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Capítulo 2
Espacios vectoriales
2.1. Espacios vectoriales. Bases
2.1.1. De nición y ejemplos
En lo que sigue, consideraremos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Este cuerpo será,
normalmente, el cuerpo de los números reales R o el de los números complejos C.
De nición 2.1.1. Sea K un cuerpo y sea V un conjunto no vacío. Diremos que V es un espacio
vectorial sobre K (o K-espacio vectorial) si:
- En V hay de nida una operación interna, que denotaremos por +, de forma que (V, +) es
un grupo abeliano, es decir, se veri can las siguientes propiedades:
a) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) para todo u, v, w ∈ V.
b) Conmutativa: u + v = v + u para todo u, v ∈ V.
c) Existencia de elemento neutro: existe 0 ∈ V tal que v + 0 = 0 + v = v para todo v ∈ V.
d ) Existencia de elemento opuesto: para todo v ∈ V , existe −v ∈ V tal que v + (−v) =
(−v) + v = 0.
- En V hay de nida una operación externa de K en V , que denotaremos por yuxtaposición,
veri cando las siguientes propiedades:
a) a(u + v) = au + av para todo a ∈ K y para todo u, v ∈ V.
b) (a + b)u = au + bu para todo a, b ∈ K y para todo u ∈ V.
c) a(bu) = (ab)u para todo a, b ∈ K y para todo u ∈ V.
d ) 1 u = u para todo u ∈ V , donde 1 la unidad multiplicativa de K.
A los elementos de V se les denominan vectores y, a los elementos de K, escalares. La operación
externa recibe el nombre de producto por escalares.
Ejemplo 2.1.2. Veamos algunos ejemplos de espacios vectoriales:
- Mm×n(K) es un espacio vectorial sobre K con las operaciones de suma de matrices y producto
por escalares usuales.
- El cuerpo K puede considerarse un espacio vectorial sobre sí mismo, utilizando como producto
por escalares el producto usual en el cuerpo. Más generalmente, si consideramos el producto
cartesiano de K consigo mismo n veces, con n ∈ N,
K
n = {(x 1 , x 2 , ..., xn) : xi ∈ K ∀ i = 1, 2 , ..., n}
podemos dotarlo de estructura de espacio vectorial sobre K con las operaciones suma y
producto por escalares de nidas por
(+) : (x 1 , x 2 , ..., xn) + (y 1 , y 2 , ..., yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ..., xn + yn).
( · ) : k(x 1 , x 2 , ..., xn) = (kx 1 , kx 2 , ..., kxn).
- El conjunto de los polinomios en una ideterminada con coe cientes en el cuerpo K, que de-
notaremos por K[x] o PK[x], constituye un espacio vectorial con la suma usual de polinomios
y el producto de un polinomio por una constante. También, para cada n ∈ N, el conjunto de
los polinomios de grado menor o igual que n sobre K, que denotaremos por Kn[x] o PK(x)n,
es un espacio vectorial con las mismas operaciones.
- El conjunto de todas las funciones reales de nidas en un cierto intervalo I de la recta real
es también un espacio vectorial real, donde la suma de dos funciones f y g es la de nida de
forma usual, es decir, (f + g)(x) = f (x) + g(x) para todo x ∈ I, y el producto por escalares
es el producto usual de un número por una función real, (af )(x) = a(f (x)) para todo x ∈ I.
- Existe un espacio vectorial con un único vector, que ha de ser el vector neutro para la suma
(y, por lo tanto, lo llamaremos 0 ). La suma y el producto por escalares viene dado, como es
coherente, por 0 + 0 = 0 y k0 = 0 para todo k ∈ K. Este espacio vectorial recibe el nombre
de espacio vectorial cero o espacio trivial y se denota por { 0 } o simplemente por 0.
Propiedades de la suma y el producto por escalares:
Sea V un K-espacio vectorial. Para cualesquiera a, b ∈ K y u, v ∈ V se veri ca:
- 0 u = 0.
