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UNIVERSITAT DE VAL`ENCIA

Primer curso de Ingenier´ıa Inform´atica

PROBLEMAS DE AN ´ALISIS MATEM ´ATICO

Curso 2003/

Sucesiones

Ejercicio 1 Calcular los l´ımites de las sucesiones siguientes:

i) 5 n^3 − 8 n^2 + 3 4 n^3 + 2n + 4 ii) 4 n^2 − 3 n + 4 5 n^4 + 2n^2 − 3

iii)

2 n^5 − 8 n^2 + 3 14 n^3 + n + 4 iv)

4 n^4 − 3 n^3 + 4 4 n^4 + 3n^2 − 3

v)

5 n^2 − 11 n + 3 n^3 + 2n + 4 vi)

4 n^2 − 3 n + 4 5 n − 3

vii)

√n^2 + 1 n + 1 viii) 2 n + 3 n + 3

n

ix)

n^2 − 3 √ (^3) n (^3) + 1 x)

n^3 − n^2 + n n + 1

xi)

2 n + 3)^3 − n^3 n^2 − 2

n^5

xii) ln(n^4 + 4n^3 + 6n^2 − 3 n + 2) ln(6n^3 + 4n^2 − 5 n + 7)

xiii) ln(2n^6 + 4n^5 + 16n^3 + 3n^2 + n) ln(n^3 + 14n^2 + n + 7) xiv) ln(2n^5 + 14n^3 + 16n^2 + 3n + 1) ln(16n^5 + 4n^2 − 3 n + 7)

xv) ln(n + 2) ln(n^3 + 5n + 7) xvi) ln(2n^2 + 3n + 1) ln(16n + 7)

xvii)

2 n 2

3 n^

xviii) 2 n^ + 7 3 n

xix) 5 n^ − 3 n^ + 1 5 n^ + 3n^ + (^) n^1

xx)

√ (^35) n (^) + 1 √ 7 n

• 7n xxi)

4 n − 1 −

3 n xxii) 3

n^3 + 1 − n xxiii)

5 n + 3 −

3 n xxiv) 3

n^3 + n^2 − 3

n^3 − n^2

xxv)

n^2 + 1 −

n^2 + n √ (^3) n (^3) + 1 − √ (^3) n (^3) + n (^2) + 1 xxvi)(2 + 3n (^4) ) 1+2 ln^1 n

xxvii)(5n^3 + 4n − 1) ln(n^2 +7^1 n−5) xxviii) n

√ log n xxix)(2n^2 + 3n) n^21 + xxx)(2n^3 + 3n^2 + 1) n^32 − 1

xxxi) n

n^2 + n + 1 xxxii)

( n^2 + 1 n^2

) (^) n 2 n+1^3

Ejercicio 7 Probar que

2 n − 1 2 n

3 n + 1

Ejercicio 8 Probar que 2!4! · · · (2n)! > ((n + 1)!)n, n = 2, 3 ,.. ..

Series

Ejercicio 9 Estudiar el car´acter de las series:

i)

∑^ ∞ n=

n1+^ (^1) n^ ii)

∑^ ∞ n=

( n

a − 1)p^ a > 1 , p ∈ IR+

iii)

∑^ ∞ n=

1 + 2 + · · · + n iv)

∑^ ∞ n=

log 2 · · · log n n!

v)

∑^ ∞ n=

nlog^ n (log n)n^

vi)

∑^ ∞ n=

n^2 n!

vii)

∑^ ∞ n=

cos^2 n( nπ 2 n + 4

) viii)

∑^ ∞ n=

nn^2 (n + 1)n^2

ix)

∑^ ∞ n=

√ (n − 1)! (1 + 1)(1 +

n)

x)

∑^ ∞ n=

)1+ 12 +···+ (^) n−^11

xi)

∑^ ∞ n=

(−1)n+

n n + 10 0 xii)

∑^ ∞ n=

n(n + 1)

√(−1)n n(n + 1)

xiii)

∑^ ∞ n=

( n

2 − 1) xiv)

∑^ ∞ n=

(log n)log^ n^ (Comparar con

n^2

xv)

∑^ ∞ n=

pnnq, p, q ∈ IR xvi)

∑^ ∞ n=

(−1)n+^ 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1) 2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

xvii)

∑^ ∞ n=

2 n − 3 2 n − 2

2 n − 1 2 n xviii)

∑^ ∞ n=

(n!)^24 n (2n)!

