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Prácticas Tema 1: El modelo lineal básico
Ana J. López y Rigoberto Pérez
Departamento de Economía Aplicada. Universidad de Oviedo
Ejercicio 1. Una empresa fabricante de electrodomésticos estudia la evolución de las ventas de su último lanzamiento (Y , en miles de unidades), su precio (X 2 , en miles de euros) y el precio medio de sus competidores más directos (X 3 , en miles de euros), obteniendo la siguiente información durante los últimos 24 meses: ∑ 24 i=1 Yi^ = 2430^
i=1 X^2 i^ = 4,^83
i=1 X^3 i^ = 6,^415 ∑ 24 i=1 Y^
2 i = 250418^
i=1 X
2 2 i = 1,^042
i=1 X
2 3 i = 1,^8805 ∑ 24 i=1 YiX^2 i^ = 501,^85
i=1 YiX^3 i^ = 671,^42
i=1 X^2 iX^3 i^ = 1,^39235
a) Estimar un modelo lineal para las ventas del electrodoméstico, comen- tando el resultado. b) Llevar a cabo los contrastes básicos de significación. c) Ante la proximidad de la campaña navideña se contempla fijar en di- ciembre un precio de 700 euros, y se estima que el precio de la competencia se situará para el mismo período en 750 euros. Con esta información ¿Cuáles serán las ventas previstas ese mes?
SOLUCIÓN:
a) El modelo de demanda planteado será del tipo Y = β 1 +β 2 X 2 +β 3 X 3 +u, (en forma compacta y = Xβ + u) y para la estimación del vector β utilizaremos la expresión mínimo-cuadrática βˆ = (X′X)−^1 X′y. Teniendo en cuenta que k = 3 y n = 24, la matriz X’X viene dada por la expresión:
X′X =
X 2 , 1 X 2 , 2 · · · X 2 , 24
X 3 , 1 X 3 , 2 · · · X 3 , 24
1 X 2 , 1 X 3 , 1
1 X 2 , 2 X 3 , 2
1 X 2 , 24 X 3 , 24
i=1 X^2 i
∑ 24 i=1^ X^3 i i=1 X^2 i
i=1 X
2 2 i
∑ 24 i=1^ X^2 iX^3 i i=1 X^3 i
i=1 X^2 iX^3 i
i=1 X 2 3 i
que con la información disponible conduce al resultado:
X′X =
El determinante de esta matriz es |X′X| = 0, 032177 y su inversa:
(X′X)−^1 =
y el producto X’y vendría dado por:
X′y =
X 2 , 1 X 2 , 2 · · · X 2 , 24
X 3 , 1 X 3 , 2 · · · X 3 , 24
Y 1
Y 2
Y 24
∑^ i=1^ Yi 24 ∑^ i 24 =1^ X^2 iYi i=1 X^3 iYi
que en nuestro caso proporciona el resultado: X′y =
Como consecuencia, podemos calcular el vector de estimadores mínimo cua- dráticos:
β^ ˆ = (X′X)−^1 X′y =
xtxinv =
0 , 651277049665692 − 4 , 7149400163581 1 , 26929245316181 − 4 , 7149400163581 124 , 358350408834 − 75 , 9925599504405 1 , 26929245316181 − 75 , 9925599504405 52 , 4678169422828
SCRIPT detallado de cálculo de la matriz inversa: detxtx=det(xtxinv) z11={1.042,1.39235;1.39235,1.8805} a11=det(z11)/DetZTZ z12={4.83,6.415;1.39235,1.8805} a12=-det(z12)/DetZTZ z13={4.83,6.415;1.042,1.39235} a13=det(z13)/DetZTZ z22={24,6.415;6.415,1.8805} a22=det(z22)/DetZTZ z23={24,4.83;6.415,1.39235} a23=-det(z23)/DetZTZ z33={24,4.83;4.83,1.042} a33=det(z33)/DetZTZ xtxinv={a11,a12,a13;a12,a22,a23;a13,a23,a33} xty={2430;501.85;671.42} beta=xtxinv*xty
β^ ˆ =
68 , 6389223802219 − 70 , 9906890013808 175 , 456101442149
Siguiendo el mismo razonamiento se contrasta H 0 : β 3 = 0. En este caso
la discrepancia observada es
βˆ 3 S (^) βˆ 3
= 2, 9172 y el nivel crítico:
p = P (|t 21 | > | 2 , 9172 |) = 0, 009 que por ser suficientemente bajo conduce al rechazo de la hipótesis planteada. El resultado de estos contrastes aconsejaría algún cambio en la especifica- ción del modelo, sustituyendo la variable Precio del electrodoméstico por otra que resultase significativa. Esta conclusión puede deberse a la presencia de una correlación elevada entre los dos precios (se obtiene rX 2 ,X 3 = 0, 94 ) que, como veremos en temas posteriores, nos sitúa ante un problema de multicolinealidad aproximada, que puede haber causado el aumento en la varianza del estimador
S
βˆ 2
y la consiguiente disminución del valor de la t.