- a0 = 0.
- Si au = 0, entonces a = 0 o u = 0.
- −(au) = (−a)u = a(−u).
- a(u − v) = au − av.
- (a − b)u = au − bu.
- Si au = bu y u 6 = 0, entonces a = b.
- Si au = av y a 6 = 0, entonces u = v.
Sin embargo, como teníamos que
entonces el sistema (^)
a + b + c = 0
b + c = 0
a + c = 0
será compatible determinado, cuya única solución es a = b = c = 0, por ser un sistema homogéneo,
es decir, el conjunto {(1, 0 , 1), (1, 1 , 0), (1, 1 , 1)} es linealmente independiente.
Ejemplo 2.1.8. Consideremos en el espacio vectorial R 2 [x] los vectores (polinomios) p(x) = x
2
x + 1, q(x) = 2x + 1 y r(x) = x
2
- 1 y consideremos una combinación lineal de ellos igualada a
cero
ap(x) + bq(x) + cr(x) = 0,
es decir,
a(x
2
2
2
2
(a + c)x
2
- (a + 2b)x + (a + b + c) = 0 ⇔
a + c = 0
a + 2b = 0
a + b + c = 0
cuya matriz ampliada es
A
∗
y, como (^) ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
entonces el sistema es compatible determinado con solución única a = b = c = 0 y, por lo tanto,
los vectores p(x), q(x) y r(x) son linealmente independientes.
Nótese que, en ambos ejemplos, el estudio de la dependencia o independencia lineal se ha podido
reducir a la discusión de un sistema lineal homogéneo o, qeuivalentemente, al cálculo del rango de
una matriz.
Proposición 2.1.9. Sea V un espacio vectorial sobre K y sean v 1 , v 2 , ..., vn, vn+1, ..., vn+r ∈ V.
- Si 0 ∈ {v 1 , v 2 , ..., vn}, entonces los vectores v 1 , v 2 , ..., vn son linealmente dependientes.
- {v 1 } es linealmente independiente si, y solo si, v 1 6 = 0.
- Si {v 1 , v 2 , ...vn} es linealmente dependiente, entonces {v 1 , v 2 , ...vn, vn+1, ..., vn+r} es lineal-
mente dependiente.
- Si {v 1 , v 2 , ...vn, vn+1, ..., vn+r} es linealmente independiente, entonces {v 1 , v 2 , ...vn} es lineal-
mente independiente.
- {v 1 , v 2 , ...vn} es linealmente dependiente si, y solo si, uno de los vectores es combinación
lineal del resto.
Observación 2.1.10. El punto 5 de la proposición anterior a rma que si los vectores son linealmente
dependientes, existe uno de ellos que es combinación lineal del resto, no que cualquiera de ellos se
pueda expresar como combinación lineal del resto.
Ejemplo 2.1.11. En R
2 los vectores (1, 1), (1, 0) y (2, 2) son linealmente dependientes, ya que
sin embargo el vector (1, 0) no se puede expresar como combinación lineal de los otros dos.
Observación 2.1.12. Las de niciones de dependencia e independencia lineal se pueden extender a
conjuntos in nitos de vectores. Si S es un conjunto arbitrario de vectores de V , diremos que S es
linealmente dependiente si existe un subconjunto nito de vectores linealmente dependientes de S.
Cuando todo subconjunto nito de S sea linealmente independiente, diremos que S es linealmente
independiente.
2.1.3. Sistemas generadores de un espacio vectorial
De nición 2.1.13. Sea V un K-espacio vectorial y sea S un subconjunto de V. Se dice que S es
un sistema generador de V si todo vector de V es combinación lineal de los vectores de S (para el
caso en el que S es in nito, se consideran combinaciones lineales de un número nito de vectores
de S).
Observación 2.1.14. Un sistema generador, como bien dice la palabra, es un conjunto el cual genera
al sistema vectorial entero. Esto lo denotaremos por 〈S〉 = V , L(S) = V o incluso SpanK(S) = V.
