¡Descarga practica compleaj y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
PR ´ACTICAS DE VARIABLE COMPLEJA
- Curso 2000/ Departamento de An´alisis Matem´atico
- Pr´actica 1 El Sistema de los n´umeros complejos.
- Pr´actica 2 Funciones holomorfas
- Pr´actica 3 Series de potencias
- Pr´actica 4 Funciones elementales. Argumentos y logaritmos.
- Pr´actica 5 Integraci´on sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat.
- Pr´actica 6 ´Indice y Teorema general de Cauchy
- Pr´actica 7 Series de Laurent. Singularidades.
- Pr´actica 8 C´alculo de residuos y aplicaciones
- Pr´actica 9 C´alculo de integrales reales
Curso 2000/2001 1
Pr´actica 1
El Sistema de los n´umeros
complejos.
Un n´umero complejo se escribe como z = x + iy donde x = <ez se denomina parte real de z e y = =mz parte imaginaria. El n´umero z = x − iy se llama el complejo conjugado de z. El valor absoluto de z = x + iy se define como |z| =
x^2 + y^2 =
z · z. Todo n´umero complejo z 6 = 0 se puede escribir en coordenadas polares como z = |z|(cos t + i sen t), siendo t ∈ R. Cada uno de los valores t que cumplen la anterior igualdad se dice que es un argumento de z. Dos de estos valores difieren en un m´ultiplo de 2π, con lo cual s´olo hay un valor en el intervalo ] − π, π], que se denomina argumento principal. En los siguientes problemas se utilizan ´unicamente las propiedades elementales de las operaciones con n´umeros complejos.
PROBLEMAS PROPUESTOS
Ejercicio 1. Expresar los siguientes n´umeros complejos en la forma x + iy. (i) (1 + 2i)^3 (ii) (^) −3+4^5 i
(iii)
2+i 3 − 2 i
(iv) i^5 + i^16 (v) (^) 1+1+i−i 8 (vi) (1 + i)n^ − (1 − i)n (vii)
k=1 i k
Ejercicio 1. Probar que (i) |z + 1| > |z − 1 | ⇐⇒ 0 (ii) =mz > 0 e =mw > 0 →
∣ zz−−ww
∣ <^1
(iii) |z − w|^2 ≤ (1 + |z|^2 ) · (1 + |w|^2 )
Ejercicio 1. 3.- Probar la ley del paralelogramo: |z + w|^2 + |z − w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2 ) para todo z, w ∈ C.
Ejercicio 1. Sean a, b, z ∈ C tales que |z| = 1. Probar que
∣ azbz++ab
Ejercicio 1. Sea P (z) un polinomio con coeficientes complejos; esto es, P (z) =
∑n j=0 aj^ z
j (^) , y sea P (z) = ∑n j=0 aj^ z j (^). Probar que (i) P (z) = P (z) para todo z ∈ C. (ii) Si aj ∈ R para todo j y z 0 es una ra´ız de P (z) = 0, entonces z 0 tambi´en lo es.
Curso 2000/2001 3
Pr´actica 2
Funciones holomorfas
Una funci´on de variable compleja f : D → C se dice que es derivable en z 0 ∈ C si existe
l´ım z→z 0
f (z) − f (z 0 ) z − z 0
y ese n´umero complejo se denota por f ′(z 0 ). Es f´acil ver que f ′(z 0 ) = ∂u∂x + i (^) ∂x∂v. La derivaci´on compleja verifica las propiedades usuales de la derivaci´on de suma, producto, cociente o composici´on de funciones derivables. La relaci´on entre la derivabilidad de una funci´on compleja y la diferenciabilidad como funci´on de un subconjunto de R^2 en R^2 viene expresada por el siguiente resultado.
Una funci´on f es derivable en z 0 = (x 0 , y 0 ) si, y s´olo si, es diferenciable en (x 0 , y 0 ) y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂u∂x (x 0 , y 0 ) = ∂v∂y (x 0 , y 0 ) y ∂v∂x (x 0 , y 0 ) = − ∂u∂y (x 0 , y 0 ).
