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resumen DE LOS POLINOMIOS,CONCEPTOS
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
1 / 23
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P P rr (^) oo ff .. (^) MM aa (^) rr íí (^) aa dd (^) ee ll (^) LL (^) uu jj (^) áá nn
M M aa rr tt íí nn ee zz
PP^ rr^ oo^ ff^ ..^ MM^ ii^ rr^ tt^ aa^ RR^ oo^ ss^ ii^ tt^ oo
Llamaremos polinomios de grado (^) n en la variable x, a toda expresión de la forma:
n a ax a x ........ an x
2 0 1 2
tal que:
a 0 (^) R ; a 1 (^) R ; a 2 (^) R ; ..... ; an R an 0 siendo n N 0
En tal expresión, la letra x representa un número real cualquiera y la denominamos
variable o argumento del polinomio. Los números a (^) 0 ; a 1 ; a 2 ;........; an se denominan
coeficientes.
A los polinomios así definidos, los notaremos con una letra mayúscula, por ejemplo:
T(x); P(x); R(x)
En nuestro caso resulta: P( x ) =
n a ax a x ........ an x
2 0 1 2
Ejemplos de polinomios en la variable x:
A(x)=
2 (^2) x 2 x polinomio de segundo grado en (^) x , cuyos coeficientes son:
a 0 2 ; a 1 1 ; a 2 2
B(x)=
4 5 1 2 xπx x polinomio de quinto grado en x , cuyos coeficientes son:
a 0 1 ; a 1 2 ; a 2 0 ; a 3 0 ; a 4 π; a 5 1
Observaciones
Todo número real distinto de cero es un polinomio de grado cero.
Ejemplo: P(x)= 2
Sí en la expresión:
n a ax a x ........ an x
2 0 1 2 todos los coeficientes
a 0 a 1 a 2 .... an 0 , a tal expresión la denominamos, por convenio,
polinomio nulo y lo indicaremos con el símbolo: 0
Por lo tanto el polinomio nulo es el número cero y carece de grado
Al conjunto de todos los polinomios posibles, incluido el polinomio nulo, lo notaremos con la letra P.
De las observaciones anteriores resulta:
R P donde R números reales y P = polinomios
Ejemplo:
x ; 3 x 5
x; 5
son monomios semejantes
Todo polinomio de dos términos se denomina binomio , el de tres términos, trinomio ; el de cuatro términos, cuatrinomio ; de allí en más polinomio de cinco,
seis, siete términos ,etc.
Ejemplo 4 A(x) 2 x es un binomio de cuarto grado en x no completo y ordenado en forma
creciente.
El polinomio A(x) completo y ordenado en forma decreciente es:
A(x) x 0x 0x 0x 2
4 3 2
Lo considerado hasta el presente, se extiende al caso en que los polinomios se
definan en varias variables o argumentos, en cuyo caso resultan expresiones del tipo:
2 3 A x;y x 2xyy
B x;y;z x 2 3 xyz z y
2 5 2
El desarrollo más detallado de estos polinomios en varias variables no se efectuará
en el presente curso.
El valor numérico de un polinomio , es el número que resulta de reemplazar la
variable por un número real cualquiera.
De modo que, dado el polinomio
P(x) = x^4 – x^3 – 7x^2 + 5x + 10
Su valor numérico para x = 0 que notaremos P(0) es:
Los valores numéricos para: x = 1 ; x = 5 ; x = -1 son:
P(1) = 8 ; P( 5 ) = 0 ; P(-1) = 0
Polinomios. Factoreo. Expresiones algebraicas racionales
Matemática
Ejemplo:
5 y – 1 son ceros del polinomio P(x) = x^4 – x^3 – 7x^2 + 5x + 10 porque P 5 0 y
P 1 0
Indica cuáles de las siguientes expresiones son polinomios, en tal caso dar su grado
En centavos por km, el costo de conducir un automóvil a una velocidad v se aproxima
por medio de la función polinómica: C(v) 0,002v 0,21v 15
2
¿Cuánto cuesta conducir un automóvil a 50 km/h?¿y a 80 km/h?
producto)
a) x 9 x 4 x 4 2
R( x)
2 2
b) 8
x 4
x 2
Q(x) - x
3 2
Dados dos polinomios de igual grado, en la misma variable, diremos que son iguales si los coeficientes de los términos del mismo grado resultan iguales.