Ejemplo 2.1.15. En R
2 , {(1, 1), (1, 0), (1, −1)} es un sistema generador. Para ello, veamos que,
dado (x, y) ∈ R
2 , existe a, b, c ∈ R tales que
a(1, 1) + b(1, 0) + c(1, −1) = (x, y).
Este problema es equivalente a estudiar si el sistema
{ a + b + c = x
a − c = y
con incógnitas a, b y c tiene solución para cualquier columna de términos independientes.
Efectivamente, como el rango de la matriz de coe centes es
A =
tiene rango 2 , ya que (^) ∣
∣ ∣ ∣
y el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que 2 , ya que la matriz ampliada A
∗ es de
orden 2 × 4 , entonces el sistema es compatible indeterminado.
Ejemplo 2.1.25. En el espacio vectorial K[x] de todos los polinomios en una indeterminada x
con coe cientes en K, tenemos que el conjunto
{ 1 , x, x
2 , ..., x
n , x
n+ , ...}
es una base de K[x] que recibe el nombre de base estándar de K[x]. En efecto, todo polinomio
es combinación lineal nita de elementos de { 1 , x, x
2 , ..., x
n , x
n+ , ...} y, un polinomio será cero,
solamente cuando todos sus coe cientes sean cero, lo que nos da la independencia lineal, con lo
cual K[x] tiene dimensión in nita, es decir, dim (K[x]) = ∞.
Ejemplo 2.1.26. Si en el espacio vectorial Mm×n(K) de las matrices de orden m × n con coe -
cientes en K se considera, para cada i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2 , ..., n, la matriz Aij que tiene un 1 en
la posición ij y cero en el resto, entonces el conjunto
{Aij : i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2 , ..., n}
es una base de Mm×n(K) que recibe el nombre de base estándar deMm×n(K). Por lo tanto,
dim (Mm×n(K)) = mn.
Ejemplo 2.1.27. El espacio vectorial trivial tiene dimensión 0 ya que, aunque tiene un sistema
de generadores formado por un número nito de vectores, { 0 }, este conjunto no es linealmente
independiente.
Teorema 2.1.28. En un espacio vectorial no trivial de dimensión nita, de cada sistema de
generadores nito se puede extraer una base.
Este teorema nos ofrece un primer método para hallar una base de un espacio vectorial V. A
partir de un sistema de generadores vamos eliminando uno a uno los vectores que sean combina-
ciones lineales del resto.
Teorema 2.1.29. (de ampliación de la base). Sea V un espacio vectorial sobre K de dimen-
sión n y sea {v 1 , v 2 , ..., vs}, con s < n, un conjunto de vectores linealmente independientes de V.
Entonces existen vectores {vs+1, vs+2, ..., vn} de V tales que {v 1 , v 2 , ..., vs, vs+1, vs+2, ..., vn} es una
base de V.
Ahora tenemos un segundo método para hallar una base de un espacio vectorial V. A partir de
un conjunto de vectores linealmente independientes vamos añadiendo nuevos vectores de manera
que se siga manteniendo la independencia lineal.
Corolario 2.1.30. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre K y sea S = {v 1 , v 2 , ..., vn}
un conjunto de n vectores de V. Entonces son equivalentes:
- Ses linealmente independiente.
- S es sistema de generadores de V.
- S es una base de V.
2.1.5. Coordenadas de un vector respecto a una base
A continuación desarrollaremos una herramienta que nos permitirá trabajar en cualquier espacio
vectorial de dimensión nita n como si estuviéramos en K
n .
Proposición 2.1.31. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión nita n. Sea B = {u 1 , u 2 , ..., un}
una base de V. Entonces todo vector v ∈ V se puede expresar de manera única como combinación
lineal de B, es decir, existen a 1 , a 2 , ..., an ∈ K únicos tales que v = a 1 u 1 + a 2 u 2 + ... + anun.