Ejemplo 2. La funci´on definida por f (x + iy) = (x^2 − y^2 ) + i 2 xy es derivable compleja.
En efecto, por un lado es diferenciable en cualquier punto por ser cada componente un polinomio. Por otro lado, como u(x, y) = x^2 −y^2 y v(x, y) = 2xy, se verifica que ∂u∂x = 2x = ∂v∂y y ∂u∂y = − 2 y = − ∂v∂x. Adem´as, f ′(z) = 2x + i 2 y = 2z.
Otra manera de verlo es comprobando que, en realidad, f (z) = z^2.
Ejemplo 2. La funci´on definida por f (x + iy) = (x^2 − 3 y) + i(y^2 + 2xy) no es derivable compleja en ning´un punto porque, aunque es diferenciable (al ser cada componente un polinomio), no cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Sean u(x, y) = x^2 − 3 y y v(x, y) = y^2 + 2xy. Si se cumpliesen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces ∂u∂x = ∂v∂y con lo cual 2 x = 2y + 2x que s´olo se cumple para y = 0. Por otra parte, de ∂u ∂y =^ −^
∂v ∂x se deduce que^ −3 =^ −^2 y,^ con lo cual^ y^6 = 0.
1 PROBLEMAS PROPUESTOS
Ejercicio 2. Estudiar para qu´e valores son diferenciables y para qu´e valores son derivables las siguientes funciones. (i) f (x + iy) = x. (ii) f (x + iy) = y. (iii) f (x + iy) = x^2 + y^2.
Ejercicio 2. (i) Demostrar que la funci´on conjugado f (z) = z es diferenciable en todo punto y derivable en ninguno. (ii) Si f : C → C es una funci´on derivable en todo punto, demostrar que existe g : C → C derivable tal que g(z) = f (z).
Ejercicio 2. Probar que las siguientes funciones cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto 0 pero no son derivables complejas.
Pr´actica 2: Funciones holomorfas 4
(i) f (x + iy) =
{ (^) x (^3) −y 3 x^2 +y^2 +^ i^
x^3 +y^3 x^2 +y^2 ,^ si^ x^ +^ iy^6 = 0; 0 , si x + iy = 0.
(ii) f (z) =
z^5 |z^4 | ,^ si^ z^6 = 0; 0 , si z = 0.
(iii) f (x + iy) =
|x| · |y|
Ejercicio 2. Estudiar en qu´e puntos las siguientes funciones son derivables y calcular sus derivadas. (i) f (x + iy) = x^2 + iy^2 (ii) f (x + iy) = x^2 + 2x − iy (iii) f (x + iy) = 2xy + i(x + 23 y^3 )
Ejercicio 2. Calcular los valores que deben tomar a, b, c ∈ R para que la funci´on f sea derivable en C. (i) f (x + iy) = x + ay + i(bx + cy) (ii) f (x + iy) = cos x (ch y + a sh y) + i sen x (ch y + b sh y)
Ejercicio 2. En este problema se muestra que el teorema del valor medio no se cumple para la derivada compleja. Probar que para todo λ ∈ R se cumple |λ + i(1 − λ)|^2 ≥ 12. Deducir que si f (z) = z^3 , no existe ξ ∈ [1, i] tal que f (i) − f (1) = (i − 1)f ′(ξ).
Ejercicio 2. Sean D ⊂ C un abierto conexo y f : D → C una funci´on derivable en D (i) Demostrar que si f ′(z) = 0 para todo z ∈ D, entonces f es constante. (ii) Probar que si para un n ∈ N se cumple que f (n+1)(z) = 0 para todo z ∈ D, entonces f es un polinomio de grado menor o igual que n.
Ejercicio 2. Sea f : D → C derivable en z ∈ D, con f ′(z) 6 = 0. (i) Probar que f preserva el ´angulo entre dos arcos diferenciables que pasan por z. (ii) Demostrar que f preserva la magnitud del ´angulo entre dos arcos diferenciables que pasan por z, pero invierte la orientaci´on.