Simbólicamente:
P( x ) =
n n
2 a 0 a 1 xa 2 x ........ax
Q( x ) =
n n
2 b 0 b 1 xb 2 x ........bx
Diremos que P( x ) = Q( x ) ai bi i 0;1;2;3,...,n
x x 2 5
a)
4 3 c^ )(x^1 )(x^3 )
6 x 3
e)
b) x- 3 d) x x 3 x
5 4 x
f ) 4 x 2 x
4 3
Todo número real b, para el cual se verifique que P(b) = 0, recibe el nombre de
cero o raíz del polinomio
Polinomios. Factoreo. Expresiones algebraicas racionales
Matemática
Definición:
Dados los polinomios P(x) y Q(x):
P( x)Q(x)P(x)[Q(x)]
Ejemplo
P(x) = 5x^3 – 2 x^2 + x + 1
D(x) = -x^4 + 5x^3 – x^2 + 1
Luego resulta P(x) – Q(x) = D(x)
Definición:
Dados dos polinomios P(x) y Q (x ) llamamos polinomio producto e indicamos M(x),
al polinomio que es la suma de todos los productos posibles de cada monomio de P(x) por
cada monomio de Q(x).
Ejemplo:
P(x) = 3x^3 – 2x^2 – 5
Q(x) = 2x + 3
9x^3 – 6x^2 – 15
6x^4 – 4x^3 – 10x
M(x) = 6x^4 + 5x^3 – 6x^2 – 10x – 15
Luego resulta P(x). Q(x) = M(x)
Observación:
El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de cada polinomio o
carece de grado si uno o ambos de los polinomios son el polinomio nulo
x
P(x); Q(x);R(x)P pueden demostrarse las siguientes propiedades de la suma y el
producto de polinomios en base a las propiedades de la suma y producto de números reales.
SUMA MULTIPLICACIÓN
La suma de polinomios cumple con la
ley de cierre
La multiplicación de polinomios cumple con la ley de cierre
Conmutativa
P(x) Q(x)Q(x)P(x)
Conmutativa
P(x). Q(x)Q(x).P(x)
Asociativa
P(x) Q(x) R(x)P(x)Q(x) R(x)
Asociativa
P(x) Q(x) R(x)P(x)Q(x) R(x)
Existencia de elemento neutro
0 P /P(x)P;P(x) 0 P(x)
Existencia de elemento neutro 1 P /P(x)P;P(x).1P(x)
Existencia de elemento simétrico
(OPUESTO)
R( x)P Q(x)P/R(x)Q(x) 0
y se simboliza :
Q(x) R(x)
a) ¿Cuál es el grado de A(x) + B(x)?
b) ¿Cuàl es el grado de A(x). B(x)?
a) A(x) + C(x) d) C(x).[A(x) + B(x)]
b) A(x) - B(x) + C(x) e) [C(x)]^2 – [B(x)]^3 c) A(x).B(x) f) - A(x) – B(x) C(x)
Ejemplo: Dividamos P(x) = 3x^4 – 2x + 5x^3 + 3 entre Q(x) = x^2 – 3x + 2
3x^4 + 5x^3 + 0x^2 – 2x + 3 x^2 – 3x + 2
_
3x^4 – 9x^3 + 6x^2 3x^2 + 14x + 36
/ 14x^3 – 6x^2 – 2x + 3
_ 14x^3 – 42x^2 +28x
/ 36x^2 – 30x + 3
_
36x^2 – 108x +
/ 78x – 69
cuatro. ¿Cuál es el grado del cociente?. ¿Y el grado del resto?
a) (x^4 – x^3 – 8x^2 – 2) : (x^2 – 3x – 1) b) (x^5 – 6x^3 – 25x) : (x^2 + 3x)
3
37 x 3
52 es el resto de la división (6x^5 +9x^4 – 7x^3 + 7x^2 – 8x +5) :(3x^2 – 3x – 1)
2
2
x
x x es un polinomio. Justifica.