Observación 2.1.32. Bajo las circunstancias de la porposición anterior, diremos que (a 1 , a 2 , ..., an)
son las coordenadas de v en las base B, y lo representaremos por v = (a 1 , a 2 , ..., an)B.
Ejemplo 2.1.33. Consideremos en R
3 la base canónica B = {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)}. El vector
v = (2, 3 , 1) tiene coordenadas respecto de la base canónica v = (2, 3 , 1)B , mientras que de la base
B
′ = {(1, 1 , 1), (0, 1 , 1), (0, 0 , 1)}, sus coordenadas son v = (2, 1 , −2)B′ ya que
Ejemplo 2.1.34. Consideremos la base estándar B = { 1 , x, x
2 } del espacio vectorial K 2 [x] de los
polinomios de grado menor o igual que dos con coe cientes en K. Las coordenadas de un polinomio
p(x) = ax
2
- bx + c respecto de la base estándar sera p(x) = (a, b, c)B.
Coordenadas y operaciones con vectores:
Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y sea B una base de V. Sean u, v ∈ V con
coordenadas u = (u 1 , u 2 , ..., un)B y v = (v 1 , v 2 , ..., vn)B respecto de B. Entonces
- u + v = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , ..., un + vn)B.
- ku = (ku 1 , ku 2 , ..., kun)B para todo k ∈ K.
2.1.6. Coordenadas y dependencia lineal
Proposición 2.1.35. Sea V un espacio vectorial sobre K y sea B una base de V. Un conjunto de
r vectores {u 1 , u 2 , ..., ur} en V es linealmente independiente si, y solo si, la matriz cuyas columnas
(o las) son sus coordenadas respecto de B, ((u 1 )B | (u 2 )B | ... | (un)B ), tiene rango r.
Ejemplo 2.1.36. Consideremos en R
4 los vectores u 1 = (1, 1 , 2 , 2), u 2 = (0, 1 , 1 , 1) y u 2 =
(2, 0 , 2 , 2). Tomando la base canónica, la matriz cuyas columnas son las coordenadas de estos
vectores es
A =
que tiene forma normal de Hermite por las a la matriz
Luego la matriz A tiene rango 2 y, por tanto, los vectores u 1 , u 2 y u 3 son linealmente depen-
dientes.
las coordenadas del vector v en las bases B y B
′ respectivamente, y P es lamatriz que tiene por
columnas a las coordenadas de los vectores de B
′ en función de B,
P =
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
an 1 an 2... ann
A la matriz P se le denomina matriz de cambio de base de B
′ a B y es una matriz regular,ya
que sus columnas son las coordenadas de n vectores linealmente independientes y, por tanto, su
rango es n. Luego, la matriz P tiene inversa. Esta matriz inversa, P
− 1 , coincide con la matriz de
cambio de base de B a B
′ ya que, como X = P X
′ , entonces X
′ = P
− 1 X.
En resumen, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 2.1.38. (de cambio de base). Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión nita
y sean B y B
′ dos bases de V. La ecuación matricial del cambio de base de B
′ a B es
X = P X
′ ,
que permite calcular las coordenadas de un vector respecto de la base B si se conocen las coordenadas
respecto de la base B
′
. P es la matriz de cambio de base de B
′ a B, es decir, la matriz regular
cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B
′ respecto de B. El cambio de base en
sentido contrario, de B a B
′ , viene dado por
X
′ = P
− 1 X.
Ejemplo 2.1.39. En el espacio vectorial R
3 , el conjunto B
′ = {(1, 1 , 0), (0, 1 , 1), (0, 1 , 0)} forma
una base de R
3 , ya que ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0
1 1 1
Expresando cada vector de esta base en la base canónica, B = {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)},
tenemos
(1, 1 , 0) = (1, 1 , 0)B
(0, 1 , 1) = (0, 1 , 1)B
(0, 1 , 0) = (0, 1 , 0)B
con lo que la matriz de cambio de base de B
′ a B es
P =
Así, si v = (1, 0 , −2)B′ , entonces
vB = P vB′^ =
es decir, v = (1, − 1 , 0)B.