Ejercicio 2. Sean D ⊂ C un abierto conexo y f : D → C una funci´on derivable en D, con u = <ef y v = =mf. Probar que f es constante en D si se cumple una de las siguientes condiciones: (i) v(x, y) = u(x, y)^2 para todo z = x + iy ∈ D. (ii) u(x, y)^2 + v(x, y)^2 = cte para todo z = x + iy ∈ D. (iii) Existen a, b ∈ R{ 0 } tales que au(x, y)^2 + bv(x, y)^2 = cte para todo z = x + iy ∈ D.
Ejercicio 2. Sea f : C → C de la forma f (x + iy) = u(x) + iv(y). Probar que f es derivable en C si, y s´olo si, existen λ ∈ R y c ∈ C tales que f (z) = λz + c para todo z ∈ C.
Ejercicio 2. Sea f : D → C, donde D es un abierto convexo. Demostrar que si f es derivable en D y ∂u ∂x +^
∂v ∂y = 0^ para todo^ x^ +^ iy^ ∈^ D,^ entonces^ f^
′ (^) es constante.
Curso 2000/2001 6
Pr´actica 3
Series de potencias
1 Radios de convergencia
Presentamos en primer lugar la f´ormula de Cauchy-Hadamard para el c´alculo del radio de convergencia de una serie de potencias:
Dada la serie de potencias
n=0 an(z^ −^ a)
n, se considera
R =
l´ım supn→∞ |an|
(^1) n^.
Entonces: a) Si |z − a| < R, la serie converge absolutamente; adem´as, si 0 < r < R, la serie converge uniformemente en {z : |z| ≤ r}. b) Si |z − a| > R, la serie diverge.
Ejemplo 3.
∑^ ∞
n=
n!zn
2 ,
Obs´ervese que esta serie puede reescribirse en la forma
∑^ ∞
n=
anzn,
donde
an =
0 , si n 6 = k^2 ∀k ∈ N k!, si n = k^2 para alg´un k ∈ N
As´ı, l´ım sup |an| (^1) n = sup{ 0 , l´ımn→∞(n!)
1 n^2 } = 1, y por lo tanto el radio de convergencia de la serie es 1.
Para calcular el radio de convergencia de las series de potencias, es a veces ´util la siguiente propiedad: Sea
n=0 an(z^ −^ a)
n (^) una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces:
R = l´ım n→∞
an an+
cuando el l´ımite existe.
La f´ormula de Cauchy-Hadamard no proporciona informaci´on sobre el comportamiento de una serie de potencias
n=0 an(z^ −^ a) n (^) en los puntos donde |z − a| = R, siendo R el radio de convergencia. En
tales puntos, es necesario un estudio particular de la serie considerada.
Ejemplo 3. La serie
n=
zn n tiene radio de convergencia^1.^ Debe estudiarse as´ı su convergencia o divergencia para los valores z ∈ C tales que |z| = 1.
La serie arm´onica
n=
1 n es divergente; si^ |z|^ = 1, z^6 = 1,^ se tiene que: ∣ ∣
∑n
j=
zj^
∣ z^ −^ z
n+ 1 − z
| 1 − z|
Pr´actica 3: Series de potencias 7
y por lo tanto la serie: ∑∞
n=
zn n
converge por el criterio de Dirichlet:
Sea {an}∞ n=1 ⊆ R+^ mon´otona decreciente y convergente a 0 y sea {bn}∞ n=1 ⊆ C tal que {
∑n j=1 bj^ }
∞ n= est´a acotada. Entonces la serie
n=1 anbn^ es convergente en^ C.
2 Problemas propuestos.
Ejercicio 3. Calcula el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
(i)
∑^ ∞
n=
nlog^ nzn^ (ii)
∑^ ∞
n=
nn n!
zn^ (iii)
∑^ ∞
n=
an
2 z1+2+···+n
(iv)
∑^ ∞
n=
2 nzn!^ (v)
∑^ ∞
n=
sin nzn^ (vi)
∑^ ∞
n=
n + a n
zn^ a ∈ N
(vii)
∑^ ∞
n=
anzn^ donde an =
1 m 22 m^ ,^ si^ n^ = 3m, 2 m+1 ,^ si^ n^ = 3m^ + 1, m^4 , si n = 3m + 2.
