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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA II - APUNTE TEÓRICO
UNIDAD 2 : POLINOMIOS
Definición. Coeficientes y grado de un polinomio. Polinomio nulo, mónico y constante. Suma y
multiplicación de polinomios. Propiedades. Algoritmo de la división. Teorema del resto. Raíces de
un polinomio. Existencia de raíces. Cálculo de raíces. Raíces racionales de polinomios con
coeficientes enteros. regla de Descartes y regla de Laguerre-Thibault. Raíces complejas.
Factorización de polinomios.
Objetivos:
Al desarrollar esta unidad nos proponemos que los/as alumnos/as puedan:
➢ Reconocer un polinomio, su grado, su coeficiente principal, su término independiente.
➢ Realizar operaciones entre polinomios: suma, resta, multiplicaciones por escalar,
multiplicaciones y divisiones.
➢ Reconocer y aplicar las propiedades de las operaciones con polinomios.
➢ Comprender y aplicar el teorema de Ruffini y del resto en la división de polinomios.
➢ Comprender el concepto de raíz de un polinomio
➢ Aplicar el teorema que permite el cálculo de raíces racionales de un polinomio
➢ Conocer y aplicar la regla de Descartes y la regla de Laguerre-Thibault en la búsqueda de
raíces de un polinomio.
➢ Factorizar en su totalidad un polinomio dado.
POLINOMIOS
Definición: Se llama polinomio en 𝑥 con coeficientes en el cuerpo 𝐾 a la expresión
0
1
2
2
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛
𝑛
Donde 𝑛 ∈ ℕ ∪ { 0 } y los 𝑎 𝑖
∈ 𝐾 donde 𝐾 puede ser ℚ, ℝ o ℂ
𝑖
, 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 son los coeficientes de 𝑃
0
es el término independiente del polinomio
𝑛
es el coeficiente principal de 𝑃
➢ Si 𝑎
𝑛
= 1 diremos que el polinomio es mónico
➢ Si 𝑎
𝑖
= 0 para 0≤ 𝑖 ≤ 𝑛, el polinomio se llama nulo
➢ 𝑛 es el grado del polinomio de 𝑃
y se escribe de 𝑔𝑟(𝑃
Observación
➢ El grado del polinomio nulo no está definido
➢ Con 𝐾[𝑥] representaremos al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en el cuerpo
𝐾. Esto es, ℚ
[
]
[
]
, ℂ[𝑥], son los conjuntos de polinomios en 𝑥, con coeficientes
racionales, reales o complejos respectivamente. Está claro que ℚ
[
]
[
]
⊆ ℂ[𝑥],
Ejemplo: Sea 𝑃
7
6
5
4
1
2
3
2
- 0 𝑥 − 5 un polinomio ordenado en
forma decreciente y completo, tenemos que:
- El coeficiente principal de 𝑃
es − 1
- El término independiente de 𝑃(𝑥) es − 5
Definición : Dados dos polinomios 𝑃(𝑥) = 𝑎
0
1
2
2
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛
𝑛
y
0
1
2
2
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛
𝑛
diremos que:
𝑖
𝑖
Ejemplo : Encontrar los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ para que los polinomios
3
2
− 3 𝑥 − 5 y 𝑄
2
− 3 𝑥 − 5 𝑎 sean iguales.
Para que los polinomios dados sean iguales, los coeficientes de los monomios de igual grado deben
ser iguales, luego tenemos:
Tenemos que
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
2
1
1
0
0
Ejemplo : Sean 𝑃
5
3
2
4
3
2
Entonces:
5
4
3
2
5
4
3
2
PRODUCTO POR ESCALAR
Dados un polinomio 𝐴(𝑥) y un escalar 𝑘 𝜖 ℝ, podemos hallar un polinomio 𝑀(𝑥) resultante de
multiplicar el número real por el polinomio. Sus monomios serán el producto del escalar por cada
monomio integrante del polinomio.
Esto es:
Dado el polinomio: A
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
resulta:
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Ejemplo : Sea 𝑃
5
3
2
5
3
2
5
3
2
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Dados dos polinomios 𝑃
, el producto entre ellos puede pensarse como aplicación de la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma algebraica y luego asociamos los monomios
de igual grado.