Ejemplo 2.1.40. En el espacio vectorial R 2 [x], los polinomios {(x − 1)
2 , 2(x − 1), 2 } forman una
base de R 2 [x] a la que llamaremos B
′
. Podemos expresar cada uno de estos polinomios en función
de la base estándar, B = { 1 , x, x
2 }, para obtener la matriz de cambio de base de B
′ a B:
(x − 1)
2 = x
2 − 2 x + 1 = (1, − 2 , 1)B
2(x − 1) = 2x − 2 = (− 2 , 2 , 0)B
2 = (2, 0 , 0)B
con lo que
P =
El cambio de base de B a B
′ vendrá dado por la matriz P
− 1 ,
P
− 1
1 2
1 2
1 2
1 2
Por ejemplo, para calcular las coordenadas respecto de B
′ del polinomio p(x) = 1 + 2x − 2 x
2
(1, 2 , −2)B :
p(x)B′ = P
− 1 p(x)B =
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
con lo que p(x) =
1 2
B′^
Ejemplo 2.1.41. Consideremos, en el espacio vectorial R
3 , los conjuntos B = {(1, 0 , 1), (0, − 1 , 1), (0, 0 , 1)}
y B
′ = {(2, 0 , 1), (1, 1 , 1), (0, − 1 , 0)}. Nótese que ambos conjuntos forman una base, ya que
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0
= − 1 6 = 0 y
Expresando cada vector de la base B
′ en función de la base B tenemos
(2, 0 , 1) = (2, 0 , −1)B
(1, 1 , 1) = (1, − 1 , 1)B
(0, − 1 , 0) = (0, 1 , −1)B
Para ello, se han resuelto los siguientes sistemas de ecuaciones:
(2, 0 , 1) = a(1, 0 , 1) + b(0, − 1 , 1) + c(0, 0 , 1) ⇒
a = 2
− b = 0
a + b + c = 1
(1, 1 , 1) = a(1, 0 , 1) + b(0, − 1 , 1) + c(0, 0 , 1) ⇒
a = 1
− b = 1
a + b + c = 1
(0, − 1 , 0) = a(1, 0 , 1) + b(0, − 1 , 1) + c(0, 0 , 1) ⇒
a = 0
− b = − 1
a + b + c = 0
2.2.2. Subespacio generado por un conjunto de vectores
De nición 2.2.6. Sea V un K-espacio vectorial y sea S un subconjunto de vectores de V. De-
nimos el subespacio vectorial generado por S como el conjunto formado por todas las posibles
combinaciones lineales de vectores de S, es decir,
L(S) = {a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... + anvn : n ∈ N, ai ∈ K, vi ∈ S ∀ i = 1, 2 , ..., n}.
Observación 2.2.7. Al igual que en espacios vectoriales, para subespacios vectoriales en lugar de
L(S), también podíamos escribir SpanK(S) o 〈S〉.
Ejemplo 2.2.8. Consideremos en R
3 los vectores u = (1, 1 , 0) y v = (0, 0 , 1), entonces
L({u, v}) = {au + bv : a, b ∈ R} = {(a, a, b) : a, b ∈ R
3 }.
Proposición 2.2.9. Sea V un espacio vectorial sobre K y sea S un subconjunto de vectores de V.
Entonces L(S) es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S.
Observación 2.2.10. Claramente, S es un sistema de generadores de L(S) con lo que, si nos queda-
mos solamente con los vectores linealmente independientes de S, podríamos obtener una base de
L(S) y, por tanto, tendría sentido hablar de la dimensión de un subespacio vectorial. Con lo que,
dado un subespacio vectorial U ≤ V , se tiene que dim(U ) ≤ dim(V ). Además, dim(U ) = dim(V )
si, y solo si, U = V.