Ejercicio 3. Estudia el comportamiento en la frontera del disco de convergencia de las siguientes series:
(i)
∑^ ∞
n=
zn^ (ii)
∑^ ∞
n=
zn n^2
(iii)
∑^ ∞
n=
(−1)n^
zn n
(iv)
∑^ ∞
n=
zpn n
p ∈ N (v)
∑^ ∞
n=
(−1)n^ z^3 n−^1 log n
3 Producto de series. Holomorf´ıa de las funciones anal´ıticas.
Una funci´on que puede expresarse por medio de una serie de potencias se denomina anal´ıtica. Una funci´on anal´ıtica
f (z) =
∑^ ∞
n=
an(z − a)n
es infinitamente diferenciable en el interior de su disco de convergencia D(a, R). Adem´as se cumple: 1.- f ′(z) =
n=1 nan(z^ −^ a)
n− (^1) ∀z ∈ D(a, R). 2.- an = (^) n^1! f (n)(a) ∀n ≥ 0. Como consecuencia, el desarrollo en serie de potencias de una funci´on anal´ıtica es ´unico.
Ejemplo 3. Calcular la serie de potencias de (^) (1−zz) 2 ,.
Consideremos en primer lugar la identidad elemental:
∑^ n
j=
zj^ =
1 − zn+ 1 − z
Pr´actica 3: Series de potencias 9
4 Problemas propuestos
Ejercicio 3. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en 0 de:
(i)
(1 − z)k+^ k ∈ N (ii)
z(1 + z) (1 − z)^3
(iii)
z z^2 − 4 z + 13
(iv)
1 − z + z^2
Ejercicio 3. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en 1 y calcula el radio de convergencia del desarrollo obtenido de la funci´on: z^2 (z + 1)^2
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.- (1 − z^2 )f ′′(z) − 4 zf ′(z) − 2 f (z) = 0, f (0) = f ′(0) = 1. 2.- (1 − z)zf ′(z) − f (z) = 0, f (0) = 0.
Ejercicio 3. Dadas las funciones hiperb´olicas:
sinh z =
ez^ − e−z 2
, cosh z =
ez^ + e−z 2
calcula su desarrollo en serie de potencias centrado en 0.
Ejercicio 3. Determina las series de Taylor para las funciones sin z y cos z en π 4.
Ejercicio 3. Halla la serie de Taylor en 0 de
(z + a)β^ = eβL(z+a),
donde L es una rama continua del logaritmo y a 6 = 0; calcula su radio de convergencia.
Ejercicio 3. Demuestra que:
1 cos z
∑^ ∞
n=
(−1)n^ E 2 n 2 n!
z^2 n
donde En viene dado por la expresi´on recurrente: E( 0 = 1, 2 n 0
E 0 +
( 2 n 2
E 2 + · · · +
( 2 n 2 n
E 2 n = 0.
Curso 2000/2001 10
Pr´actica 4
Funciones elementales. Argumentos
y logaritmos.
La funci´on exponencial se define como la funci´on anal´ıtica en C dada por la serie de potencias:
ez^ :=
∑^ ∞
n=
zn n!
∀z ∈ C.
Por medio de las f´ormulas de Euler se introducen las funciones trigonom´etricas:
cos z =
eiz^ + e−iz 2
sin z =
eiz^ − e−iz 2 i
de donde se deduce inmediatamente su desarrollo en serie de potencias:
cos z =
∑^ ∞
n=
(−1)nz^2 n (2n)!
, sin z =
∑^ ∞
n=
(−1)nz^2 n+ (2n + 1)!
Dado un n´umero complejo z no nulo, llamaramos argumento (respect. logaritmo) de z a todo n´umero real θ (resp. complejo ξ) tal que z = |z|eiθ^ (resp. z = eξ^ ). Al conjunto de todos los argumentos (resp. logaritmos) de z lo denotaremos por arg z (resp. log z).
