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Asignatura: Variable complexa, Profesor: oscar blasco, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
Tipo: Ejercicios
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Pr´actica 1 Espacios de medida............................... 1 Pr´actica 2 Medibilidad e integrabilidad.......................... 4 Pr´actica 3 Medida producto y Teorema de Fubini................... 9 Pr´actica 4 Teorema de Radon-Nikodym.......................... 14
Curso 2007/2008 1
Ejercicio 1. Sea R un anillo, es decir un conjunto verificando que ∅ ∈ R, si A, B ∈ R entonces A ∪ B ∈ R y A \ B ∈ R. Probar que (R, 4 , ∩) es un anillo en sentido algebr´aico.
Ejercicio 1. Sea M una clase no vac´ıa de subconjuntos de X y R(M) el anillo generado por M. Probar que todo elemento de R(M) se puede cubrir por un n´umero finito de elementos de M.
Ejercicio 1. Sea R la familia de uniones finitas de intervalos n-dimensionales del tipo (a 1 , b 1 ] × (a 2 , b 2 ] × ...(an, bn]. Probar que R es un anillo sobre Rn.
Ejercicio 1. Muestra que la uni´on de σ-´algebras no es necesariamente una σ-´algebra.
Ejercicio 1. Halla la σ-´algebra sobre R generada por los puntos de R.
Ejercicio 1. Sea M una clase no vac´ıa de subconjuntos de X y sea Y ⊂ X. Denotamos MY la colecci´on {Y ∩ E : E ∈ M}. i) Comprobar que si M es σ-´algebra sobre X entonces MY es σ-´algebra sobre Y (se llama σ-´algebra inducida por M sobre Y .). ii) Dar una caracterizaci´on de MY en el caso que Y ∈ M. iii) Si A est´a engendrada por la familia M, probar que AY est´a engendrada por la familia MY. iv) Si Y es un subconjunto de un espacio topol´ogico X entonces la σ-´algebra de Borel asociada a la topolog´ıa en Y inducida por X es la σ-´algebra inducida sobre Y por la σ-´algebra de Borel de X. Examinar el caso en que Y es un boreliano de X.
Ejercicio 1. Sea (An) una colecci´on de subconjuntos de X. (a) Si definimos lim supAn = ∩∞ n=1 ∪∞ k=n Ak. Probar que lim supAn coindide con el conjunto de puntos que est´an en infinitos conjuntos An. (b) Si definimos lim inf An = ∪∞ n=1 ∩∞ k=n Ak. Probar que lim inf An coindide con el conjunto de puntos que est´an en todos los conjuntos An salvo un n´umero finito de ellos.
Ejercicio 1. Se dice que una colecci´on de conjuntos tiene l´ımite si lim inf An = lim supAn. Probar que toda sucesi´on mon´otona creciente o decreciente tiene l´ımite y calcularlo.
Ejercicio 1. Probar que, si σ(A) denota la σ-´algebra generada por A, entonces σ(f −^1 (A)) coincide con f −^1 (σ(A)).
Ejercicio 1. Sean μ 1 , μ 2 medidas en (X, A). Prueba que si α 1 , α 2 > 0 , entonces μ = α 1 μ 1 + α 2 μ 2 es una medida.
Ejercicio 1. Sean μn medidas con μ 1 ≤ μ 2 ≤ · · · ≤ μn ≤ · · ·. Prueba que μ(A) = l´ım μn(A) = sup μn(A) es una medida.
pr´actica 1: Espacios de medida 3
Ejercicio 1. Describir la medida de Lebesgue-Stieltjes mF asociada a las siguientes funciones: (i) F (x) = [x], (ii) F (x) = χ[0,∞)(x), (iii) F (x) = (x − 1)+.
Ejercicio 1. Sea F : R → R dada por F (x) = (1 + x)χ[− 1 ,0) + (2 + x^2 )χ[0,2) + 9χ[2,∞). Hallar mF de los siguientes conjuntos: (i) { 2 } (ii) [ − 21 , 3), (iii) (− 1 , 0] ∪ (1, 2), (iv) {x ∈ R : |x| + 2x^2 > 1 }.
Ejercicio 1. Sea F (x) = − x^1 χ(0,1) + (log(x) − 1)χ[1,∞). (i) Hallar un boreliano no acotado A con mF (A) < ∞. (ii) Hallar un abierto G con 0 ∈ G′^ de modo que mF (G) < ∞.