Ejemplo 2.2.11. Consideremos el siguiente subespacio vectorial de R
4 ,
U = L({(1, 3 , 4 , 1), (2, 6 , 8 , 2), (2, 5 , 7 , 2)}).
Los tres vectores dados forman un sistema de generadores de U , pero no son una base de U ,
ya que la matriz
tiene rango 2. De hecho, se tiene que el segundo vector es dos veces el primero. Así, podemos elegir
al conjunto
como base de U.
También podemos pasar de un sistema de generadores a otro diferente utilizando un método
similar al de las operaciones elementales.
Lema 2.2.12. Sea V un espacio vectorial sobre K y sea U un subespacio vectorial de V. Si
S = {u 1 , u 2 , ..., ui, ..., uj , ..., un} es un sistema de generadores de U , entonces también son sistemas
generadores de U los siguientes conjuntos:
- El conjunto que se obtiene de S intercambiando la posición de dos vectores, {u 1 , u 2 , ..., uj , ..., ui, ..., un}.
- El conjunto que se obtiene de S multiplicando uno de los vectores por un escalar k ∈ K
distinto de cero, {u 1 , u 2 , ..., kui, ..., un}.
- El conjunto que se obtiene de S sumando a uno de sus vectores otro multiplicado por un
escalar k ∈ K, {u 1 , u 2 , ..., ui + kuj , ..., uj , ..., un}.
2.2.3. Espacio de las y espacio de columnas de una matriz
De nición 2.2.13. Dada una matriz de orden m × n, A ∈ Mm×n(K), las las de A pueden ser
vistas como un conjuntos de m vectores de K
n (o las coordenadas respecto de una cierta base de m
vectores de un espacio vectorial de dimensión n). Llamaremos espacio de las de A al subespacio de
K
n generado por las las de A, y lo denotaremos por F(A). Análogamente, el espacio de columnas
de A, que denotaremos por C(A), es el subespacio de K
m generado por las columnas de A.
Observación 2.2.14. Aplicando el lema anterior, es evidente que si dos matrices A y B son equiva-
lentes por las (columnas), entonces F(A) = F(B) (C(A) = C(B)).
Corolario 2.2.15. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea B una base de V. Sea U =
L({u 1 , u 2 , ..., uk}) un subespacio vectorial de V y consideremos la matriz A de orden k × n cuyas
las con las coordenadas, respecto de B, de los vectores u 1 , u 2 , ..., uk. Entonces:
- dim(U ) = rg(A).
- Las las no nulas de la forma normal de Hermite por las de A son las coordenadas de los
vectores de una base de U.
Observación 2.2.16. El resultado anterior es válido si cambiamos las por columnas.
Ejemplo 2.2.17. Consideremos de nuevo el subespacio U de R
4 ,
U = L({(1, 3 , 4 , 1), (2, 6 , 8 , 2), (2, 5 , 7 , 2)}).
Escribamos la matriz cuyas columnas son las coordenadas, respecto de la base canónica, de los
vectores del sistema generador de U y calculemos su forma normal de Hermite por las:
Luego, una base de U es {(1, 0 , 1 , 1), (0, 1 , 1 , 0)}.
La ventaja de este método es que obtenemos una base lo más simple posible, lo que facilitará
cálculos posteriores.
2.2.4. Ecuaciones cartesianas y paramétricas de un subespacio vectorial
Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión nita n y sea B una base de V. Sea U =
L({u 1 , u 2 , ..., ur}), con r ≤ n. En estas condiciones tenemos que, dado v ∈ V , v será un vector
de U si v es combinación lineal de {u 1 , u 2 , ..., ur}, es decir, si existen λ 1 , λ 2 , ..., λr ∈ K tales que
v = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λrur.