Si ξ es un logaritmo de z entonces =m ξ es un argumento de z y si θ es un argumento de z entonces log |z| + iθ es un logaritmo de z. Adem´as si θ 0 y ξ 0 son un argumento y logaritmo de z respectivamente entonces log z = {ξ 0 + 2pπi : p ∈ Z} y arg z = {θ 0 + 2pπ : p ∈ Z}.
Dado S ⊂ C diremos que L : S → C (respectivamente A : S → R) es una determinaci´on continua o rama uniforme del logaritmo (resp. argumento) si L (resp. A) es una funci´on cont´ınua en S y L(z) (resp. A(z)) es un logaritmo (resp. un argumento) de z para todo z ∈ S.
Para cada α ∈ R denotamos por Hα la semirecta Hα := {−reiα^ : r ≥ 0 }. Existe una ´unica rama uniforme del logaritmo en C \ Hα tal que α − π < =mz < α + π para todo z ∈ C \ Hα.
Ejercicio 4. Sea A la rama uniforme del argumento en C] − ∞, 0] que toma valores en ] − π, π[. Se pide calcular A(z) en los siguientes casos
- z = cosα + isenα, π < α < 32 π
- z = 1+ 1+cosαcosα−+isenαisenα , 0 < α < π 2
- z = −a(cosα + isenα), a > 0 y | α |< π, α 6 = 0.
Ejercicio 4. Probar que α+ 2 βes un argumento de eiα^ + eiβ^. Calcular el m´odulo de este ´ultimo n´umero. Se sugiere hacer un dibujo.
Ejercicio 4. Aplicar las f´ormulas de De Moivre para obtener expresiones para cos 5t y sen 5t en funci´on de cos t y sen t.
Pr´actica 4: Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. 12
Ejercicio 4. Prueba que no existe g continua en C \ { 0 } tal que eg(z)^ = z^2.
Ejercicio 4. Sea C un subconjunto conexo del plano complejo, n ∈ N y f : C → C, g : C → C, determinaciones continuas de la ra´ız n-´esima. Demuestra que existe un k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n − 1 , tal que
f (z) = g(z)e^2 kπi/n, ∀z ∈ C.
Curso 2000/2001 13
Pr´actica 5
Integraci´on sobre caminos. El
teorema de Cauchy-Goursat.
Para calcular integrales curvil´ıneas, se utilizan fundamentalmente tres m´etodos. Adem´as de la propia definici´on, podemos aplicar el teorema fundamental; es decir, utilizar la existencia de primitivas, o bien la f´ormula de Cauchy.
Ejemplo 5. Por la definici´on. Calcular
γ f^ (z)^ dz, siendo^ γ(t) :=^ e
it (^0) ≤ t ≤ 2 π y f (z) := z−1+i (^) tomando A el
argumento comprendido entre 0 y 2 π. Como z−1+i^ = e(log|z|+i·A(z))(−1+i)^ y si t ∈ [0, 2 π] y z = eit, se tiene |z| = 1 y arg z = t luego (^) ∫
γ
z−1+i^ dz =
∫ (^2) π
0
e(−1+i)itieit^ dt = i
∫ (^2) π
0
e−t^ dt = [−ie−t]^20 π = i(1 − e−^2 π^ ).
