato comprobar que (At)t^ = A.
Teorema 4.2 Sean E y F espacios vectoriales de dimensi´on finita, B 1 = {e 1 ,... , en} una base de E, y B 2 = {v 1 ,... , vm} una base de F. Denotemos por B 1 ∗ = {ω 1 ,... , ωn} la base dual de B 1 y por B∗ 2 = {ξ 1 ,... , ξm} la base dual de B 2. Si T : E → F es una aplicaci´on lineal y A es la matriz de T en las bases B 1 y B 2 , entonces la matriz de T ∗^ : F ∗ → E∗^ en las bases B∗ 2 y B∗ 1 es At.
50 Cap´ıtulo IV. El Espacio Dual
Demostraci´on. Sean A = (aij ) ∈ Mm×n(k) y T ∈ Homk(E, F ) como en el enunciado, es decir, satisfaciendo
T (ej ) =
∑^ m
i=
aij vi , j = 1,... , n.
Para ver que At^ es la matriz de T ∗^ en las bases B 2 ∗ y B 1 ∗ , tenemos que probar las igualdades
T ∗(ξi) =
∑^ n
j=
aij ωj , i = 1,... , m ,
y como T ∗(ξi) y
∑n j=1 aij^ ωj^ son aplicaciones lineales de^ E^ en^ k, para ver que son la misma basta comprobar que coinciden sobre una base de E: dado eh ∈ B 1 , h ∈ { 1 ,... , n}, tenemos
T ∗(ξi)(eh) = (ξi◦T )(eh) = ξi(T (eh)) = ξi(a 1 hv 1 + · · · + amhvm) = a 1 hξi(v 1 ) + · · · + amhξi(vm) = aih , ( (^) ∑n
j=
aij ωj
) (eh) = ai 1 ω 1 (eh) + · · · + ainωn(eh) = aih ,
ya que ξi(vh) = 0 si i 6 = h, ξi(vi) = 1, ωj (eh) = 0 si j 6 = h, y ωh(eh) = 1.
Corolario 4.3 (i) Cualesquiera que sean las matrices A ∈ Mm×n(k) y B ∈ Mn×p(k) se satisface (A · B)t^ = Bt^ · At. (ii) Sean B 1 y B 2 bases de un espacio vectorial E, y sean B 1 ∗ y B∗ 2 las bases duales de B 1 y B 2 , respectivamente. Si A es la matriz de cambio de la base B 1 a la base B 2 , entonces At^ es la matriz de cambio de la base B 2 ∗ a la base B 1 ∗. (iii) Para cada matriz cuadrada A ∈ Mn(k) se satisface: A es invertible si y s´olo si At^ es invertible, en cuyo caso, la matriz inversa de At^ es igual a la matriz traspuesta de A−^1 , (A−^1 )t^ = (At)−^1.
Demostraci´on. Las demostraciones son sencillas y se dejan como ejercicio. Se trata de traducir a las matrices (con ayuda del teorema 4.2) las propiedades probadas en 3.3 para los morfismos.
4.4 (Rango de una matriz) Sea A = (aij ) ∈ Mm×n(k). Las n columnas de A las podemos considerar como vectores de km, de modo que podemos hablar del “ rango de las columnas de A ”, el cual denotaremos rg c(A); de igual forma, las m filas de A son vectores de kn^ y por lo tanto tenemos el “ rango de las filas de A ”, que denotaremos rg f (A). Si T : E → F es una aplicaci´on lineal cuya matriz en ciertas bases de E y F es A, entonces se satisface la igualdad rg T = rg c(A). En efecto, si B = {e 1 ,... , en} es una base de E y B′^ es una base de F tales que la matriz de T en ellas es A, basta tener en cuenta que rg T = rg{T (e 1 ),... , T (en)} y que las columnas de A son los vectores {T (e 1 ),... , T (en)} expresados en la base B′. De la anterior propiedad y de 3.10 se sigue inmediatamente la versi´on matricial del teorema del rango: Para toda matriz A ∈ Mm×n(k) se satisface que el rango de sus filas es igual al rango de sus columnas, rg f (A) = rg c(A). Para probarlo basta tener en cuenta, siguiendo con la notaci´on del p´arrafo anterior, que rg f (A) = rg c(At) = rg T ∗^ (v´ease 4.2).