Ejercicio 1. Consideremos la medida de Lebesgue-Stieltjes en (0, ∞) dada por F (x) = xα^ con α > 0 y sea A =
∪∞ n=1(n, n
(^2) + n ). Hallar los valores de^ α^ de modo que^ mF^ (A)^ <^ ∞.
Ejercicio 1. Sea φ(t) =
n=1 nχ(n, 2 n 2 +1 )(t). Hallar F de modo que la medida de Lebesgue-Stieltjes de F coincida con la imagen por φ de la medida de Lebesgue m, es decir mF = φ(m).
Ejercicio 1. Sea F : (0, ∞) → R dada por F (t) = log(t). Demostrar que (i) mF = exp(m) donde m es la medida de Lebesgue y exp(x) = ex. (ii) mF es invariante por dilataciones. (iii) Si μ : B((0, ∞)) → [0, ∞] es una medida finita sobre los intervalos acotados e invariante por dilataciones entonces μ = CmF para alguna constante C > 0. (iv) Hallar un abierto no acotado G ⊂ (0, ∞) con 0 ∈ G′^ y mF (G) < ∞.
Curso 2007/2008 4
Ejercicio 2. Sea (X, Σ) un espacio medible y (An) una sucesi´on de conjuntos medibles tales que ∪n∈NAn = X. i) Dada f una funci´on definida en X tal que fn = f χAn es medible respecto a la σ-´algebra Σn = {E ∩ An : E ∈ Σ}. Probar que f es Σ- medible. ii) Supongamos que An sean disjuntos dos a dos y sean fn funciones Σn-medibles definidas en An. Si definimos la funci´on f en X tal que f (x) = fn(x) si x ∈ An. Probar que f es Σ- medible. iii) Supongamos que An sea una sucesi´on creciente y sean fn funciones Σn-medibles definidas en An tales que fn(x) = fn+1(x) si x ∈ An. Si definimos la funci´on f en X tal que f (x) = fn(x) si x ∈ An. Probar que f es Σ-medible.
Ejercicio 2. Sea (X, Σ) un espacio medible, S ∈ Σ y ΣS la σ-´algebra inducida por S. Sea f una aplicaci´on de X en un espacio topol´ogico Y e y ∈ Y. Probar que f es ΣS - medible si y s´olo si f¯ dada por f¯ = f χS +yχX\S es Σ-medible.
Ejercicio 2. Sea (X, Σ) un espacio medible, A ∈ Σ diferente del vac´ıo y el total. Probar que
Σ 1 = {E ∈ Σ : A ∩ E = ∅ ´o A ⊂ E}
es una σ-´algebra. Averiguar que condici´on debe cumplir una funci´on Σ-medible para ser Σ 1 -medible.
Ejercicio 2. Sea (X, Σ) un espacio medible y f : X → [0, ∞] una funci´on Σ-medible. Demostrar que puede escribirse de la forma
f =
n=
cnχAn
donde cn ≥ 0 y An ∈ Σ.
Ejercicio 2. Sea (Y, τ ) un espacio topol´ogico y (fα)α∈J una familia de aplicaciones de un conjunto X en Y. Probar que existe la m´ınima σ-´algebra sobre X que hace medibles fα y dar una descripci´on de la misma (se denomina σ-´algebra generada por fα y se denota σ(fα : α ∈ J).)
Ejercicio 2. Dado el espacio medible (R, A), donde
A = {B ⊆ R : B numerable o B conumerable },
caracteriza las funciones f : R −→ R A-medibles.
Ejercicio 2. Sea (X, Σ) un espacio medible y f, g : X → [0, ∞] una funciones Σ-medibles. Probar que {x ∈ X : f (x) = g(x)} es medible.
Ejercicio 2. Demostrar que el conjunto de puntos donde converge una sucesi´on de funciones complejas medibles es medible.
pr´actica 2: Medibilidad e integrabilidad. 6
Ejercicio 2. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida y sean fn : X → [0, ∞] medibles. Probar i)
X (supk∈Nfk)dμ^ ≤^
k∈N
X fkdμ. ii) Si fj 1 .fj 2 ...fjn+1 = 0 para cualquier (n + 1)-tupla j 1 , j 2 , ...jn+1 entonces ∑
k∈N
X
fkdμ ≤ n
X
(supk∈Nfk)dμ.
¿Qu´e significa lo anterior si fk = χAk .?