Ejemplo: Sean 𝑃
3
2
2
3
2
2
𝟑
2
2
2
2
2
5
4
3
4
3
2
3
2
2
5
4
3
2
En nuestro caso 𝑔𝑟(𝑃
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Teorema: Dados dos polinomios 𝐴
[
]
, con 𝐵(𝑥) ≠ 0 existen dos polinomios
[
]
, llamados el cociente y el resto respectivamente que resultan de dividir a 𝐴
por 𝐵(𝑥), univocamente determinados tales que:
Ejemplo: Dividir − 5 𝑥
5
3
2
3
El dividendo debe estar ordenado y completo, 𝐴
5
4
3
2
Luego: − 5 𝑥
5
4
3
2
3
5
5
2
3
15
2
2
5
2
2
1
4
3
2
1
2
3
1
4
3
4
9
2
2
3
4
5
4
Por lo tanto − 5 𝑥
5
4
3
2
3
5
2
2
1
4
9
2
2
3
4
5
4
Hemos visto que, al dividir dos polinomios, el grado del resto es menor que el grado del divisor. En
este caso 𝑔𝑟
= 1 , por lo que 𝑔𝑟(𝑅
) = 0 , luego el resto de esta división es una constante
que llamaremos 𝑟, es decir; 𝑅
= 𝑟 y, en consecuencia:
Calculemos el valor numérico 𝑃(c) y se obtendrá lo siguiente:
Por lo tanto: 𝑅(𝑥) = 𝑃(c)
Ejemplo: Consideremos la división: 𝑃
5
3
2
− 𝑥 − 1 por 𝑄
= 𝑥 + 2 Si
necesitamos calcular directamente el resto de esa división podemos aplicar el teorema del resto,
diciendo que 𝑅
5
3
2
Luego: 2 𝑥
5
3
2
RAÍCES DE UN POLINOMIO
Definición: Dado 𝑃
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
∈ 𝐾[𝑥], un elemento 𝑐 ∈ 𝐾
se dice raíz de 𝑃(𝑥) si 𝑃(𝑐) = 0 , es decir:
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Ejemplos:
➢ El polinomio P
x
2
− 4 𝑥 + 4 tiene a 𝑐 = 2 como raíz, ya que 𝑃
➢ El polinomio P
x
4
− 16 tiene a 𝑐
1
2
3
4
= − 2 𝑖 como raíces
Ya que 𝑃( 2 ) = 𝑃(− 2 ) = 𝑃( 2 𝑖) = 𝑃(− 2 𝑖) = 0
Corolario (Corolario del teorema del resto)
Un elemento 𝑐 ∈ 𝐾 es raíz de un polinomio 𝑃(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] si y solo si 𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥 − 𝑐)
Demostración : 𝑐 es raíz de 𝑃
⇔ el resto de la división de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑐 es 0
⇔ 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑥 − 𝑐
Observación: 𝑐 es raíz del polinomio 𝑃(𝑥) si y solo si 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑐). 𝑄(𝑥). Es decir, que si 𝑐 es raíz
del polinomio 𝑃(𝑥), entonces (𝑥 − 𝑐) divide a 𝑃(𝑥) y aparece en su factorización. Además, el
polinomio cociente 𝑄(𝑥) no es nulo y no tiene a 𝑐 como raíz.
Ejemplo: El polinomio P(x) = 𝑥
4
− 16 tiene a 𝑐
1
2
= − 2 como raíces, luego:
2
Definición: Si 𝑐 es raíz del polinomio 𝑃(𝑥), se llama orden de multiplicidad de la raíz 𝑐, al número
natural 𝑘 tal que (𝑥 − 𝑐)
𝑘
divide a 𝑃(𝑥) pero (𝑥 − 𝑐)
𝑘+ 1
no lo divide.
El orden multiplicidad de una raíz se puede hallar aplicando la regla de Ruffini. Si conocemos una
raíz de P (x) es siempre conveniente calcular su orden de multiplicidad para obtener un polinomio de
menor grado cuyas raíces son también raíces de 𝑃(𝑥).
Ejemplo : Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥
3
2
Podemos notar que 𝑐 1
= (− 1 ) es raíz ya que 𝑃
= 0 y 𝑐
2
= 4 es raíz del polinomio 𝑃
3
2
2
Luego 𝑐 2
= 4 tiene orden de multiplicidad 2 o es raíz doble y 𝑐
1
= (− 1 ) tiene orden de multiplicidad
1 o es raíz simple.