Ejercicio 10 Sumar las series siguientes:

Descomposici´on en fracciones simples.

i)

∑^ ∞ n=

(2n + 1)(2n + 3) ii)

∑^ ∞ n=

5 n − 6 n^3 − 3 n^2 + 2n iii)

∑^ ∞ n=

3 n + 4 n(n^2 + 3n + 2) iv)

∑^ ∞ n=

n^3 − n

Series telesc´opicas.

i)

∑^ ∞ n=

n

n + 1 + (n + 1)

n

ii)

log(n n+2+1 ) √ log^2 (n + 1) log(n + 2) +

√ log(n + 1) log^2 (n + 2) iii)

∑^ ∞ n=

n^2 − 1 iv)

∑^ ∞ n=

( 1 log n

log(n − 1)

)

Continuidad

Ejercicio 12 Demostrar, utilizando la definici´on de l´ımite, que l´ımx→ 2 (5x − 1) = 9 y l´ımx→ 1 (3x − 2) = 1.

Ejercicio 13 Calcular los l´ımites siguientes:

a) l´ xım→ 1 x^2 + 1 x^2 + 2 b) l´ xım→ 1 (x − 1)x^2 sen(

1 − x

c) l´ xım→ 1 x^3 − 3 x + 2 2 x^3 + 2x^2 − 10 x + 6

d) l´ xım→ 0 (1 − x) x^12

e) l´ x→∞ım

( 4 x^2 − 1 4 x^2

) (^) xx−^31 f ) l´ xım→ 2 x^5 − 11 x − 10 x^2 − 4 g) l´ xım→ 0

1 x −^3 2 x + 7^

h) l´ xım→ 1 (2 − x^2 ) x−^11

Ejercicio 14 Estudiar la continuidad de las funciones:

(a).- f (x) =

  

0 x = 0 1 + e (^1) x

1 − e (^1) x^ x^ = 0

(b).- f (x) = |x|e−|x−^1 |.

(c).-f (x) =

  

2 x = 0 x^2 sen( (^1) x ) senx

x = 0

(d).-f (x) =

  

1 x = 0 sin x x x = 0

Ejercicio 15 Probar que el polinomio x^7 + x^4 + x^3 + x − 1 tiene una ra´ız real en [0, 1].

Ejercicio 16 Probar que el polinomio x^3 + x − 1 tiene una ra´ız real en [− 1 , 1].

Ejercicio 17 Probar que el polinomio x^4 + x^3 + x − 1 tiene una ra´ız real en [− 2 , 1].

Ejercicio 18 Probar que el polinomio x^1 1 + 2x^4 + 3x^3 + x − 1 tiene una ra´ız real.

Ejercicio 19 Probar que todo polinomio de grado impar tiene una ra´ız real.

Derivabilidad

Ejercicio 20 Estudiar la derivabilidad de las funciones siguientes en los puntos dados: a)

f (x) =

  

−x, x ≤ 0, x^2 , 0 ≤ x ≤ 1, 2 x − 1 , x ≥ 1,

en x = 0, x = 1/ 2 , x = 1. b) f (x) =

{ max{x^2 , 1 /x}, x = 0 , 0 , x = 0 ,

en x = 0, x = 1.

Ejercicio 21 Calcular hasta qu´e orden es derivable la funci´on

f (x) =

{ ex^ − x − 1 , x ≥ 0, x^3 , x < 0.

Ejercicio 22 Demostrar que la funci´on

f (x) =

{ x^2 sen 1 /x, x = 0 , 0 , x = 0 ,

es derivable en toda la recta real y calcular su derivada.

Ejercicio 23 Calcular las derivadas n-´esimas de las funciones a) f (x) = log(kx). (Por qu´e da lo mismo que si fuera log x?) b) f (x) = sin(kx). c) f (x) = cos(kx). d) f (x) =

(x − 1)(x − 2)

. (Descomponer en suma de fracciones.) e) f (x) = sin(4x) cos(2x). (Expresar como suma) f) f (x) = ex.

Ejercicio 24 (Funciones hiperb´olicas) Dado que

sh x = ex^ − e−x 2 (seno hiperb´olico),

ch x = ex^ + e−x 2 (coseno hiperb´olico),

demostrar: a) ch^2 x − sh^2 x = 1. b) (sh x)′^ = ch x, (ch x)′^ = sh x.