Ejercicio 2. Sea f : Rn^ −→ R medible Lebesgue y positiva. Sea μ la medida definida en M(Rn) seg´un:
μ(A) =
A
f (x)dx.
Prueba que g : Rn^ −→ medible es μ-integrable si y s´olo si g · f es integrable Lebesgue y en tal caso: ∫ gdμ =
g(x)f (x)dx.
Ejercicio 2. Estudiar la integrabilidad de f respecto de μ, calculando la integral cuando exista, en los siguientes casos: a) (Z, P(Z), μ), μ medida de contar y f (n) = e−|n|. b) (N, P(N), μ), μ medida de contar y f (n) = (−1)
n n+. c) ((0, ∞), B((0, ∞)), μ), dμ(x) = e−xdx y f =
n=1 nχ[n−^1 ,n). d) (R, B(R), μ), dμ(x) = |sen x|dx y f (x) = (^1) x χR{ 0 }. e) (R^2 , B(R^2 ), μ), μ = φ(m) donde φ(t) = (e−|t|cos t, e−|t|sen t) y f (x, y) = xy. f) ([0, π 2 ], B([0, π 2 ]), m) y f (x) = sen xχ[0, π 2 ]∩Q + cos xχ[0, π 2 ]∩R\Q. g) ([0, π 2 ], B([0, π 2 ]), m)y f (x) = sen xχ[0, π 2 ]∩{x:cos x∈Q} + sen^2 xχ[0, π 2 ]∩{x:cos x∈R\Q}.
Ejercicio 2. Estudiar la integrabilidad de f en el intervalo I respecto de la medida de Lebesgue-Stieltjes mF , definida por F , calculando la integral cuando exista, en los siguientes casos: a) I = (0, ∞), F (x) = (x − 1)+, f (x) = xα^ (α ∈ R). b) I = (0, 1), F (x) = −[ (^1) x ], f (x) = xα^ (α ∈ R). c) I = (0, 1), F (x) =
n=
1 n χ[^ n^1 +1 ,^ n^1 )(x), f^ (x) =^ x. d) I = R, F (x) =
(0,∞) |sen t|dt, f^ (x) =^
1 x χR{^0 }. e) I = (0, ∞), F (x) = −e−x, f (x) =
n=1 nχ(n−^1 ,n)(x). f) I = (0, ∞), F (x) = log x, f (x) = x−αχ(0,1) + x−β^ χ(1,∞), (α, β > 0).
Ejercicio 2. Calcular los siguientes l´ımites:
a) l´ım n→∞
0
e−nxcos nxsen x n
dx.
b) l´ım n→∞
1
e xn x−^2 dx.
c) l´ım n→∞
∫ (^) n
0
e−^
xn x−^
(^12) log xdx.
d) l´ım n→∞
0
sen
( (^) πn 2 n + x
dx.
e) l´ım n→∞
∫ (^) n
0
e−ax
x n
)n dx, (a > 0).
pr´actica 2: Medibilidad e integrabilidad. 7
f) l´ım t→ 0 +
t
n=
n
arctag
t n
Ejercicio 2. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida y f, g : X → R funciones μ−integrables. Discutir cuales de las siguientes funciones son ´o no son μ-integrables. En caso negativo dar hip´otesis sobre el espacio de medida o sobre las funciones para conseguir la integrabilidad y dar ejemplos y contraejemplos de las afirmaciones que se hagan. a) f 2 , b)f (^13) , c) arctag f , d)
|f | +
|g| e) f.g, f)
f g, g) sen
1+|f |
, h)
|f |^2 + |g|^2 , i) (^) 1+f|g| , j) f α(α ∈ R).
Ejercicio 2. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida y f : X → [0, ∞] una funci´on μ−integrable. Probar que el conjunto {x ∈ X : f (x) > 0 } es uni´on numerable de conjuntos de medida finita.
Ejercicio 2. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida y f : X → C una funci´on μ−integrable. Probar que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que |
E f dμ|^ < ε^ si^ E^ ∈^ Σ, μ(E)^ < δ.
Ejercicio 2. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida y f : X → [0∞] una funci´on medible. Sea 0 < p < ∞, 0 < ε < ∞. Probar que
μ({x ∈ X : f (x) ≥ ε}) ≤
εp
X
f pdμ.