Las propiedades que necesitaremos son las siguientes:
𝑛 ̅̅̅
=
𝑛
- Si z ∈ ℝ entonces 𝑧̅ = 𝑧
Demostración:
Se sabe que 𝑃(𝑥) tiene coeficientes reales, o sea que es de la forma
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
𝑖
También se sabe que 𝑧 es raíz, entonces será 𝑃(𝑧) = 0 (por definición de raíz)
Veamos desarrollado este concepto:
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Ahora aplicamos conjugado en ambos miembros, obteniendo la siguiente expresión:
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Por propiedad 4 tenemos:
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Luego usando la propiedad 1:
𝑛
𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅
𝑛− 1
2
1
0
Por propiedad 2:
𝑛
𝑛 ̅̅̅
𝑛− 1
2
1
0
Por propiedad 4:
𝑛
𝑛
̅̅̅
𝑛− 1
𝑛− 1 ̅̅̅̅̅̅
2
2 ̅̅̅
1
0
Finalmente, por propiedad 3:
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Y en consecuencia 𝑃(𝑧 ̅) = 0 , por lo que 𝑧̅ es raíz de 𝑃
Ejemplo: 𝑃
3
2
2
2
Luego: 𝑥
2
- 1 = 0 o 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑖 o 𝑥 = −𝑖 o 𝑥 = 1 , así, 𝑧 = 𝑖 es raíz y 𝑧 ̅= −𝑖 también lo
es.
Este dato es muy importante ya que nos dice que las raíces complejas de un polinomio con
coeficientes reales vienen de a pares.
Un Corolario de esto es el hecho de que, si un polinomio tiene grado impar, necesariamente debe
tener al menos una raíz real pues las que son complejas (si las tuviera) vienen de a pares. Por ejemplo,
si tenemos un polinomio de grado 5 se podría dar el caso de tener 1 raíz real y 4 complejas (2 pares),
3 raíces reales y 2 complejas (1 par) o las 5 raíces reales.
Corolario: Un polinomio con coeficientes reales, de grado impar, tiene al menos una raíz real
POLINOMIOS IRREDUCIBLES:
Diremos que un polinomio es IRREDUCIBLE en un cuerpo 𝕂 (por ejemplo, podría ser el conjunto
de los racionales ℚ, de los reales ℝ o de los complejos ℂ) si no se puede factorizar en ese conjunto.
Dicho más formalmente un polinomio, no constante, se dice REDUCIBLE en un cuerpo 𝕂 si se
puede expresar como producto de factores (no constantes). Si esto no es posible tendremos un
polinomio irreducible en ese cuerpo.
Ejemplos :
➢ Sea el polinomio 𝑃
2
Nos proponemos buscar sus raíces haciendo 𝑥
2
− 2 = 0 lo que nos lleva a que sus raíces son:
1
2
Estas raíces pertenecen al conjunto de los irracionales, o lo que es lo mismo NO PERTENECEN al
conjunto de los números racionales, ℚ. Por lo que si se nos pidiera expresar al polinomio como
irreducible en ℚ[𝑥], su factorización será:
2
Pero, si se nos pidiera expresar al polinomio como irreducible en ℝ[𝑥], su factorización sería
Luego: 𝑃
1
2
Coeficiente principal
Raíces
➢ Caso especial: Bicuadrática, se realiza una sustitución y se reduce al caso 𝑛 = 2
Ejemplo: 𝑃
4
2
Haciendo el cambio de variable 𝑥
2
= 𝑡 obtenemos 𝑃
2
2
2
1
2
Luego 𝑃
2
3
4
Observaciones:
- 𝑃(𝑥) y 𝑄
) tienen las mismas raíces para 𝑘 ≠ 0.
La demostración de esta afirmación es muy sencilla ya que si 𝑐 es raíz de 𝑃(𝑥), entonces 𝑃(𝑐) =
pero 𝑄(𝑥) = 𝑘 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑄(𝑐) = 𝑘 𝑃(𝑐) ⇒ 𝑄(𝑐) = 0
Luego 𝑐 es raíz de 𝑄(𝑥) = 𝑘 𝑃(𝑥) cqd
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑥
2
− 5 𝑥 + 4 y 𝑄(𝑥) = 3 𝑃(𝑥) = 3 𝑥
2
− 15 𝑥 + 12 , ambos polinomios
tienen como raíces a 1 𝑦 4.
- 𝑐 es raíz de 𝑃
⇔ −𝑐 es raíz de 𝑃
1
2
Demostración : Sabemos que 𝑐 es raíz de 𝑃(𝑥), entonces se verifica que 𝑃(𝑐) = 0
Es decir: 𝑎
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
= 0. Escribimos, ahora, el polinomio
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Vamos a evaluar a 𝑃(−𝑥) en el valor (−𝑐), obteniendo lo siguiente
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0 =
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
1
0
Expresión que nos indica que (−𝑐) es raíz de 𝑃(−𝑥)
Ejemplo: 𝑃
2
− 5 𝑥 + 4 tiene a 1 𝑦 4 .como raíces, luego:
2
2
- 5 𝑥 + 4 tiene como raíces a − 1 𝑦 − 4.