c) Ante la proximidad de la campaña navideña se contempla fijar en di- ciembre un precio de 700 euros, y se estima que el precio de la competencia se situará para el mismo período en 750 euros. Con esta información ¿Cuáles serán las ventas previstas ese mes?
Con la información disponible se obtiene el vector de datos x 0 =
a partir del cual se prevén para diciembre unas ventas ligeramente superiores a las 150.000 unidades. Más concretamente, se tiene: Yˆ 0 = x′ 0 βˆ = 150, 648 miles de unidades.
SCRIPT ejercicio completo: set verbose off #Datos del enunciado y_a10= x_a10=4. x2_a10=4. x3_a10=6. y_a20= x2_a20=1. x3_a20=1. yx2_a11=501. yx3_a11=671. x2x3_a11=1. n= #a) construcción de las matrices y estimación de los coeficientes xtx={n,x2_a10,x3_a10;x2_a10,x2_a20,x2x3_a11;x3_a10,x2x3_a11,x3_a20} invxtx=inv(xtx) xty={y_a10;yx2_a11;yx3_a11} b=invxtxxty k= print "a) Coeficientes estimados: " print b #b) Contrastes básicos y_media=y_a10/n VT=y_a20-ny_media^ VE=b’xty-ny_media^ VNE=VT-VE R2=1-VNE/VT S2=VNE/(n-k) b_var=S2invxtx S_b2=sqrt(b_var[2,2]) S_b3=sqrt(b_var[3,3]) t_b2=b[2]/S_b t_b3=b[3]/S_b p_t_b2=2pvalue(t,n-k,abs(t_b2)) p_t_b3=2*pvalue(t,n-k,abs(t_b3)) print "b) Contrastes de significación individual:" printf "B_2= %g, S(B_2)= %g, t(B_2)= %g, Probabilidad p_B_2= %g \n", b[2],S_b2,t_b2, p_t_b printf "B_3= %g, S(B_3)= %g, t(B_3)= %g, Probabilidad p_B_3= %g \n\n", b[3],S_b3,t_b3, p_t_b
Correlación X2 y X
x2_media=x2_a10/n S_x2=sqrt(x2_a20/n-x2_media^2) x3_media=x3_a10/n S_x3=sqrt(x3_a20/n-x3_media^2) S_x2x3=x2x3_a11/n-x2_mediax3_media r_x2x3=S_x2x3/S_x2/S_x printf "Correlación entre X2 y X3, r= %g \n\n",r_x2x matrix x0={1;0.7;0.75} y0_hat=x0’b printf "c) Predicción: y0_hat= %g \n", y0_hat set verbose off
Ana J. López y Rigoberto Pérez 5
Ejercicio 3. Se propone el siguiente modelo econométrico para explicar la evo- lución de las exportaciones de videoconsolas a cierto país:
Y = β 1 + β 2 Rt + β 3 At + β 4 Nt + β 5 Pt + ut
donde Y son las unidades exportadas, R la renta percápita del país de destino (en miles de euros), A la población adulta (en miles), N la población infantil (en miles) y P el índice de precios (en %). a) Explicar cómo se interpreta el coeficiente β 2 , cuál sería el signo esperado para el mismo y cómo se contrastaría su significación b) Se sospecha que las ventas de videoconsolas son inelásticas respecto a los precios y que el impacto sobre las mismas de la población infantil duplica al de la población adulta. Describir cómo se contrastarían estos supuestos sobre el modelo anterior. c) ¿Cuál debería ser la conclusión si el estadístico obtenido al realizar el contraste sobre una muestra de 25 años adopta un resultado de 16,2?