Ejercicio 2. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida y fn : X → [0∞] una sucesi´on de funciones medibles que converge puntualmente a f. (a) Supongamos que supn∈N
X fndμ <^ ∞. Probar que^
X f dμ <^ ∞. (b) Supongamos que existe l´ımn∈N
X fndμ^ =^
X f dμ <^ ∞. Probar que para todo medible^ E^ ⊂^ X se tiene
l´ım n∈N
E
fndμ =
E
f dμ < ∞.
(Comprobar que la conclusion puede ser falsa si se suprime la finitud del l´ımite.)
Ejercicio 2. Dar un ejemplo donde se obtiene la desigualdad estricta en el Lema de Fatou.
Ejercicio 2. Sea
(−π, π], B((−π, π]), m) el espacio de medida del Lebesgue sobre B((−π, π]). En el grupo multi- plicativo T = {z ∈ C : |z| = 1} se considera B(T) y la medida μ = φ(m) donde φ(t) = eit. Probar (i) μ es una medida de probabilidad (μ(T) = 1), invariante por traslaciones. (ii) Una funci´on medible f : T → C es μ-integrable si y s´olo si la funci´on g(t) = f (φ(t)) es m-integrable. Adem´as
T f dμ^ =^
1 2 π
∫ (^) π −π gdm.
Ejercicio 2. Sea Γ una curva de clase C^1 en Rn^ y φ : [a, b] → Rn^ una parametrizaci´on de Γ. Definimos sobre los borelianos de Γ la medida mγ dada por mΓ = φ(μ) donde μ corresponde a la medida en [a, b] dada por la densidad ||φ′||, es decir dμ = ||φ′||dm. (i) Probar que mΓ depende solamente de Γ y no de la parametrizaci´on elegida.
Curso 2007/2008 9
Ejercicio 3. Sean X, Y dos conjuntos no vac´ıos, y sean M ⊂ P(X) y R ⊂ P(Y ) de modo que X ∈ M y Y ∈ R. Probar que σ(M × R) = σ(M) ⊗ σ(R).
Ejercicio 3. Sean (X, Σ 1 , μ) e (Y, Σ 2 , ν) espacios de medida σ-finita. Si denotamos Xˆ e Yˆ las correspondientes
complecciones.¿Es cierto que Xˆ ⊗ Yˆ = X ⊗ˆY ,(complecci´on respecto la medida producto).?
Ejercicio 3. Sean (X, Σ 1 , μ) e (Y, Σ 2 , ν) espacios de medida σ-finita y completos. Sea (X ⊗ Y, Σ 1 ⊗ˆΣ 2 , μ ⊗ˆν) la complecci´on respecto de (X × Y, Σ 1 ⊗ Σ 2 , μ ⊗ ν). Probar que si A ∈ Σ 1 ⊗ˆΣ 2 y μ ⊗ˆν(A) = 0, entonces ν(Ax) = 0 μ-a. e. y tambi´en μ(Ay ) = 0 ν−a.e. Deducir que el Teorema de Fubini sigue siendo v´alido para toda funci´on Σˆ 1 ⊗ Σˆ 2 -medible no negativa o Σˆ 1 ⊗ Σˆ 2 -integrable.
Ejercicio 3. (i) Sea Σ una σ-´algebra sobre X y sea B la σ-´algebra de Borel sobre R. Probar que si f es una funci´on definida en X × R de modo que fx es continua para todo x ∈ X y f y^ es σ-medible para todo y ∈ R entonces f es Σ ⊗ B-medible. (ii) Sea E un subconjunto denso de R y f es una funci´on real definida en R^2 de modo que fx es continua para todo x ∈ E y f y^ es medible Lebesgue para casi todo y ∈ R entonces f es medible Lebesgue en R^2.
Ejercicio 3. (Integraci´on por partes) Sea μ una medida de Borel σ-finita en un intervalo [a, b] con −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Dadas dos funciones μ-integrables f, g definimos
F (x) =
[a,x]
f dμ, G(x) =
[a,x]
gdμ.
Probar que , si definimos F (a−) = 0, entonces ∫
[a,b]
f (x)G(x)dμ(x) = F (b)G(b) −
[a,b]
F (x−)g(x)dμ(x).