Ejemplo 5. Por la existencia de primitiva. Calcular la integral de la funci´on 1 /z a lo largo del cuadrado de v´ertices 1 + i, 1 − i, , − 1 − i, −1 + i, recorrido en sentido antihorario. Calcularemos lo que vale la integral en cada uno de los lados del cuadrado y sumaremos. Lo hacemos as´ı porque no existe una primitiva de 1 /z en un abierto que incluya al cuadrado. En cambio cada uno de los lados est´a contenido en un abierto convexo en el que 1 /z s´ı tiene una primitiva, que ser´a una conveniente rama del logaritmo. As´ı, en [1 + i, −1 + i] elegiremos el argumento comprendido entre −π y π. Entonces, ∫
[1+i,−1+i]
1 /zdz = [log z]− 1+1+i i=
= log
2 + i · A(−1 + i) − (log
2 + i · A(1 + i)) = i(3π/ 4 − (π/4)) = iπ/ 2. En el segmento [−1 + i, − 1 − i] elegiremos la rama del argumento comprendido entre 0 y 2 π Entonces (^) ∫
[−1+i,− 1 −i]
1 /z dz = [log z]− −^1 1+−ii =
= log
2 + i · A(− 1 − i) − (log
2 + i · A(−1 + i)) = i(5π/ 4 − (3π/4)) = iπ/ 2. En el segmento [− 1 − i, 1 − i] elegiremos la rama del argumento comprendido entre 0 y 2 π Entonces (^) ∫
[−1+i,− 1 −i]
1 /zdz = [log z]^1 −− 1 i−i =
= log
2 + i · A(1 − i) − (log
2 + i · A(− 1 − i)) = i(7π/ 4 − (5π/4)) = iπ/ 2. Por ´ultimo, en el segmento [1 − i, 1 + i] elegiremos la rama del argumento comprendido entre −π y π Entonces (^) ∫
[−1+i,− 1 −i]
1 /zdz = [log z]1+ 1 −ii =
= log
2 + i · A(1 + i) − (log
2 + i · A(1 − i)) = i(π/ 4 − (−π/4)) = iπ/ 2. Sumando todos los resultados se obtiene ∫
[1+i,−1+i]
z
dz +
[−1+i,− 1 −i]
z
dz +
[−1+i,− 1 −i]
z
dz +
[−1+i,− 1 −i]
z
dz = 2πi
con lo cual
C
1 z dz^ = 2πi.
Pr´actica 5: Integraci´on sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. 15
Ejercicio 5. Desarrollar en serie de potencias centrada en 0 la funci´on f (z) =
[0,z]
senu u du. Principio de prolongaci´on anal´ıtica
Ejercicio 5. Sean f, g : U → C dos funciones holomorfas en U abierto conexo tal que f (z) · g(z) = 0 para todo z ∈ U. Probar que f ≡ 0 o g ≡ 0 en U.
Ejercicio 5. Sean f, g : U → C dos funciones holomorfas en U abierto conexo tal que ni f ni g son id´enticamente cero en U. Supongamos que existe una sucesi´on (zn) en U convergente a z 0 ∈ U con zn 6 = zo, n = 1, 2 ,... y f (zn)g′(zn) − f ′(zn)g(zn) = 0, n = 1, 2 ,.... Probar que existe un c ∈ C tal que f (z) = cg(z), z ∈ U.
Ejercicio 5. Averigua si es posible construir una funci´on f : B(0, 1) → C holomorfa tal que f (1/n) = zn cuando: (i) zn = (−1)n. (ii) zn = n/(n + 1). (iii) zn = 0 si n es par y zn = 1/n si n es impar. (iv) zn = sen(1/n) si n es par y zn = cos(1/n) si n es impar.
Ejercicio 5. Sea f una funci´on entera tal que f (1/n) = 1/n^2 para todo n ∈ N. Calcular f (i).
Ejercicio 5. Sea f : C \ ] − ∞, 0] → C una funci´on holomorfa tal que f (ei^ n+1 n ) = i n+1 n para todo n ∈ N. Calcular f (2i).
Ejercicio 5. Sea f una funci´on entera tal que f 2 (x) + cos^2 x = 1, ∀x ∈ R. Calcula |f (i)|.
Principio del m´odulo m´aximo y teorema de Liouville
Ejemplo 5. Sea f : U → C una funci´on holomorfa no constante en U abierto conexo. Probar que u = Re f (z) y v = Im f (z) cumplen los principios locales del m´odulo m´aximo y m´ınimo. La funci´on ef^ es holomorfa, no constante y no se anula en ning´un punto. Entonces cumple los principios del m´odulo m´aximo y m´ınimo, es decir, |ef^ | = eu^ no tiene extremos relativos en U. En consecuencia, u tampoco tiene extremos relativos. Para v, bastar´ıa razonar del mismo modo con la funci´on if.
PROBLEMAS PROPUESTOS
Ejercicio 5. Sea f : cl(U ) → C una funci´on continua y holomorfa en U abierto conexo acotado. Probar que la parte real y la parte imaginaria de f alcanzan el m´ınimo y el m´aximo en F r(U ).