SOLUCIÓN:
a) Explicar cómo se interpreta el coeficiente β 2 , cuál sería el signo esperado para el mismo y cómo se contrastaría su significación El coeficiente β 2 representa el aumento esperado en las ventas ante un au- mento de 1000 euros en la renta percápita y de ahí que se espere que el coeficiente estimado tenga signo positivo. Su significación se contrastaría a través del test t de student. b) Se sospecha que las ventas de videoconsolas son inelásticas respecto a los precios y que el impacto sobre las mismas de la población infantil duplica al de la población adulta. Describir cómo se contrastarían estos supuestos sobre el modelo anterior. Las hipótesis planteadas se formulan: H 0 : β 5 = 0, β 4 = 2β 3 y se contrastan mediante un test F de restricciones lineales, cuya expresión compara los residuos
cuadráticos de los modelos libre y restringido
ˆu′ R ˆuR − uˆ′^ ˆu ˆu′^ ˆu
n − k r
≈ F (^) nr−k . c) ¿Cuál debería ser la conclusión si el estadístico obtenido al realizar el contraste sobre una muestra de 25 años adopta un resultado de 16,2? Con este resultado el nivel crítico se calcula como p = P
F 202 > 16 , 2
6 , 56126 e − 05 y por tanto conduce al rechazo del supuesto planteado
Ejercicio 4. A partir de la información suministrada por un organismo inter- nacional para 30 países se analiza la inversión en educación (Y , en millones de dólares) en función de la Población (en millones de habitantes, clasificada en po- blación femenina X 2 F y masculina X 2 M ) y la Renta per cápita (X 3 , en millones de dólares), obteniéndose las siguientes estimaciones:
Y^ ˆ = 14 + 42XF 2 + 56X 2 M + 2, 4 X 3 ; ˆu′^ uˆ = 350000 Yˆ = 15 + 50(XF 2 + X 2 M ) + 2, 2 X 3 ; ˆu′ R uˆR = 430000
Justificar cuál es la restricción impuesta en el segundo modelo y si, con la in- formación estadística disponible, debería ser o no rechazado este supuesto.
SOLUCIÓN:
La restricción impuesta en el modelo es la igualdad del efecto marginal de la población masculina y femenina. Las hipótesis del contraste son:
H 0 : β 2 M = βF 2 H 1 : β 2 M 6 = βF 2
Se construye la discrepancia F que viene dada por la siguiente expresión: ( uˆ′ R ˆuR − uˆ′^ ˆu ˆu′^ ˆu
n − k r
≈ F (^) nr−k
Con la información muestral disponible se obtiene:
F ∗^ =
que lleva asociado un nivel crítico p = P
F 261 > 5 , 94286
= 0, 0219 que conduce al rechazo de la hipótesis nula, es decir, de las restricciones incluidas en el modelo. SCRIPT Ejercicio completo: set verbose off utu= uRtuR= n= k= r= x_F=((uRtuR-utu)/utu)(n-k)/r p_F=pvalue(F,r,n-k,x_F) printf "Discrepancia F= %g \n",x_F printf "Nivel crítico asociado: P(F( %g, %g)> %g)= %g \n",r,n-k,x_F,p_F set verbose on
Ejercicio 5. Dado un modelo lineal y = Xβ + u: a) Obtener la esperanza y la varianza del predictor Yˆ 0 y deducir la expresión del intervalo de predicción para el valor esperado E (Y /x 0 ) b) Obtener la esperanza y la varianza del el error de predicción e (^) Yˆ 0 = Y 0 − Yˆ 0 y deducir la expresión del intervalo de predicción para el valor verdadero Y 0
SOLUCIÓN:
a) Obtener la esperanza y la varianza del predictor Yˆ 0 y deducir la expresión del intervalo de predicción para el valor esperado E (Y /x 0 ) Teniendo en cuenta la expresión del modelo y = Xβ + u y su estimación ˆy = X βˆ, dado un vector de regresores x 0 se obtiene la predicción puntual Yˆ 0 = x′ 0 βˆ y su valor esperado viene dado por la expresión:
E
Yˆ 0
= E
x′ 0 βˆ
= x′ 0 β = E (Y /x 0 )
y bajo el supuesto de normalidad de las perturbaciones los errores de predicción de distribuyen también normalmente
e (^) Yˆ 0 = Y 0 − Yˆ 0 ≈ N
0 , σ^2
[
1 + x′ 0 (X’X)−^1 x 0
])
Al sustituir la varianza poblacional por su valor estimado se obtiene una t de Student:
Y 0 − Yˆ 0 S
1+x′ 0 (X’X)−^1 x 0
≈ tn−k
de donde se deduce el intervalo al nivel de confianza 1 − α para la predicción del valor esperado:
P
−k ≤
Y 0 − Yˆ 0
S
1+x′ 0 (X’X)−^1 x 0
≤ k
= 1 − α
P
Y^ ˆ 0 − kS
1+x′ 0 (X’X)−^1 x 0 ≤ Y 0 ≤ Yˆ 0 + kS
1 + x′ 0 (X’X)−^1 x 0
= 1 − α
Como consecuencia del mayor riesgo asociado, este intervalo referido al valor verdadero será más amplio que el obtenido anteriormente para el valor esperado:
( Y^ ˆ 0 − kS
1+x′ 0 (X’X)−^1 x 0 , Yˆ 0 + kS
1 + x′ 0 (X’X)−^1 x 0
Ejercicio 6. El gerente de cierta empresa textil propone un modelo para expli- car los ingresos anuales por ventas (Y, en miles de euros) en función del precio anual medio de las prendas (X 2 , en euros) y del gasto realizado en la adquisición de fibras textiles (X 3 , en euros). Para ello, dispone de la siguiente información anual correspondiente al período 1991-
(X′X)−^1 =
X′y =
(^) , y’y = 250400
a) Estimar un modelo lineal que explique los ingresos obtenidos por la em- presa en función del precio medio de las prendas y del gasto efectuado en fibras textiles. b) Analizar la validez del modelo anterior y calcular el logaritmo de la fun- ción de verosimilitud c) Llevar a cabo los contrastes de significación individuales d) El gerente afirma que el efecto marginal del precio sobre los ingresos es exactamente el opuesto al del gasto realizado en fibras textiles. Sabiendo que bajo el modelo restringido se ha obtenido ˆu′ R ˆuR = 58500 contrastar dicha afirmación.
SOLUCIÓN:
a) Estimar un modelo lineal que explique los ingresos obtenidos por la empresa en función del precio medio de las prendas y del gasto efectuado en fibras textiles. El modelo planteado será del tipo del tipo Y = β 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + u, y para la estimación del vector β utilizaremos la expresión mínimo-cuadrática β^ ˆ = (X′X)−^1 X′y que conduce al resultado:
ˆβ =
observándose que se obtienen los signos esperados en los coeficientes.
b) Analizar la validez del modelo anterior y calcular el logaritmo de la fun- ción de verosimilitud Para estudiar la bondad de este modelo llevamos a cabo un análisis de varian- za, calculando la dispersión total de la demanda y de sus componentes explicada y residual:
Variación Total y′y − n Y¯ 2 = 250400 − 20(10)^2 = 248400
Variación Explicada βˆ
′ X′y − n Y¯ 2 = 195113 − 20(10)^2 = 193112, 5
Variación no explicada uˆ′^ uˆ =55287, 5
información que conduce al coeficiente de determinación del modelo:
R^2 = 1 −
uˆ′^ ˆu y′y − n Y¯ 2
El análisis de varianza anterior también permite contrastar la significación global del modelo. Más concretamente se plantea el contraste F, cuya hipótesis nula es H 0 : β 2 = β 3 = 0 , y que aparece relacionado con el coeficiente de determinación mediante la expresión F = R
2 1 −R^2
n−k k− 1 cuyo resultado es en este caso 29,689. El nivel critico asociado será p = P
F 172 > 29 , 689
, que es suficientemente reducido para rechazar la hipótesis. Por su parte el logaritmo de la función de verosimilitud viene dado por la
expresión LnL = − n 2 [1 + Ln
2 π ˆu
′ (^) ˆu n
cuyo resultado en este caso es -107,6245.
c) Llevar a cabo los contrastes de significación individuales Para contrastar la significación individual mediante el test t obtenemos la
varianza estimada S^2 =
ˆu′^ uˆ n − k
= 3252, 2059 y la matriz de varianzas-
covarianzas de los estimadores:
Sβ^2 ˆ = S^2 (X′X)−^1
a partir de la cual se obtienen los resultados resumidos en la tabla:
H 0 βˆj S (^) βˆj d (^) βˆj
H 0 =
βˆj S (^) βˆj
p = P (|t 17 | > d∗^ /H 0 ) Conclusión
β 2 = 0 302,5 40,325 7,5016 2,916026e-007 Significativo β 3 = 0 -390 57,0281 -6,8387 7,554376e-007 Significativo
- Obtener e interpretar el coeficiente de determinación
- Analizar la significación de las variables explicativas
- Se duda sobre la introducción como explicativa de la variable salarios. Justificar cuál debería ser la conclusión si el modelo ampliado que incluye esta variable proporciona ˆu′^ ˆu = 15250