C(x)
R(x)
cociente
resto
Polinomios. Factoreo. Expresiones algebraicas racionales
Matemática
Un caso que se presenta con mucha frecuencia, es la división de un polinomio P(x) de
grado n por un binomio de la forma x + h ( h R), en este caso C(x) resulta de grado
n – 1 y R(x) es de grado 0 o carece de grado; es decir el resto resultará un número real
(R), que será cero si P(x) es divisible por x + h. Sabemos que si P(x) es el dividendo; x + h el divisor y R el resto, deberá verificarse:
P(x) = C(x) .(x + h) + R
El resto R de una división de un polinomio en x por un binomio x+h ( donde h es un
número real cualquiera ), es el valor numérico del polinomio dividendo cuando la variable
asume el valor (-h)
P(x) x +h
P(-h) = R
R C(x)
Demostración:
Sabemos que P(x) = C(x) (x+h) + R
P(-h) = C(-h).(-h+h) +R siendo P(-h) el valor numérico del polinomio P(x) cuando x = - h
P(-h) = C(-h) .0 +R ya que (-h + h) = 0 por propiedad de la suma de números opuestos
P(-h) = 0 +R por definición de multiplicación
Entonces, por elemento neutro de la suma, resulta:
De donde deducimos que:
El resto R de una división de un polinomio en x por un binomio x + h (donde h es un
número real cualquiera), es el valor numérico del polinomio dividendo cuando la variable
asume el valor (-h). NOTA: Resulta en consecuencia que:
P(x) es divisible por x+h P(-h)=
P(-h)=R
Polinomios. Factoreo. Expresiones algebraicas racionales
Matemática
el resto indicado en cada caso
a) h x ( 5 h)x ( 2 h 1 ):(x 1 )
3 , el resto sea (-4)
b) h x 5 hx x :(x 2 )
2 3 4 , el resto sea (-25)
c) ) 5
h x (3h 12)x 5 hx :(x
2 3 , el resto sea
d) h x 2 h(x 1 ) hx :(x 1 )
3 5 2 ,el resto sea 8
a) (3 x^4 – 2 x^2 + m ): (x – 1)
b) (5 x^2 – m x) : (x - 5
c) (2 m x^3 + 5
m x^2 – x ) : (x+1)
d) (x^3 + m) : ( x – 3)
A(x)
A(x)
¿es divisible
por (x-2)?
A(x)
¿es divisible
por (x+1)?
4x^3 +2 x^4 – 10x^2 – 12x
x (x – 2
2 2 x ( 2 2 ) x
2
Dado el polinomio A(x)= x^4 – 2 x^3 + 2 – x , notemos que A(1)=0 y A(2)=0 por lo tanto :
En general diremos que :
Observamos que el polinomio A(x) se expresó como el producto de polinomios, cada
uno de ellos recibe el nombre de factor. Por lo tanto:
Para localizar los ceros de un polinomio se utiliza la siguiente propiedad:
1 y 2 son ceros de A(x) y
en consecuencia A(x) es
divisible por (x-1) y (x-2).
Entonces de acuerdo al
algoritmo de la división
resulta:
A(x)= x^4 – 2 x^3 + 2 – x =
(x-1)(1x^3 - 1x^2 - 1x-2) =
(x-1)(x-2)(x^2 + x +1)
x^4 x^3 x^2 x ti
A α 0 (xα ) A(x).
Entonces A(x) = (x-) .C(x)
Factorear un polinomio es transformarlo en el producto de dos o más polinomios.
Si el polinomio P(x)=
n n
2 a 0 a 1 xa 2 x ........ax con ai Zi y an=1, admite
la raíz α entonces α es divisor de a 0
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) / Q(x) 0 cualquiera sea x a la expresión
Q(x)
P(x) T(x) la denominamos expresión algebraica racional donde
Q(x)
P(x) T(x) denominador
numerador
El valor numérico de esta expresión dependerá del valor que asignemos a la
variable para el cual la misma quede definida, es decir:
Q(a)
P(a) T(a) , a R con Q(a) 0
NOTA : En lo sucesivo consideraremos que las expresiones algebraicas racionales
Q(x)
P(x) se encuentran definidas para todos aquellos valores de “x” para los cuales Q(x) 0
Observaciones
x R/ Q(x) 0 resulta:
a) Si Q(x)=1 P(x) Q(x)
P(x)
b) Si Q(x)=P(x) 1 Q(x)
Q(x)
Q(x)
P(x)
c) Si P(x)= 0 0 Q(x)
0
Q(x)
P( x)
Dada la expresión B(x)
A(x)
. Si es posible transformarla en Q(x)R(x)
P(x)R(x) resulta
B(x)
Q(x)R(x)
R(x)
R(x) . Q(x)
P(x) =. Q(x)
Q(x)
P(x) ;
ya que hay un mismo factor en el numerador y en el denominador, tal operación la
denominamos simplificación
Polinomios. Factoreo. Expresiones algebraicas racionales
Matemática
Ejemplo
a 1
(a 1 )
(a 1 ) . 1
(a 1 )
a 1
a 1
2
^3
x 3 x 1
3 x 1
3 x 1 . 3 x 1
3 x 1
7 ( 3 x 1 )
9 x 1 6 x
21 x 7 2 2
algebraicas racionales.