52 Cap´ıtulo IV. El Espacio Dual
Corolario 5.4 Si ω 1 y ω 2 son dos formas lineales no nulas sobre un espacio vectorial E, entonces: Ker ω 1 = Ker ω 2 ⇐⇒ 〈ω 1 〉 = 〈ω 2 〉.
6 Problemas
6.1 Sean E un espacio vectorial de dimensi´on 5, B = {e 1 ,... , e 5 } una base suya y B∗^ = {ω 1 ,... , ω 5 } su base dual. Dado el subespacio F generado por los vectores u 1 = e 2 − e 4 , u 2 = e 1 + e 2 + e 3 , u 3 = e 3 + 2e 4 − e 5 , h´allese dim F y obt´engase una base se F ◦.
6.2 Sea {ω 1 , ω 2 } una base de (R^2 )∗. Se sabe que ω 1 (x, y) = 2x − y, ω 2 (− 1 , 1) = 2 y ω 2 (1, 2) = −1. H´allese en R^2 la base dual de {ω 1 , ω 2 }.
6.3 Tres elementos f, g, h ∈ (R^3 )∗^ est´an definidos para cada (x, y, z) ∈ R^3 por las f´ormulas f (x, y, z) = x + z, g(x, y, z) = x, h(x, y, z) = y. Pru´ebese que {f, g, h} es una base de (R^3 )∗^ y calc´ulese su base dual.
6.4 Consid´erese la base {(2, 3), (− 1 , 0)} de R^2 y sea {ω 1 , ω 2 } su base dual. Se definen las aplicaciones ϕ 1 , ϕ 2 : R^2 → R por las igualdades
ϕ 1 (x, y) = − 2 x + y , ϕ 2 (x, y) = x − 3 y.
(a) Demu´estrese que {ϕ 1 , ϕ 2 } es una base de (R^2 )∗. (b) Calc´ulense las coordenadas de ϕ 1 , ϕ 2 en la base {ω 1 , ω 2 }. (c) H´allese la base dual de {ϕ 1 , ϕ 2 }.
6.5 Consid´erese la base {(1, 2 , −1), (− 1 , 1 , 0), (1, 0 , 1)} de R^3 y sea {ω 1 , ω 2 , ω 3 } su base dual. Se definen las aplicaciones ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 : R^3 → R por las igualdades
ϕ 1 (x, y, z) = − 3 x − y + z , ϕ 2 (x, y, z) = x − 3 z , ϕ 3 (x, y, z) = 2y + x.
(a) Demu´estrese que {ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 } es una base de (R^3 )∗. (b) Calc´ulense las coordenadas de ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 en la base {ω 1 , ω 2 , ω 3 }. (c) H´allese la base dual de {ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 }.
6.6 Sea E un espacio vectorial de dimensi´on finita. Dadas formas lineales ω 1 ,... , ωr sobre E se definen los subespacios Ei = Ker ωi (i = 1,... , r), F = E 1 ∩ · · · ∩ Er. Pru´ebense: (a) dim(E/F ) ≤ r ; (b) dim(E/F ) = r ⇐⇒ {ω 1 ,... , ωr} es una familia libre de E∗.
6.7 Consid´erense en C 1 [x] las formas lineales ω 1 (p(x)) = p(1), ω 2 (p(x)) = p(i) (p(x) ∈ C 1 [x]). Pru´ebese que {ω 1 , ω 2 } es una base de (C 1 [x])∗^ y calc´ulese su base dual.
6.8 Sean E un C-espacio vectorial de dimensi´on 3, {e 1 , e 2 , e 3 } una base de E y {ω 1 , ω 2 , ω 3 } su base dual. Calc´ulese la base dual de {v 1 , v 2 , v 3 } sabiendo que v 1 = (1 + i)e 1 − ie 2 , v 2 = −ie 2 + (1 − i)e 3 , v 3 = e 3 − (2 + i)e 2.