Ejercicio 36 Calcular la f´ormula de Taylor con resto de f (x) = 4 log(x + 1) alrededor de x = 0. ¿Cu´antos t´erminos se necesitan para calcular una aproximaci´on de 4 log(1.05) con un error menor que 0.01? Dar una cota superior del error cometido.

Ejercicio 37 Calcular el polinomio de MacLaurin de segundo grado con resto de la funci´on F (x) = ∫ (^) x 2 0 e−t

(^2) dt.

Ejercicio 38 Calcular la f´ormula de Mac Laurin con resto de la funci´on f (x) = sin(2x). ¿Cu´antos t´erminos hacen falta para obtener una aproximaci´on de sin 2 con un error menor que dos cent´esimas?

Ejercicio 39 Calcular la f´ormula de Mac Laurin con resto de f (x) = log(1 + x). Ob- tener una aproximaci´on de log(0.9) con dos cifras decimales exactas.

Ejercicio 40 Calcular la f´ormula de taylor con resto de la funci´on f (x) = log(x + 1) alrededor de x = 0. ¿cu´antos t´erminos se necesitan para calcular una aproximaci´on de log(1.05) con un error menor que 0.01?

Ejercicio 41 Para aproximar 2e^0.^02 se usa la aproximaci´on ex^ ∼ 1 + x + x 22 + x 63. Dar una cota superior del error cometido.

Ejercicio 42 Calcular la f´ormula de Mac Laurin con resto de f (x) = log ((x + 1)^2 ). Calcular cu´antos t´erminos del polinomio son necesarios para obtener una aproximaci´on de 2 log(1.5) con un error menor que 0.002.

Integrabilidad

Ejercicio 43 Hallar en cada uno de los siguientes casos la derivada de la funci´on F.

(a) F (x) =

∫ (^) x 1

x sen t t

dt (b) F (x) =

∫ (^3) x

(u + 2)^4 du

(c) F (x) =

∫ (^1) x

e−t^2 dt (d) F (x) =

∫ (^) x 2 1

et t

dt

(e) F (x) =

∫ (^) x 1

(∫^ y 0

t √ 1 + t^2 + t^4

dt

) dy (f ) F (x) = cos

(∫^ x^2 1

√ (^3) t (^2) + t + 1 dt)

(g) F (x) =

∫ (^) sen x 0

√^ dt (1 − t^2 )(2 − t^2 )

(h) F (x) =

∫ ∫^2 x^2 logt−^1 t dt 0 cos t^2 dt.

Ejercicio 44 Calcular el ´area limitada por las gr´aficas de las funciones f y g en el intervalo que se indica.

a) f (x) = cos x, g(x) = sen x en [0, π/4]. b) f (x) = x^3 , g(x) = x

x^2 + 2 en [0, 1]. c) f (x) = ex, g(x) = e−x^ en [− 1 , 1].

d) f (x) = 12 sen 2x, g(x) = sen x entre el origen y el menor punto de corte positivo.

e) f (x) = xex^2 , g(x) = log x en [1, 2].

Ejercicio 45 Calcular el ´area de un c´ırculo de radio R y de una elipse desemiejes a y b.

Ejercicio 46 Calcular el ´area com´un a los c´ırculos x^2 + y^2 = 9 y (x − 3)^2 + y^2 = 9.

Ejercicio 47 Hallar el ´area limitada por un bucle de la lemniscata de Bernouilli de ecuaci´on ρ^2 = a^2 cos(2ω).

Ejercicio 48 Hallar el area limitada por la cardioide de ecuaci´on

ρ = a(1 + cos ω).

Ejercicio 49 Hallar el area limitada por un lazo de la cicloide de ecuaci´on { x = a(t − sen t) y = a(1 − cos t)

y la longitud del mismo lazo.

Ejercicio 59 Calcular el volumen del s´olido cuya base es el recinto limitado por el eje OX y la curva y = 1 − x^2 , y cuyas secciones al cortarlo con planos verticales perpendiculares al eje OX son cuadrados.

Ejercicio 60 Calcular el volumen del s´olido cuya base es el recinto limitado por la recta y = 1 y la curva y = 2 − x^2 , y cuyas secciones al cortarlo con planos verticales perpendiculares al eje OX son cuadrados.

Ejercicio 61 Sea R la regi´on limitada por la recta y = 3 − x y el eje OX entre x = 1 y x = 2. Calcular el volumen del s´olido que tiene por base R y cuyas secciones al cortar con planos perpendiculares al eje OX son cuadrados.