Enunciaremos un teorema que nos permite buscar raíces racionales de polinomios con grado
mayor a dos, conocido como el teorema de Gauss.
Teorema de Gauss: Dado un polinomio 𝑃 ( 𝑥 ) CON COEFICIENTES ENTEROS, si 𝒄 =
𝒑
𝒒
es
raíz, considerando 𝑝 y 𝑞 coprimos, entonces 𝑝 divide a 𝒂 𝟎
y 𝑞 divide a 𝒂
𝒏
En otras palabras, si el polinomio tiene una raíz racional el numerador es divisor del término
independiente y el denominador es divisor del coeficiente principal Este teorema nos permite
encontrar un conjunto de números racionales, entre los cuales se encontrarán las raíces racionales del
polinomio, si las tuviera.
La estrategia es: buscar todos los divisores del término independiente y formar un conjunto de los
posibles "𝑝", luego buscar todos los divisores del coeficiente principal y formar un conjunto de los
posibles "𝑞", luego armar todas las fracciones posibles entre ellos y obtener así, el conjunto de los
posibles
𝑝
𝑞
para comenzar a probar a través de la Regla de Ruffini o del Teorema del Resto cuáles de
esas fracciones serán raíces del polinomio. Puede suceder que probemos con todas y ninguna sea raíz
del polinomio, en ese caso, diremos que el polinomio no tiene raíces racionales (puede tener raíces
irracionales o complejas)
Ejemplo: Hallar las raíces racionales, si las tuviera, del polinomio 𝑃
3
9
2
2
3
2
Notemos que el polinomio no tiene coeficientes enteros, pero como hemos visto que si un número es
raíz de este polinomio también lo será de un múltiplo de él, multiplicamos convenientemente a 𝑃(𝑥)
para obtener coeficientes enteros y hacer que el polinomio encuadre en las condiciones del teorema.
Este resultado significa que cualquier raíz real del polinomio será menor (o igual, a lo sumo) al
número 𝑎.
Ejemplo: Acotar las raíces reales de 𝑃
3
2
Iniciamos la búsqueda de las posibles raíces racionales por teorema de Gauss
𝑝 ∈ {± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 }, 𝑞 ∈ {± 1 } Entonces:
𝑝
𝑞
Tendríamos ocho valores para probar, posibles raíces de 𝑃(𝑥). Pero ahora sabemos “acotar” ese
conjunto y vemos que si elegimos 𝑎 = 3 y hacemos la división por Ruffini nos queda:
Todos los coeficientes del cociente y también el resto son no negativos, es decir que 𝑎 = 3 es cota
superior. Todas las raíces reales serán menores a 3, luego los valores 4 y 8 del conjunto de posibles
raíces los vamos a descartar (no vamos a probar con ellos ya que estamos seguros que no serán raíces
del polinomio)
Ahora bien, dado que podemos aplicar este teorema a cualquier polinomio, nos va a interesar buscar
la cota superior de las raíces de 𝑃(−𝑥) llamemos 𝑡 𝑖
a las raíces de 𝑃(−𝑥), si le aplicamos la regla
podemos encontrar la cota superior de esas raíces que llamaremos 𝑐.
Si 𝑐 es cota superior de las raíces de 𝑃(−𝑥) entonces se cumple que 𝑡 < 𝑐 pero también sabemos que
las raíces de 𝑃(−𝑥) son las opuestas de las raíces de 𝑃(𝑥), por lo que tenemos:
Este resultado indica que −𝑐 es la cota inferior de las raíces de 𝑃(𝑥)
En síntesis:
➢ Buscamos la cota superior de las raíces de 𝑃(𝑥)
➢ Buscamos la cota superior de las raíces de 𝑃(−𝑥), la cual, cambiada de signo, será la cota
inferior para las raíces de 𝑃(𝑥).
Con esto obtenemos un intervalo al cual estamos seguros que pertenecen las raíces reales del
polinomio estudiado (y eso nos permite optimizar el trabajo de prueba con las posibles raíces que nos
proporciona el teorema de Gauss)
Sigamos con el ejemplo, ya vimos que a = 3 es cota superior de las raíces de 𝑃(𝑥). Ahora
consideramos 𝑃(−𝑥) = −𝑥
3
2
- 10 𝑥 + 8 y aplicamos la regla.