Si tomamos coordenadas respecto de la base B, tenemos entonces que
v = (x 1 , x 2 , ..., xn)B
u 1 = (u 11 , u 21 , ..., un 1 )B
u 2 = (u 12 , u 22 , ..., un 2 )B
ur = (u 1 r, u 2 r, ..., unr)B
Hallemos ahora las ecuaciones cartesianas de U. Para cualquer vector v = (x 1 , x 2 , x 3 x 4 , x 5 )B ,
se tendrá que v ∈ U si, y solo si, existen λ, μ ∈ R, tales que
x 1 = λ
x 2 = μ
x 3 = −λ + 2μ
x 4 = − 2 λ + 3μ
x 5 = − 7 λ + 6μ
Estas son las ecuaciones paramétricas de U.
Para hallar las ecuaciones cartesianas de U , consideramos la matriz
x 1 1 0
x 2 0 1
x 3 − 1 2
x 4 − 2 3
x 5 − 7 6
Como dicha matriz ha de tener rango 2 , entonces todos los menores de orden 3 deben ser cero.
Como se tiene que ∣ ∣ ∣ ∣
es su ciente con considerar los menores
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x 1 1 0
x 2 0 1
x 3 − 1 2
x 1 1 0
x 2 0 1
x 4 − 2 3
= 0 y
x 1 1 0
x 2 0 1
x 5 − 7 6
de lo que obtenemos las ecuaciones cartesianas:
x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0
2 x 1 − 3 x 2 + x 4 = 0
7 x 1 − 6 x 2 + x 5 = 0
Proposición 2.2.19. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea U un subespacio vectorial
de V con dimensión r ≤ n. Entonces se veri ca la relación
número de ecuaciones cartesianas de U = n − r.
Ejemplo 2.2.20. Consideremos en R
3 el subespacio U generado por los vectores (1, − 1 , 0) y
(1, 1 , 0). Como estos dos vectores son linealmente independientes, ya que
∣ ∣ ∣ ∣
entonces dim(U ) = 2.
Por la expresión anterior, tenemos entonces que el número de ecuaciones cartesianas de U es
3 − 2 = 1. Una sola ecuación. Así, tenemos que
x 1 1 1
x 2 − 1 1
x 3 0 0
es la única ecuación cartesiana de U , es decir,
2 x 3 = 0 ⇔ x 3 = 0.
Ejemplo 2.2.21. Consideremos (otra vez) el subespacio U de R
4 ,
U = L({(1, 3 , 4 , 1), (2, 6 , 8 , 2), (2, 5 , 7 , 2)}).
Vimos anteriormente que una base de U era {(1, 0 , 1 , 1), (0, 1 , 1 , 0)}, con lo que dim(U ) = 2.
Por lo tanto, el subespacio vectorial U tendrá 4 − 2 = 2 ecuaciones cartesianas.
Si consideramos la matriz (^)
x 1 1 0
x 2 0 1
x 3 1 1
x 4 1 0
esta matriz debe tener rango 2 , siempre que (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ U , con lo que todos los menores de
orden 3 han de ser ceros. Evidentemente, solo podemos formar 2 menores de orden 3 , lo que nos
dará las dos ecuaciones cartesianas de U
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x 1 1 0
x 2 0 1
x 3 1 1
= 0 y
x 1 1 0
x 2 0 1
x 4 1 0
Por lo tanto, las ecuaciones cartesianas de U son
U ≡
−x 1 + −x 2 + x 3 = 0
−x 1 + x 4 = 0
2.2.5. Suma e intersección de subespacios
2.2.5.1. Intersección de subespacios
De nición 2.2.22. Sea V un espacio vectorial sobre K y sean U y W dos subespacios vectoriales
de V. Se de ne el subespacio vectorial U intersección W , y se denota por U ∩ W , como el mayor
subespacio vectorial contenido en U y en W , es decir, U ∩ W ⊆ U y U ∩ W ⊆ W.
