¡Descarga Polinomis y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
ETSEIB Tema 01 :: Polinomis
1 Definicions Pr`evies
Un polinomi de variable x amb coeficients en K (´es a dir, N, Z, Q, R o C ´es una expressi´o del tipus:
p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn
on a 0 , ..., an ∈ K
Terme Independent: Coeficient que no porta x: a 0 Coeficient Principal: Terme que acompanya la x amb l’exponent m´es alt: an Polinomi M`onic: El que t´e el coeficient principal unitari (an = 1). Grau del polinomi: Grau m´es alt de la x. Notarem gr[P (x)] = n.
K[x]: Conjunt de tots els polinomis amb coeficients en K.
Kn[x]: Conjunt dels polinomis amb coeficients en K, de grau menor o igual que n.
2 Divisi´o Entera dels Polinomis
Igual com passa amb els n´umeros, quan nosaltres fem una divisi´o de polinomis es verifica la seg¨uent igualtat:
P (x) Q(x) R(x) C(x) ⇐⇒ P (x) = Q(x)C(x) + R(x)
P (x) s’anomena dividend Q(x) s’anomena divisor C(x) s’anomena quocient R(x) s’anomena residu
Quan el residu de la divisi´o sigui nul (´es a dir, si la divisi´o ´es exacta) direm que Q(x) ´es un divisor de P (x), o que P (x) ´es m´ultiple de Q(x) i ho escriurem com Q(x)|P (x), i direm que “Q(x) divideix a P (x)”.
Exemple:
-2x 3 + 11 x 2 - 3x + 5 x 2 - 3x + 2
2 x 3 - 6 x 2 + 4 x
5 x 2 + x + 5
-5x 2 + 15 x - 10
16 x - 5
-2x + 5
residu
quocient
dividend divisor
Es comprova que − 2 x^3 + 11x^2 − 3 x + 5 = (x^2 − 3 x + 2)(− 2 x + 5) + (16x − 5)
4! Propietat: gr[Q(x)] > gr[R(x)].
ETSEIB Tema 01 :: Polinomis
3 M`axim Com´u Divisor i M´ınim Com´u M´ultiple (MCD i MCM)
Donats dos polinomis P (x) i Q(x) el seu maxim com´u divisor D(x) = M CD[P (x), Q(x)] ´es el polinomi monic del grau m´es gran possible que ´es divisor de P (x) i Q(x). El seu m´ınim com´u m´utiple M (x) = M CM [P (x), M (x)] ´es el polinomi m`onic del menor grau possible que ´es m´ultiple de P (x) i Q(x).
La manera senzilla de trobar el MCM i el MCD ´es quan els polinomis P (x) i Q(x) estan factoritzats. El MCM surt d’agafar els termes comuns i no comuns amb l’exponent m´es alt, i el MCD surt d’agafar els termes comuns a P (x) i Q(x).
Exemple: Siguin P (x) = (x − 2)^3 (x + 1)^2 (x − 3) i Q(x) = (x − 2)^2 (x + 1)^2 (x − 4)
D(x) = M CD[P (x), Q(x)] = (x − 2)^2 (x + 1)^2 M (x) = M CM [P (x), Q(x)] = (x − 2)^3 (x + 1)^2 (x − 3)(x − 4)
El problema ´es que si no tenim els polinomis factoritzats ´es m´es feixuc calcular D(x).
P (x) i Q(x) s’anomenen primers quan D(x) = M CD[P (x), Q(x)] = 1, ´es a dir, quan no tenen factors comuns.
4! Propietat:
P (x) · Q(x) = pn · qn · M (x) · D(x)
on pn i qn s´on els coeficients principals de P (x) i Q(x).
C`alcul del MCD i del MCM
- C`alcul del MCD (Algorisme d’Euclides): Suposant que gr[P (x)] ≥ gr[Q(x)], efectuem una cadena de divisions que comencen per P (x)/Q(x) i acaba en una divisi´o exacta. Despr´es de realitzar qualsevol divisi´o no exacta d’aquesta cadena, a la seg¨uent divisi´o cal dividir el divisor anterior pel residu anterior.
El residu fet m`onic (dividit pel coeficient principal) de l’´ultima divisi´o no exacta ´es D(x), ´es a dir, el divisor de la divisi´o exacta. D(x) = Rk(x)/rk, on rk ´es el coeficient principal de Rk(x).
P (x) Q(x) R 0 (x) C 0 (x)
Q(x) R 0 (x) R 1 (x) C 1 (x)
R 0 (x) R 1 (x) R 2 (x) C 2 (x)
Rk− 1 (x) Rk(x) 0 Ck+1(x)
Truc: Podem fer m`onics els residus abans d’efectuar la seg¨uent divisi´o (tot dividint-los pel seu coeficient principal).
- C`alcul del MCM: Mitjan¸cant la formuleta anterior
M (x) =
P (x) · Q(x) pn · qn · D(x)
Quan donem el M (x) no podem deixar la divisi´o indicada, sin´o que cal donar el polinomi expl´ıcit, pero ULL!: sovint podem saber el resultat de la divisi´o gracies a les divisions que hem fet pel c`alcul del MCD!
Exemple: Donats P (x) = x^5 − 32 i Q(x) = x^3 − 8, calculeu D(x) i M (x).
Primera divisi´o: P (x)/Q(x). D´ona C 0 (x) = x^2 i R 0 (x) = 8x^2 − 32 Segona divisi´o: Q(x)/R 0 (x). D´ona C 1 (x) = x/8 i R 1 (x) = 4x − 8 Tercera divisi´o: R 0 (x)/R 1 (x). D´ona C 2 (x) = 2x + 4 i R 2 (x) = 0 (ja hem acabat, i per tant D(x) = (4x − 8)/4 = x − 2)
M (x) =
P (x) · Q(x) pn · qn · D(x)
(x^5 − 32)(x^3 − 8) 1 · 1 · (x − 2)
= x^7 + 2x^6 + 4x^5 − 32 x^2 − 64 x − 128