Ejercicio 3. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida σ-finito y f : X → [0, ∞] medible. Para cada E ⊂ Σ definimos
R(f, E) = {(x, y) ∈ E × R : 0 ≤ y ≤ f (x)}
y F (y) = μ({x ∈ E : f (x) > y}) , y > 0 (funci´on de distribuci´on de f sobre E). Probar que, siendo m la medida de Lebesgue de R, se tiene ∫
E
f dμ = (μ ⊗ m)(R(f, E)) =
0
F (y)dm(y).
pr´actica 3: Medida producto y Teorema de Fubini 10
Ejercicio 3. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida σ-finito y f : X → [0, ∞] medible. Si F (y) = μ({x ∈ X : f (x) > y}), y > 0 (funci´on de distribuci´on de f ) o bien F (y) = μ({x ∈ X : f (x) ≥ y}) , y > 0 entonces para 0 < p < ∞ se tiene (^) ∫
X
f pdμ =
0
ptp−^1 F (t)dm(t).
Ejercicio 3. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida σ-finito, I = (a, ∞) con −∞ ≤ a < ∞ y f : X → I medible. Sea φ : I → R una funci´on no decreciente y continua tal que φ(a+) = 0 y F (y) = μ({x ∈ X : f (x) > y}), y > 0 (funci´on de distribuci´on de f ) entonces ∫
X
φ(f )dμ =
0
F (t)dmφ(t).
Ejercicio 3. Sea (X, A, μ) espacio de medida σ-finito , I = (a, ∞) con −∞ ≤ a < ∞ y f : X −→ I medible. Sea φ : I −→ R una funci´on no decreciente y C^1 tal que φ(a+) = 0 y F (y) = μ({x ∈ X : f (x) > y}), y > 0 (funci´on de distribuci´on de f ). Prueba que: ∫
X
φ(f )dμ =
0
φ′(t)F (t)dt.
Ejercicio 3. Sea G una abierto de Rn^ y sea Φ un difeomorfismo C^2 en G. Prueba que para toda funci´on integrable en Φ(G) se tiene: (^) ∫
Φ(G)
f (y)dy =
G
f (Φ(x))|JΦ(x)|dx.
Ejercicio 3. Sea (N, P(N), ν) con ν la medida de contar. Sea (X, Σ, μ) un espacio de medida arbitrario. Definimos, para E ∈ P(N)⊗Σ,
μ ⊗ ν(E) =
n=
ν(En).
Probar que una funci´on f de N × X in [0, ∞] o con valores en C es medible si y s´olo si cada secci´on fn es σ-medible (n ∈ N). Probar que f es N × X-integrable si y s´olo si la serie
n=
X |fn|dμ^ es convergente, en cuyo caso ∫
N×X
f d(μ ⊗ ν) =
n=
X
fndμ =
X
n=
fndμ
(N´otese que el teorema de Fubini es entonces v´alido para (X, Σ, μ) arbitrario.)
Ejercicio 3. Sean f, g : [0, π/2] → R dadas por f (x) = 12 , g(x) = sen^2 (x). (i) Describir μ = f (m), ν = g(m). (ii) Hallar μ ⊗ ν({(x, y) ∈ R^2 : y < 4 x^2 }).
Ejercicio 3. Sea f : Rk^ × N → R dada por f (x, y) = nx 1 χ{(x,n):||x||≤ (^1) n }.
Sea μ una medida sobre N tal que μ({n}) = (^) n^1 β. Hallar los valores de β para que f sea inte- grable respecto de∫ mk ⊗ μ, siendo mk la medida de Lebesgue en Rk^ y para ´estos calcular la integral
Rk^ ×N f dmk^ ×^ μ.
pr´actica 3: Medida producto y Teorema de Fubini 12
(iii)
{||x||< 1 }
x^21 − x^22 + x^23 + ... + (−1)k+1x^2 k ||x||α^
dx.
(iv)
{||x||< 1 }
|x 1 | + ... + |xk| ||x|| dx.
Ejercicio 3. Hallar las siguientes integrales
Ik =
Bk
|x 1 ...xk|dmk(x),
Jk =
Sk− 1
|u 1 ...uk|dσk− 1 (u),
siendo Bk la bola unidad cerrada de Rk^ y Sk− 1 la esfera ||x|| = 1.
Ejercicio 3. Calcular la integral (^) ∫
A
(β + α 1 x 1 + ... + αkxk)dmk
donde A = {x ∈ Rk^ : ||x − a|| < r}, a ∈ Rk, αi, β ∈ R y r > 0.
Ejercicio 3. Expresar en t´erminos de la funci´on Γ la siguiente integral para n ∈ N, ai > 0
∫
Rk
xn 1 e−(
Pk i=1 aix (^2) i ) dmk(x).