De nición 2.2.26. Sea V un espacio vectorial sobre K y sean U y W dos subespacios vectoriales
de V. Se de ne el subespacio vectorial suma de U con W , y se denota por U + W , como el menor
subespacio vectorial que contiene a U y a W , es decir, U ⊆ U + W y W ⊆ U + W.
Observación 2.2.27. Se tiene que U + W = L(U ∪ W ). La de nición de suma de subespacios
puede generalizarse a más de dos subespacios, es decir, si tenemos una familia de subespacios
U 1 , U 2 , ..., Un, U 1 + U 2 + ... + Un es un subespacio vectorial de V.
Para calcular U + W reunimo las bases de ambos subespacios, es decir, si {u 1 , u 2 , ..., ur}, con
r ≤ dim(V ), es una base de U , y {w 1 , w 2 , ..., ws}, con s ≤ dim(V ), es una base de W , entonces
{u 1 , u 2 , ..., ur, w 1 , w 2 , ..., ws}
es un sistema generador de U + W , pero no tiene por qué ser una base (puede haber vectores
que sean combinaciones lineales del resto).
Ejemplo 2.2.28. Consideremos en R
3 los subespacios
U = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R
3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0}
y
W = L({(1, 1 , 1), (0, 0 , 1)}).
Para calcular U + W , necesitamos una base de U , ya que una base de W es {(1, 1 , 1), (0, 0 , 1)}.
Como U tiene una sola ecuación cartesiana, entonces la dimensión de U es 2. Para hallar una
base de U podemos, por ejemplo, dar valores a las variables de la ecuación cartesiana de U. Por
ejemplo:
Si x 2 = 0 y x 3 = 1, entonces x 1 = − 1 , con lo que obtenemos un primer vector u 1 = (− 1 , 0 , 1).
Ahora al revés, si x 2 = 1 y x 3 = 0, entonces obtenemos otro vector, u 2 = (− 1 , 1 , 0).
Nótese que u 1 y u 2 son linealmente independientes, con lo que obtendríamos una base
de U. Si esto no ocurriera, habría que buscar otro vector u 3 distinto de u 2 y linealmente
independiente de u 1.
Otra manera de hallar una base de U sería pasar de las ecuaciones cartesianas a las paramétricas:
x 1 + x 2 + x 3 = 0 ⇔
x 1 = −λ − μ
x 2 = λ
x 3 = μ
con lo que una base de U es {(− 1 , 1 , 0), (− 1 , 0 , 1)}.
Una vez tenemos una base de U y otra de W , tenemos entonces que {(1, 1 , 1), (0, 0 , 1), (− 1 , 1 , 0), (− 1 , 0 , 1)}
es un sistema generador de U + W. Hallemos a partir de este sistema generador una base para
U + W :
Con lo que llegamos a que una base para U + W es {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} y, por tanto,
U + W = R
3 .
2.2.5.3. Resumen del cálculo de U ∩ W y U + W
Dados dos subespacios U y W de un espacio vectorial V :
- Reuniendo las ecuaciones cartesianas de U y W se obtienen las ecuaciones cartesianas de
U ∩W (posiblemente algunas puedan ser eliminadas mediante transformaciones elementales).
- Reuniendo las bases de U y de W se obtiene un sistema generador de U + W (posiblemente
algunos vectores deban ser eliminados para obtener una base).
Proposición 2.2.29. Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión nita y sean U y W dos
subespacios vectoriales de K. Entonces se veri ca la siguiente igualdad
dim(U + W ) = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ W ).
Ejemplo 2.2.30. Consideremos en R
3 los subespacios
U = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R
3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0}
y
W = L{(1, 1 , 1), (1, 1 , 0), (− 1 , − 1 , 1)}.
Anteriormente habíamos calculado que
U ∩ W ≡
x 1 + x 2 + x 3 = 0
x 1 − x 2 = 0
con lo que dim(U ∩ W ) = 1.
Así, se tiene entonces que
dim(U + W ) = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ W ) = 2 + 2 − 1 = 3,
con lo que necesariamente U + W = R
3 .