a) x 9
3 x 2 2
b)
3 x
2 x 5
c)
2 x 5
3 x 2
a) x 2 x 1
3 x 3 2
2
x 2 x 2
b) y 1
x y(x 2 ) 2 2
1 x
c) x 2 x 1
3 x 3 x 3 x 3 2
3 2
x 1
3 (x 1 )
d) 2 x y 8 xy
20 x y 4 2
2
3 ( x 1 )
e) x 2 x 1
1 x 2
2
y 1
x 2
f) 2 x 2 x 2
x 1 2
3
x 1
x 1
Polinomios. Factoreo. Expresiones algebraicas racionales
Matemática
Ejemplo:
(x 1 )
3 x
(x 1 )
3 x
3 x
2 (x 1 )
2 x(x 1 ) x x
(x 1 )
(x x
x 1
2 x
2 (x 1 )
x x
x 1
2 x
2 x 1
x
x x
x 1
2 x
Multiplicación
Dadas dos expresiones algebraicas racionales cualesquiera definimos la
multiplicación de las mismas del siguiente modo:
x R/Q(x) 0 D(x) 0 Q(x) D(x)
P(x) R(X)
D(x)
R(x)
Q(x)
P(x)
Ejemplo:
2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 x a
y
(x a)(x a)(x ax a )
(x a)y(x a)
(x 2 ax a )(x a )
(x a)(xy ay)
x a
xy ay . x 2 ax a
x a
División
Dadas dos expresiones algebraicas racionales cualesquiera llamamos
cociente entre ellas a la expresión racional que se obtiene de multiplicar a la
primera por el recíproco de la segunda.
Ejemplo:
a) a 9
4 (a 1 )
a 3
a 9
2 a 2 2 2
b) (x y)(x y)
2 x(x 2 y)
x y
x y
x y
x y
x y
2 x 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 (a b)
(a b)
a b . a b
a b
a b
(a b) : a b
a b
c) 4 4 a 4 b
4 b
a b
3 b
2 a 2 b
8 a
d) a a 1
a 1
a a 1
a 1
a 2
a 1
3 2 2
e) 2 (x 1 )
x 1
x
2 x 2
2 x
2 x 2
2 2
f) x 1
x
x 1
x
x 1
x 2
2
2
g)
x 4
x 2
2 x 8
x
2 (x 2 )
2 2
h) 2 2
2
1 a
6 a
1 a
a 1
1 a
2 2 a
1 a
1 a
i) x y
x y
x y
y x
x
y 1
x
y 1
2 2
2 2
j) a b
x y
36 x 36 y
6 a 6 b . a b
6 (x y ) 2 2
2 2
k) x y
(a b)(x y)
a b
(y x) . x y
a 2 ab b
2
2 2
2 2
l) 2
3 2 x
4 x 6 : 4 x 12 x 9
4 x 9 2
2
m) a b
a b
2 x 2 y . xa yb xb ya
a 2 ab b 2 2
2 2
n) 4
y 1 2
2 y 4 y 8 : y 4
y 8
2
2
3
o) a 1
b 2
ab 2
a a
2 a b .
b 4
a
b 4
a ab
2 2 2
2 2
p)
2b 1 1 b 1 : 2b 2 1 1 2b 1 1 b b
q) 2 (a b) y 3
2 a 2 b . ya 3 a yb 3 b
y 6 y 9
2 2 2
r) 2
5 bc
5 bc
2 a 4 : 2 a a 8 4 a
a 16 2 3
4
s) y 1
y 1
y y 1
y 1 : y 1
y 3 y 3 y 1 2
2
3
3 2
t)^1 a b
2 b : a b
a b
2 2
u)^3 a^2 bm
m 9
b
10 m
3 a
m 3
m 3
2
v) 2 2
2
( 1 y )
1 y
4 y 4 y
y 1 2 y . 1 y
1 y
1 y
1 y
w) b 1 ab a
a 1
a 1 . 2 a
a 1
x)
x 1
x 1 : x x 1
x 1
x 1
x 1
3
2
3 2