Ejercicio 3. Calcular la medida de Lebesgue de Rn^ del conjunto
An = {x ∈ Rn^ : xj > 0 ,
∑^ n
j=
xj < 1 }.
Mediante un cambio de variable usar lo anterior para probar que ∫
P
e−(x^1 +...+xn)
2 dx =
Γ(n/2 + 1) n!
Ejercicio 3. Calcular la medida de Lebesgue de Rn^ de los conjuntos
(i) An = {x ∈ Rn^ :
∑^ n
j=
|xj | ≤ 1 }.
(ii) Bn = {x ∈ Rn^ :
∑^ n
j=
|xj |^2 ≤ 1 }.
(iii) Cn = {x ∈ Rn^ : max|xj | ≤ 1 }.
(iv) Dn = {x ∈ Rn^ : |xj | + |xn| ≤ a, j = 1, 2 , .., n − 1 }.
pr´actica 3: Medida producto y Teorema de Fubini 13
Ejercicio 3. Calcular la medida de los siguientes conjuntos
A = {λ 1 v 1 + ... + λnvn : 0 ≤ λj ≤ 1 , j = 1, 2 , ..., n}
B = {x ∈ Rn^ : αj < x.vj < βj , j = 1, 2 , ..., n}
donde v 1 , ..., vn son vectores linealmente independientes de Rn, x.v denota el producto escalar y αj < βj para todo j.
Ejercicio 3. Calcular la medida (cuando sea finita) de los siguientes conjuntos:
A = {(x, y, z, u) : (x + y)^2 + (z + u)^2 < 1 , |x − y| + |z − u| < 1 }.
B = {x = (x′, x′′) ∈ Rk+j^ : ||x′|| ≤ 1 , ||x′||||x′′|| ≤ 1 }.
pr´actica 4: Teorema de Radon-Nikodym. 15
Ejercicio 4. a) Si (r, φ) son las coordenadas polares en R^2 y μ¯ es la medida de Lebesgue sobre el anillo F de los sectores anulares A = {(r, φ) : 0 ≤ r 1 ≤ r < r 2 , φ 1 ≤ φ < φ 2 }, con φ 2 − φ 1 ≤ 2 π, entonces μ¯ genera la σ-´algebra de los conjuntos medibles Lebesgue con la medida de Lebesgue m. b) Sea F el anillo anterior y se define π sobre F por π(A) = (r 2 − r 1 )(φ 2 − φ 1 ). Demuestra que
m(A) =
A
rdrdφ =
A
rdπ.
c) Si f es m-integrable en A, entonces r · f es π-integrable sobre A y ∫
A
f dm =
A
f · f dπ =
A
r · f drdφ.
Ejercicio 4. Sea μ medida de probabilidad y sea ν medida σ-finita en R tal que ν << μ. Prueba que la derivada de Radon-Nikodym f cumple
l´ım h→ 0
ν(x − h, x + h] μ(x − h, x + h]
= f (x)
en un conjunto de μ-medida 1.
Ejercicio 4. Sea (X, Σ) un espacio medible. Denotemos por L^0 (X) el espacio de las funciones (complejas) σ- medibles y por M(X) el espacio de las medidas complejas sobre σ. (i) Sea μ ∈ M(X). Probar que existe una, esencialmente ´unica, h ∈ L^1 (|μ|) de modo que dμ = hd|μ| y adem´as |h(x)| = 1 μ − a.e.. Diremos que f ∈ L^0 (X) es μ−integrable (denotado tambi´en f ∈ L^1 (μ)) si f.h ∈ L^1 (|μ|) y, en este caso, definimos para E ∈ Σ (^) ∫
E
f dμ =
E
f.hd|μ|.
Comprobar que (ii) Si μ ∈ M(X), f ∈ L^1 (μ) y E ∈ Σ entonces
E f dμ^ =^
X χE^ f dμ. (iii) Si μ ∈ M(X), f, g ∈ L^0 (X), f ∈ L^1 (μ) y f = g |μ| − a.e. entonces
X f dμ^ =^
X gdμ. (iv) Si μ ∈ M(X ) entonces T : L^1 (μ) → C dado por T (f ) =
X f dμ^ es lineal.