Ejercicio 5. Sea f : C → C una funci´on entera. (i) Probar que si f (C) no es constante entonces para cada c > 0 se cumple que cl{z ∈ C : |f (z)| < c} = {z ∈ C : |f (z)| ≤ c}. (ii) Si f (C) no es un conjunto denso en C entonces f es constante. (iii) Probar que si Re f (z) o Imf (z) es una funci´on acotada entonces f es constante.
Pr´actica 5: Integraci´on sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. 16
Ejercicio 5. Si f es entera y toma valores reales en la circunferencia unidad, probar que f es constante.
Ejercicio 5. Comprobar que ∫ (^) +∞
0
cosx^2 dx =
0
senx^2 dx =
π 2
(Sugerencia: Considerar la funci´on eiz
2 y el camino que delimita a la regi´on {z : |z| < r 0 < A(z) < π/ 4 }.)
Ejercicio 5. Comprobar que
0 e
−x^2 cos(2bx)dx = e−b^2 √π/ 2 sabiendo que ∫^ +∞ −∞ e
−t^2 dt = √π
(Sugerencia: Considerar la funci´on e−z
2 y el camino que delimita al rect´angulo [−r, r] × [0, b]. )
Curso 2000/2001 18
Pr´actica 7
Series de Laurent. Singularidades.
Ejercicio 7. Escribir el desarrollo en serie de Laurent de
(^2) − 2 z+ (z−2)(z^2 +1) en^ z^ = 2^ y en la corona^1 <^ |z|^ <^2.
- z^2 e (^1) z en z = 0.
- e 1 −^1 z en z = 1.
- cos z
(^2) − 4 z (z−2)^2 en^ z^ = 2.
Ejercicio 7. Obtener tres desarrollos de Laurent diferentes de (^) z(z+1)(^7 z−^2 z−2) alrededor de z = − 1. ¿Contradice esto la unicidad del desarrollo?
Ejercicio 7. Sea
n=1 a−n(z^ −^ a)
−n (^) el desarrollo de Laurent de una funci´on holomorfa en B(a, r) \ a. Calcular el
radio de convergencia de la serie
a−nzn.
Ejercicio 7.4 (Regla de L’Hopital) Sean f, g anal´ıticas en a, no id´enticamente nulas en un entorno de a con f (a) = g(a) = 0. Probar que
existen (en C ∪ {∞}) l´ımz→a f g^ ((zz)) y l´ımz→a f^
′(z) g′(z) y coinciden.
Ejercicio 7. Clasificar las singularidades de las funciones
- (^) z^12 + (^) z (^21) +
- (^) senzz
- e(z+^
(^1) z )
- (^) ez (^21) − 1
- 1+z−coszπ
- e
z+a z+a
- zsh (^1) z
Ejercicio 7. Clasificar la singularidades de las siguientes funciones, incluyendo el punto del infinito
(^2) z z^4
- (^) z (^2) (z^1 +1) + sen (^1) z
- (^) senz^1 − kz.
Ejercicio 7. Hallar la singularidades aisladas y la naturaleza de las mismas de la funci´on sen
1 sen (^1) z
Pr´actica 7: Series de Laurent. Singularidades. 19
Ejercicio 7. a) Si f tiene una singularidad esencial en a, tambi´en f 2 la tiene. b) Si, adem´as, f no se anula en un entorno reducido de a, entonces (^1) f tambi´en tiene una singularidad esencial en a.
Ejercicio 7. Si f es derivable en {z ∈ C : |z| > R} y l´ım|z|→∞ zf (z) = 0, probar que existe l´ım|z|→∞ z^2 f (z).
Ejercicio 7. Si f tiene una singularidad aislada en a y Re(f )(z) > 0 en un entorno reducido de a, entonces a es evitable. (En primer lugar,descartar que sea esencial)
Ejercicio 7. Si f tiene una singularidad aislada esencial en a y P es un polinomio no constante, entonces a es una singularidad aislada esencial de P ◦ f.
Ejercicio 7. Si f es una funci´on entera tal que l´ım|z|→∞ f (z) = ∞, f es un polinomio.