- Problemas 53
6.9 Sean F y G subespacios de un espacio vectorial E de dimensi´on finita tales que E = F ⊕ G. Pru´ebese la igualdad E∗^ = F ◦^ ⊕ G◦.
6.10 Sea E = R 2 [x]. Consideremos la base B = { 1 , x, x^2 } de E y sea B∗^ = {ω 1 , ω 2 , ω 3 } la base dual de B. Se definen las aplicaciones θ 1 , θ 2 , θ 3 del siguiente modo: dado p(x) ∈ E,
θ 1 (p(x)) =
∫ (^1)
0
p(x) dx , θ 2 (p(x)) =
∫ (^1)
0
xp(x) dx , θ 3 (p(x)) =
∫ (^1)
0
x^2 p(x) dx.
(a) Pru´ebese que {θ 1 , θ 2 , θ 3 } es una base de E∗. (b) H´allense las coordenadas de θ 1 , θ 2 , θ 3 en la base B∗. (c) Obt´engase la base dual de {θ 1 , θ 2 , θ 3 }. (d) Ded´uzcase de todo lo anterior que para toda forma lineal ω ∈ E∗^ existe un ´unico polinomio p(x) ∈ E satisfaciendo:
ω(q(x)) =
∫ (^1)
0
q(x)p(x) dx , para todo q(x) ∈ E.
6.11 Dado n, es sabido que las funciones e 1 = sen t, e 2 = sen 2t,... , en = sen nt son linealmente independientes sobre el cuerpo R (v´ease II.3.22). Sea E el R-espacio vectorial que dichas funciones generan, sea B∗^ = {ω 1 ,... , ωn} la base dual de la base B = {e 1 ,... , en}, y para cada f ∈ E consid´erese la aplicaci´on
φf : E → R g 7 → φf (g) :=
∫ (^2) π 0 f g^ dt.
(a) Pru´ebese que φf ∈ E∗^ para todo f ∈ E. (b) Pru´ebese que la aplicaci´on φ : E → E∗, f 7 → φ(f ) := φf , es un isomorfismo y calc´ulese su matriz en las bases B y B∗. 1 (c) Dados n´umeros reales arbitrarios α 1 ,... , αn ded´uzcanse las relaciones
∑^ n
i=
∫ (^2) π
0
αi ei eh dt = παh.
6.12 H´allense de modo expl´ıcito las formas lineales que constituyen la base dual de la base usual de kn. ¿Cu´al es la expresi´on general de una forma lineal sobre kn^?
6.13 H´allense de modo expl´ıcito las formas lineales que constituyen la base dual de la base { 1 , x, x^2 ,... , xn} de kn[x]. ¿Cu´al es la expresi´on general de una forma lineal sobre kn[x]? Sup´ongase el caso k = R, n = 2 y consid´erese sobre R 2 [x] la forma lineal ω definida por la igualdad ω(p(x)) =
∫ (^1) 0 p(x) dx^ (p(x)^ ∈^ R^2 [x]). Calc´ulense las coordenadas de^ ω^ en la base dual de { 1 , x, x^2 }.
(^1) Recu´erdese que cuando i 6 = h una primitiva de la funci´on sen it sen ht es 1 2
{ (^) sen(i−h)t i−h −^
sen(i+h)t i+h
} , y que una primitiva de la funci´on sen^2 it es (^12)
{ t − sen 2 2 iit
} .
- Problemas 55
6.22 Se dice que una matriz A ∈ Mn(k) es sim´etrica si At^ = A, y que es hemisim´etrica si At^ = −A. Sean Sn(k) y Hn(k) los conjuntos de las matrices sim´etricas y hemisim´etricas de Mn(k), respectivamente. Pru´ebese que Sn(k) y Hn(k) son subespacios vectorialess de Mn(k) y h´allense bases de suyas. Demu´estrese que Mn(R) = Sn(R) ⊕ Hn(R).