Nos encontramos con el obstáculo que no tiene coeficiente principal positivo, pero habíamos visto
que las raíces de un polinomio también lo son para cualquier múltiplo de él, entonces aquí debemos
trabajar con el polinomio −𝑃
3
2
Ahora sí, estamos en condiciones de aplicar Laguerre-Thibault
Luego 4 es cota superior de las raíces de −𝑃(−𝑥), por lo que 4 es cota superior de las raíces de
y, por lo tanto, − 4 es cota inferior de las raíces de 𝑃
Concluimos que las raíces que estamos buscando del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥
3
2
pertenecen al intervalo [− 4 , 3 ) (cerrado en − 4 ya que es raíz de 𝑃(𝑥)) y sabiendo esto, del conjunto
{± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 } vamos a descartar los valores (−8), 4 𝑦 8 y probaremos solo con las restantes.
TEOREMA: (REGLA DE DESCARTES) El número de raíces reales positivas de un polinomio
con coeficientes reales, teniendo en cuenta el orden de multiplicidad de cada una de ellas es
igual o menor que el número de cambios de signos entre sus coeficientes y difiere del mismo en
un número par.
Observación: Como las raíces de 𝑷(𝒙) son las opuestas de las de 𝑷(−𝒙) , el número de raíces
reales negativas de 𝑷
contadas tantas veces como su orden de multiplicidad es igual o menor
que el número de variaciones de signo de 𝑷(−𝒙) y difiere del mismo en un número par
Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la
lista de coeficientes de un polinomio, con el número de raíces reales positivas del mismo. Al igual
que otras reglas no nos proporciona las raíces, sino que nos orienta en la búsqueda y/o el descarte de
valores para probar.
Sacamos factor común a la 𝑥 con el menor exponente que aparece. También podemos sacar
factor común un número si fuera necesario.
4
5
4
3
2
Desde ahora en adelante trabajamos con el polinomio 𝑄
para facilitar cálculos
5
4
3
2
Como más adelante usaremos la regla de Ruffini para acotar raíces y el teorema de Gauss
para encontrar raíces racionales conviene trabajar con 𝑘𝑄
, 𝑘 ∈ ℝ − { 0 } de manera que
tenga coeficientes enteros. Recordemos que 𝑘𝑄
y 𝑄
tienen las mismas raíces.
5
4
3
2
➢ Tercer paso
Aplicaremos Laguerre- Thibault para acotar las raíces reales de 𝑃(𝑥)
5
4
3
2
Para poder aplicar Laguerre- Thibault el coeficiente principal del polinomio debe ser positivo
luego debemos multiplicar al polinomio por − 1
5
4
3
2
- Cota superior de las raíces reales de 𝑃(𝑥). Buscamos la cota más conveniente:
Recordemos que todos los coeficientes del cociente y el resto deben ser mayores o iguales a
Tenemos que 1 es cota superior de las raíces reales de 𝑃(𝑥)
- Cota inferior de las raíces reales de 𝑃
. Para ello buscamos cota superior de las
raíces de 𝑇(−𝑥) = 4 𝑥
5
4
3
2
Luego − 1 es cota inferior de las raíces reales de 𝑃(𝑥)
Por lo tanto, las raíces reales de 𝑷(𝒙) ∈ (−𝟏, 𝟏)
➢ Cuarto paso
Aplicar la regla de Descartes para conocer la cantidad de raíces reales de 𝑃(𝑥).
5
4
3
2
tiene 4 VS, luego 𝑃(𝑥) tiene 4 raíces reales positivas o 2 raíces reales positivas o no tiene raíces
reales positivas.
5
4
3
2
tiene 1 VS, luego 𝑃(𝑥) tiene exactamente 1 raíz real negativa.
Las posibilidades para la cantidad de raíces reales y complejas de 𝑃(𝑥) son:
−
0 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 4
−
0 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 4
−
0 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 4
➢ Quinto paso
Buscamos las raíces racionales de 𝑃(𝑥). Recordemos que este teorema exige que los
coeficientes del polinomio sean números enteros. Es por esto que trabajaremos con 𝑇(𝑥).
5
4
3
2
0
𝑛
Luego
𝑝
𝑞
1
2
1
4
, ± 2 , ± 4 , }, pero ya hemos acotado las raíces reales de 𝑃(𝑥), como
sabemos las raíces reales del polinomio están en el intervalo (− 1 , 1 ), luego, con toda seguridad vamos
a descartar como posibles raíces racionales de 𝑃
a ± 1 , ± 2 y a ± 4 , por lo que solo nos queda
probar con:
𝑝
𝑞
1
2
o
𝑝
𝑞
1
4
Probaremos con
1
2
1
2