Ejercicio 62 Establecer por qu´e las integrales siguientes son impropias, estudiar si son convergentes o divergentes, y calcular las que sean convergentes.

i)

∫ (^1) 0

log xdx ii)

∫ (^2) 1

x log x dx iii)

∫ (^2) 1

x √ x − 1

dx

iv)

∫ (^1) 0

x log xdx v)

∫ (^) ∞ 0

e−xdx vi)

∫ (^) ∞ 0

√^1

ex^

dx

vii)

∫ (^) ∞ 2

log x x dx viii)

∫ (^) ∞ 2

x(log x)^2 dx ix)

∫ (^1) − 1

1 − x^2

dx

x)

∫ (^) ∞ −∞

e−xdx xi)

∫ (^) ∞ 0

x^2 dx xii)

∫ (^) ∞ 0

(x + 4)

x dx

Ejercicio 63 Calcular aproximaciones a los valores de las integrales siguientes usando el m´etodo de Simpson.

a)

∫ (^1) 0

√^ dx 5 + x^3

b)

∫ (^1) 0

e−x 2 dx c)

∫ (^2) 0

sen x^2 ex^ dx

d)

∫ (^2) 1

sen x x dx e)

∫ (^1) 0

x

2 + x^4 dx f )

∫ (^2) 1

dx log(1 + x^2 )

Varias variables

Ejercicio 64 Hallar el dominio de definici´on de las siguientes funciones:

i)f (x, y) = xy x^2 + y^2 ii)f (x, y) = log(xy)

iii)f (x, y) =

√ x + 3y iv)f (x, y) √x^ +^ y x^2 + y^2

Ejercicio 65 Hallar la gr´afica y curvas de nivel de las siguientes funciones:

i)f (x, y) = 2x + 3y ii)f (x, y) = x^2 + y^2 iii)f (x, y) = 2xy iv)f (x, y) = 2x^2 + 3y^2

Ejercicio 66 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

i) f (x, y) = xy x^2 + y^2 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0) = 0.

ii) f (x, y) = x^2 y x^2 + y^2 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0) = 0.

iii) f (x, y) = xy^2 x^2 + y^4 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0) = 0.

iv) f (x, y) = log(x^2 + y^2 ) si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0 ) = 0.

v) f (x, y) = cos y − ex x^2 + y^2 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0 ) = 0.

Ejercicio 67 Calcular las parciales de las siguientes funciones en el origen:

i) f (x, y) = xy x^2 + y^2 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0 ) = 0.

ii) f (x, y) =

x^4 − y^4 x^2 + xy + y^2 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0) = 0.

iii) f (x, y) = x^5 + y^2 x^4 + y^4

si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0 ) = 0.

iv) f (x, y) = sin(x^5 + y^5 ) x^4 + y^4 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0 ) = 0.

v) f (x, y) = tan x^3 + tan y^3 x^2 + y^2 si (x, y) = (0, 0 ) yf (0, 0 ) = 0.

Ejercicio 68 Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en el punto que se indica:

i) f (x, y, z) = 2x log y − z^2 y^2 en (1, 1 , 0).

Ejercicio 76 Calcular los extremos relativos de las funciones:

i)f (x, y) = xyex+2y^ ii)f (x, y) = y^2 + x^2 y + x^4 iii)f (x, y) = xy^2 (1 − x − y) iv)f (x, y) = (x − y^2 )(x − y^3 ) v)f (x, y) = 2x^2 + y + 3 vi)f (x, y) = 3x^3 + y^2 + 3xy vii)f (x, y) = y^2 e^4 x+1^ viii)f (x, y) = (x^2 − 1)y ix)f (x, y) = ex+y(x^2 + 2y)

Ejercicio 77 Calcular los extremos absolutos de las siguientes funciones en los recintos indicados:

i) f (x, y) = x^2 + y^2 en {(x, y) : 4x^2 + 9y^2 = 1}.

ii) f (x, y, z) = 2x^2 + yz en {(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 }. iii) f (x, y, z) = 3x^2 + y^2 + xz en {(x, y, z) : x^2 + y^2 ≤ 1 , 2 x + z = 0}. iv) f (x, y) = 3x^2 y + 2y^3 en {(x, y) : 2x^2 + y^2 ≤ 1 , y + x ≥ 0 }.

v) f (x, y) = 2x^2 + y^2 en {(x, y) : 2x^2 + y ≤ 0 , 2 y + x ≥ 0 }. vi) f (x, y) = 2x^2 + y^2 en {(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1 }.