6.23 Consid´erese el espacio vectorial Mn(k) de las matrices cuadradas de orden n, y para cada par de ´ındices i, j ∈ { 1 ,... , n} sea eij la matriz cuyos t´erminos son todos nulos salvo el (i, j) que vale 1; {eij } es base de Mn(k) (v´ease III.2.2). Sea {ωij } la base dual de {eij }. Para cada matriz A = (aij ) ∈ Mn(k) se definen las siguientes aplicaciones 2 :
DA : Mn(k) → k B 7 → DA(B) := tra(BA) ,
IA : Mn(k) → k B 7 → IA(B) := tra(AB).
(a) Pru´ebese que DA, IA ∈ (Mn(k))∗, h´allense sus coordenadas en la base {ωij } y ded´uz- case que IA = DA. (b) Pru´ebese que la aplicaci´on T : Mn(k) → (Mn(k))∗ A 7 → T (A) := IA
es un isomorfismo y calc´ulese su matriz en las bases {eij } y {ωij }. (c) Dada la forma lineal ω : Mn(k) → k definida como ω(B) =
∑n i,j=1 bij^ (B^ = (bij^ )), obt´engase A ∈ Mn(k) tal que ω = T (A). (d) Calc´ulese T −^1 ((Sn(k))◦) (v´ease 6.22).
6.24 Sea f un endomorfismo nilpotente de un espacio vectorial E, esto es, tal que existe un entero positivo r satisfaciendo f r^ = 0. Pru´ebense: (a) f ∗^ tambi´en es nilpotente. (b) Si g ∈ End(E) es tal que g ◦f = f ◦g, entonces f ◦g tambi´en es nilpotente. (c) Si I es el endomorfismo identidad de E, entonces I + f es un automorfismo de E. (d) Si p(x) ∈ k[x] no tiene t´ermino independiente, entonces p(f ) tambi´en es nilpotente. (e) Si N (E) es el conjunto de los endomorfismo nilpotentes de E, de los anteriores aparta- dos se sigue que podemos definir la aplicaci´on exp : N (E) → Aut(E) como 3
exp(u) = I + u +
u^2 +... +
n!
un^ +... (u ∈ N (E) .)
Pru´ebese que si u 1 , u 2 ∈ N (E) conmutan entonces exp(u 1 + u 2 ) = exp(u 1 ) exp(u 2 ), y como consecuencia exp(u 1 ) y exp(u 2 ) tambi´en conmutan. (f) Aplicaci´on: Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es decir, funciones inc´ognitas x 1 (t),... , xn(t) de R en R que satisfacen las relaciones
x′ 1 = dx 1 dt
= a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn .. . x′ n =
dxn dt = an 1 x 1 + · · · + annxn
(^2) Dada A = (aij ) ∈ Mn(k) se define la traza de A como el escalar tra(A) := ∑n 3 i=1^ aii. Obs´ervese que la suma de la definici´on de exp es finita.
56 Cap´ıtulo IV. El Espacio Dual
o sea (^)
x′ 1 .. . x′ n
= A
x 1 .. . xn
, donde A =
a 11... a 1 n .. .
an 1... ann
.
Si A es nilpotente tA tambi´en lo es y las soluciones del sistema vienen dadas por la igualdad
x 1 .. . xn
= etA
c 1 .. . cn
,
donde c 1 ,... , cn son constantes a determinar por las condiciones iniciales del problema. Resu´elvase, con las condiciones iniciales x 1 (0) = x 2 (0) = 1, x 3 (0) = x 4 (0) = 0, el sistema
x′ 1 = 0 , x′ 2 = x 1 , x′ 3 = x 2 , x′ 4 = x 3.
6.25 Dadas A ∈ Mp×m(k), B ∈ Mm×n(k) pru´ebese rg(AB) ≤ min{rg A, rg B}.
6.26 Dadas A, B ∈ Mm×n(k) pru´ebese rg(A + B) ≤ rg A + rg B.
6.27 Dadas A, B ∈ Mn(k) pru´ebense: (a) si A es invertible entonces rg(AB) = rg B ; (b) rg(AB) ≥ rg A + rg B − n ; (c) rg(AtA) = rg(AAt) = rg A.