Ejercicio 4. Sean λ, μ medidas complejas absolutamente continuas respecto de una medida σ-finita ν. Probar que para todo a, b ∈ C se tiene d(aλ + bμ) dν = a
dλ dν
dμ dν
Ejercicio 4. Sean λ, μ, ν medidas σ-finitas sobre (X, Σ) de modo que λ << μ y μ << ν. Probar la regla de la cadena siguiente dλ dν
dλ dμ
dμ dν
Ejercicio 4. Sean μ, ν medidas σ-finitas sobre (X, Σ) de modo que ν << μ y μ << ν. Probar que
dν dμ
= 0 μ − a.e. ,
dμ dν
dν/dμ ν − a.e.
pr´actica 4: Teorema de Radon-Nikodym. 16
Ejercicio 4. Sean μ 1 , ν 1 medidas σ-finitas sobre (X 1 , Σ 1 ) y sean μ 2 , ν 2 medidas σ-finitas sobre (X 2 , Σ 2 ). (i) Si νi << μi(i = 1, 2) entonces ν 1 ⊗ ν 2 << μ 1 ⊗ μ 2. (ii) Calcular d d((μν^11 ⊗⊗νμ^22 )). (iii) Describir, en el caso general, la descomposici´on de Lebesgue de ν 1 ⊗ ν 2 respecto de μ 1 ⊗ μ 2 respecto la descomposiciones de Lebesgue respectivas. (iv) Probar que ν 1 ⊗ ν 2 << μ 1 ⊗ μ 2 si y s´olo si ν 1 << μ 1 y ν 2 << μ 2. (v) Probar que ν 1 ⊗ ν 2 es mutuamente singular con μ 1 ⊗ μ 2 si y s´olo si ν 1 es mutuamente singular con μ 1 o bien ν 2 mutuamente singular con μ 2
Ejercicio 4. Sean α, β dos medidas reales definidas sobre (X, Σ) y μ una medida σ-finita. Probar que (i) |α + β| ≤ |α| + |β|, (α + β)+^ ≤ α+^ + β+^ y (α + β)−^ ≤ α−^ + β−. (ii) |α+β| = |α|+|β| si y s´olo siα+, α−^ son mutuamente singulares respecto β+, β−^ respectivamente. (iii) Si α es absolutamente continua respecto de μ y β es mutuamente singular respecto de μ entonces α es mutuamente singular respecto de β. (iv) Si α es absolutamente continua respecto de μ y α es tambi´en mutuamente singular respecto de μ entonces α = 0.
Ejercicio 4. Sean α, β dos medidas reales definidas sobre (X, Σ) e (Y, R) respectivamente. (i) Probar que existe una medida real α ⊗ β sobre Σ ⊗ R de modo que α ⊗ β(A × B) = α(A)β(B) para A ∈ Σ y B ∈ R. (ii) Hallar la descomposici´on de Hahn respecto de X ×Y respecto de α⊗β, conocidas las respectivas descomposiciones. (iii) Calcular (α ⊗ β)+, (α ⊗ β)−^ y |α ⊗ β| en t´erminos de las de α y β.
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Ejercicio 4. Sea Σ = B([′, ∞]) y μ(E) = m(E) + im(E ∩ [0, 12 ]). (i) Expresar |μ| en t´erminos de m. (ii) Probar que
μ(E) ≤ (Reμ)+(E) + (Reμ)−(E) + (Imμ)+(E) + (Imμ)−(E)
y que la desigualdad puede ser estricta. (iii) Encontrar h medible Borel tal que |h| = 1 y μ(E) =
E hd|μ|^ para^ E^ ∈^ Σ.
Ejercicio 4. Para cada boreliano de R definimos
μ(E) =
E∩(0,∞)
sen^3 πt t^3
dt −
E∩(−∞,0)
sen^3 πt t^3
dt.
(i) Probar que μ es una medida real y calcular μ(R). (ii) Hallar la descomposici´on de Hahn de R relativa a μ. (iii) Ver si existe la derivada de Radon-Nikodym de |μ| respecto de m y hallarla en su caso.
Ejercicio 4. Comprobar en los siguientes ejemplos que aunque μ(E) = 0 implica que ν(E) = 0, no se cumple la condici´on - δ de la continuidad absoluta : (i) (N, P(N)), ν la medida de contar y μ =
n=
1 2 n^ δn. (ii) ([0, 1], B), dν(t) = (^1) t dt y μ la medida de Lebesgue. (iii) (R, B), ν(E) =
n∈Z |n|m([n, n^ + 1)^ ∩^ E)^ y^ μ^ la medida de Lebesgue.
